可降阶的高阶微分方程,高阶线性微分方程及其通解结构.ppt

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1、10-3 可降阶的高阶微分方程可降阶的高阶微分方程1复复 习习1.可分离变量方程可分离变量方程分离变量法步骤分离变量法步骤:1.分离变量分离变量;2.两端积分两端积分-隐式通解隐式通解.的微分方程的微分方程.2.齐次方程齐次方程解法：解法：作变量代换作变量代换3.一阶线性非齐次微分方程一阶线性非齐次微分方程（1）一般式）一般式（2）通解公式）通解公式210-3 可降阶的高阶微分方程可降阶的高阶微分方程高阶微分方程定义：高阶微分方程定义：二阶及二阶以上的微分方程二阶及二阶以上的微分方程.可降阶的高阶微分方程：可降阶的高阶微分方程：可以通过代换将它化为较低可以通过代换将它化为较低阶的方程来解，阶的

2、方程来解，这种类型的方程称为这种类型的方程称为可降阶的方程可降阶的方程.相应的解法称为相应的解法称为降阶法降阶法.一般形式：一般形式：特点：特点：解法：解法：接连积分接连积分n次，得通解次，得通解3解解解解所以原方程通解为所以原方程通解为所以原方程通解为所以原方程通解为4特点：特点：特点：特点：不显含未知函数不显含未知函数不显含未知函数不显含未知函数 y y.解法：解法：解法：解法：代入原方程代入原方程,得得这是一阶微分方程这是一阶微分方程.解解解解代入原方程代入原方程,得得积分积分两边积分得两边积分得:5解解解解代入原方程代入原方程分离变量分离变量,得得积分得积分得对它两端积分对它两端积分对

3、它两端积分对它两端积分,得得得得原方程通解为原方程通解为原方程通解为原方程通解为6特点：特点：特点：特点：不显含自变量不显含自变量不显含自变量不显含自变量 x x.解法：解法：解法：解法：代入原方程代入原方程,得得这是一阶微分方程这是一阶微分方程.解解解解7解解解解8解解解解分离变量得分离变量得分离变量得分离变量得两端积分两端积分两端积分两端积分,得得得得则得则得则得则得于是有于是有于是有于是有由于由于由于由于所以取正的一支所以取正的一支所以取正的一支所以取正的一支.即即即即9由于由于所以取正的一支所以取正的一支.即即分离变量并两边积分得分离变量并两边积分得从而所求的特解为从而所求的特解为注意

4、：注意：在求特解的过程中，在求特解的过程中，出现任意常数后，出现任意常数后，马上用初马上用初值条件值条件代入，代入，可以使运算简化可以使运算简化.数时，可根据已知条件定出其中一支数时，可根据已知条件定出其中一支.当当出现几支函出现几支函确定任意常数，确定任意常数，10高阶线性微分方程及其通解结构第四节二、二、n阶线性微分方程的通解结构阶线性微分方程的通解结构 一、二阶线性微分方程的通解结构一、二阶线性微分方程的通解结构 第十章 11式叫二阶线性齐次微分方程式叫二阶线性齐次微分方程式叫二阶线性式叫二阶线性非非齐次微分方程齐次微分方程n 阶线性微分方程的一般形式为阶线性微分方程的一般形式为时时,称

5、为非齐次方程称为非齐次方程;时时,称为齐次方程称为齐次方程.一、二阶线性微分方程的通解结构一、二阶线性微分方程的通解结构 二阶线性微分方程的定义二阶线性微分方程的定义12回顾回顾:一阶线性方程一阶线性方程齐次通解齐次通解Y非齐次特解非齐次特解 y*二阶线性微分方程二阶线性微分方程式叫二阶线性齐次微分方程式叫二阶线性齐次微分方程式叫二阶线性式叫二阶线性非非齐次微分方程齐次微分方程131.二阶齐次线性微分方程解的结构二阶齐次线性微分方程解的结构:14说明说明:不一定不一定是方程是方程(1)的通解的通解.就是它的通解就是它的通解.为解决通解的判别问题为解决通解的判别问题,下面引入函数的线性相关与下面

6、引入函数的线性相关与 线性无关概念线性无关概念.15定义定义:例如例如线性无关线性无关.线性相关线性相关.特别地：特别地：16两个函数在区间两个函数在区间 I 上线性相关与线性无关的上线性相关与线性无关的充要条件充要条件:常数常数思考思考:相关相关17就是它的通解就是它的通解.推论推论:18证明证明2.2.线性非齐次线性微分方程解的结构线性非齐次线性微分方程解的结构线性非齐次线性微分方程解的结构线性非齐次线性微分方程解的结构 推论：推论：19说明说明:只须只须求求它的一个特解它的一个特解和和的的两个两个线性无关的特解线性无关的特解则则的通解为的通解为齐次通解齐次通解Y+非齐次特解非齐次特解 y

7、*非齐次通解非齐次通解 y=例如例如,方程方程有特解有特解且且故方程的通解为故方程的通解为又知又知 方程方程有特解有特解因此因此 的通解为的通解为20设非设非齐次方程齐次方程(2)的右端的右端是是几个函数之和，几个函数之和，若若而而与与分别是方程分别是方程的的特解，特解，那么那么就是原方程的特解就是原方程的特解.定理定理4.解的叠加原理解的叠加原理定理定理 5.是对应齐次方程的是对应齐次方程的 n 个线性无关特解个线性无关特解,给定给定 n 阶非齐次线性方程阶非齐次线性方程是非齐次方程的特解是非齐次方程的特解,则非齐次方程的通解为则非齐次方程的通解为齐次方程通解齐次方程通解非齐次方程特解非齐次

8、方程特解21通解是通解是().例例1.提示提示:都是对应齐次方程的解都是对应齐次方程的解,二者线性无关二者线性无关.(反证法可证反证法可证)22例例2.解解:且且常数常数,因而线性无关因而线性无关,故原故原方程通解为方程通解为代入初始条件代入初始条件故所求特解为故所求特解为231.可降阶的高阶方程可降阶的高阶方程逐次积分求解逐次积分求解 小小 结结2.二阶二阶齐次线性方程齐次线性方程的标准形式的标准形式通解为通解为：3.二阶二阶非齐次线性方程非齐次线性方程的标准形式的标准形式通解为：通解为：其中其中线性无关线性无关，即即常数，常数，即即24作业：作业：P423,1(5),(7)P423,1(5),(7)预习：从预习：从427427到到431431页页25