随机变量及其分布和随机变量的数字特征ppt课件.ppt

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1、在整堂课的教学中，刘教师总是让学生带着问题来学习，而问题的设置具有一定的梯度，由浅入深，所提出的问题也很明确第三节第三节 随机变量及其分布和随机变随机变量及其分布和随机变量的数字特征量的数字特征概念（概念（随机变量、概率分布、分布函数随机变量、概率分布、分布函数随机变量、概率分布、分布函数随机变量、概率分布、分布函数）离散型随机变量及其分布律离散型随机变量及其分布律 连续型随机变量及其概率密度连续型随机变量及其概率密度概念（概念（数学期望（均值）、方差、相关数学期望（均值）、方差、相关数学期望（均值）、方差、相关数学期望（均值）、方差、相关系数、矩系数、矩系数、矩系数、矩）在整堂课的教学中，刘

2、教师总是让学生带着问题来学习，而问题的设置具有一定的梯度，由浅入深，所提出的问题也很明确在概率的研究中为什么需要引入随机变量？在概率的研究中为什么需要引入随机变量？为了便于数学推理和计算，为了便于数学推理和计算，有必要将随机试验的有必要将随机试验的结果数量化，结果数量化，使得可以用高等数学课程中的理论与使得可以用高等数学课程中的理论与方法来研究随机试验，研究和分析其结果的规律性，方法来研究随机试验，研究和分析其结果的规律性，因此，随机变量是研究随机试验的重要而有效的工因此，随机变量是研究随机试验的重要而有效的工具。具。在整堂课的教学中，刘教师总是让学生带着问题来学习，而问题的设置具有一定的梯度

3、，由浅入深，所提出的问题也很明确引入随机变量后，随机试验中的引入随机变量后，随机试验中的任一随机事件任一随机事件就可就可以通过以通过随机变量的取值关系式随机变量的取值关系式表达出来，对随机现表达出来，对随机现象统计规律的研究，就由对事件及事件概率的研究象统计规律的研究，就由对事件及事件概率的研究扩大为对随机变量及其取值规律的研究扩大为对随机变量及其取值规律的研究.事件及事件及事件概率事件概率随机变量及其随机变量及其取值规律取值规律在整堂课的教学中，刘教师总是让学生带着问题来学习，而问题的设置具有一定的梯度，由浅入深，所提出的问题也很明确如何引入随机变量的概念？如何引入随机变量的概念？一般地，如

4、果一般地，如果A A为某个随机事件，则可以通过如下函数为某个随机事件，则可以通过如下函数使它与数值发生联系：使它与数值发生联系：如果如果A A发生发生 如果如果A A不发生不发生 这些例子中，试验的结果能用一个数这些例子中，试验的结果能用一个数x x来表示，这个数来表示，这个数x x是随着试验的结果的不同而变化的，也即它是样本点的一个是随着试验的结果的不同而变化的，也即它是样本点的一个函数，这种量就称为函数，这种量就称为随机变量随机变量。在整堂课的教学中，刘教师总是让学生带着问题来学习，而问题的设置具有一定的梯度，由浅入深，所提出的问题也很明确这种对应关系在数学上理解为定义了一种实这种对应关系

5、在数学上理解为定义了一种实值单值函数值单值函数.x .RX()在整堂课的教学中，刘教师总是让学生带着问题来学习，而问题的设置具有一定的梯度，由浅入深，所提出的问题也很明确定义定义 2.12.1对于随机试验对于随机试验 E 的每一个可能结果的每一个可能结果，都有唯一的一个实数值，都有唯一的一个实数值 X()相对应，相对应，称称 X()为为随机变量随机变量，简记为，简记为 X.随机变量随机变量(Random Variable)Random Variable)的概念的概念在整堂课的教学中，刘教师总是让学生带着问题来学习，而问题的设置具有一定的梯度，由浅入深，所提出的问题也很明确在试验之前只知道在试验

6、之前只知道 x可能取值的范围，而不能可能取值的范围，而不能预先肯定它将取哪个值预先肯定它将取哪个值.它的取值与试验结果形成对应，它的取值与试验结果形成对应，(1)(1)随机变量随机变量X是定义在样本空间上的实值函数，是定义在样本空间上的实值函数，(2)由于试验结果的出现具有一定的概率，由于试验结果的出现具有一定的概率，X 的的取值情况取值情况 它取值的概率的分布情况它取值的概率的分布情况.随着实验结果的不同而取不同的值，随着实验结果的不同而取不同的值，所以随机变所以随机变量量取每个值和每个确定范围内的值也有一定的概率取每个值和每个确定范围内的值也有一定的概率.随机变量的取值既具有随机变量的取值

7、既具有可变性可变性，也，也有有随机性随机性。这种。这种双重性双重性正是随机变量与普通变量正是随机变量与普通变量(函数函数)的本质区别。的本质区别。在整堂课的教学中，刘教师总是让学生带着问题来学习，而问题的设置具有一定的梯度，由浅入深，所提出的问题也很明确 而表示随机变量所取的值时而表示随机变量所取的值时,一般采用小写字母一般采用小写字母 x,y,z,w,n等等.随机变量通常用随机变量通常用大写字母大写字母X,Y,Z,W,N，或希腊字母或希腊字母 ,，等表示等表示在整堂课的教学中，刘教师总是让学生带着问题来学习，而问题的设置具有一定的梯度，由浅入深，所提出的问题也很明确我们将研究两类随机变量：我

8、们将研究两类随机变量：随随机机变变量量离散型随机变量离散型随机变量连续型随机变量连续型随机变量随机变量的分类随机变量的分类例:观察投掷一个骰子出现的点数.随机变量 X 的可能值是:1,2,3,4,5,6.123456例:随机变量 X 为“灯泡的寿命”.则 X 的取值范围为0 0在整堂课的教学中，刘教师总是让学生带着问题来学习，而问题的设置具有一定的梯度，由浅入深，所提出的问题也很明确其中其中 (k=1,2,)满足：满足：k=1,2,（1）（2）定定义义 2.3 设设 xk(k=1,2,)是是离离散散型型随随机机变变量量 X 所所取取的一切可能值，称的一切可能值，称为为离散型随机变量离散型随机变

9、量 X 的概率分布，或称为分布列的概率分布，或称为分布列.定义定义2.2：某些随机变量：某些随机变量X的所有可能取值是有限多的所有可能取值是有限多个或可数多个个或可数多个,这种随机变量称为这种随机变量称为离散型随机变量离散型随机变量.在整堂课的教学中，刘教师总是让学生带着问题来学习，而问题的设置具有一定的梯度，由浅入深，所提出的问题也很明确离散型随机变量表示方法离散型随机变量表示方法（1）公式法）公式法（2）列表法）列表法X在整堂课的教学中，刘教师总是让学生带着问题来学习，而问题的设置具有一定的梯度，由浅入深，所提出的问题也很明确P P P P我们研究的对象是我们研究的对象是 的概率的概率(X

10、=x),(),(X x),(),(X x),),(x1 X x2),),我们研究的对象是随机事件的概率我们研究的对象是随机事件的概率随机变量的取值或取值范围随机变量的取值或取值范围由此引进了由此引进了分布函数分布函数的概念：的概念：能否选用一个事件将所有事件都表达出来？能否选用一个事件将所有事件都表达出来？(X x)A (X x)X()P()P P 在整堂课的教学中，刘教师总是让学生带着问题来学习，而问题的设置具有一定的梯度，由浅入深，所提出的问题也很明确离散型随机离散型随机变量的分布函数量的分布函数定定义2.4 在整堂课的教学中，刘教师总是让学生带着问题来学习，而问题的设置具有一定的梯度，由

11、浅入深，所提出的问题也很明确Probability and Statistics 分布函数的性质分布函数的性质3)F(x)是一个右连续函数，即在整堂课的教学中，刘教师总是让学生带着问题来学习，而问题的设置具有一定的梯度，由浅入深，所提出的问题也很明确Probability and Statistics证明 重要公式重要公式在整堂课的教学中，刘教师总是让学生带着问题来学习，而问题的设置具有一定的梯度，由浅入深，所提出的问题也很明确Probability and Statistics解 例例（1）求X的分布函数F(x)，并画出它的图形（2）求概率离散型（1）在整堂课的教学中，刘教师总是让学生带着问

12、题来学习，而问题的设置具有一定的梯度，由浅入深，所提出的问题也很明确的分布函数图的分布函数图在整堂课的教学中，刘教师总是让学生带着问题来学习，而问题的设置具有一定的梯度，由浅入深，所提出的问题也很明确（2）在整堂课的教学中，刘教师总是让学生带着问题来学习，而问题的设置具有一定的梯度，由浅入深，所提出的问题也很明确设离散型设离散型 X 的分布律是的分布律是P X=xk =pk ,k=1,2,3,F(x)=P(X x)=即即F(x)是是 X 取取 的诸值的诸值 xk 的概率之和的概率之和.一般地一般地一般地一般地则其分布函数则其分布函数在整堂课的教学中，刘教师总是让学生带着问题来学习，而问题的设置

13、具有一定的梯度，由浅入深，所提出的问题也很明确常见一维离散型随机变量的概率分布常见一维离散型随机变量的概率分布1n重伯努利(Bernoulli)试验、二项分布2泊松分布在整堂课的教学中，刘教师总是让学生带着问题来学习，而问题的设置具有一定的梯度，由浅入深，所提出的问题也很明确伯努利试验 设试验设试验E E只有两个可能结果：只有两个可能结果：A A及及 ，则称，则称E E为伯努利为伯努利(Bernoulli)(Bernoulli)试验。试验。设设P(A)P(A)p(0p1)p(0p0是常数。则称X服从参数为的泊松分布，记为X丌()。易知，PX=k)0，k=0，1，2，且有在整堂课的教学中，刘教师

14、总是让学生带着问题来学习，而问题的设置具有一定的梯度，由浅入深，所提出的问题也很明确关于泊松分布 历史上泊松分布是作为二项分布的近似，于1837年由法国数学家普阿松引入的，近数十年来，泊松分布日益显示其重要性，成了概率论中最重要的几个分布之一。在实际应用中许多随机现象服从普阿松分布。这种情况特别集中在两个领域中。一是社会生活社会生活，对服务的各种要求：诸如电话交换台中来到的呼叫数，公共汽车站来到的乘客数等等都近似地服从普阿松分布，因此在运筹学及管理科学中泊松分布占有很突出的地位；另一领域是物理学物理学，放射性分裂落到某区域的质点数，热电子的发射，显微镜下落在某区域中的血球或微生物的数目等等都服

15、从普阿松分布。在整堂课的教学中，刘教师总是让学生带着问题来学习，而问题的设置具有一定的梯度，由浅入深，所提出的问题也很明确地震地震火山爆发火山爆发特大洪水特大洪水电话呼唤次数电话呼唤次数交通事故次数交通事故次数商场接待的顾客数商场接待的顾客数在整堂课的教学中，刘教师总是让学生带着问题来学习，而问题的设置具有一定的梯度，由浅入深，所提出的问题也很明确二项分布的普阿松(poisson)逼近 在很多应用问题中，我们常常遇到这样的贝努利试验，其中，相对地说，n大，p小，而乘积=np大小适中。在这种情况下，有一个便于使用的近似公式。定理定理(普阿松普阿松)在贝努利试验中，以pn代表事件A在试验中出现的概

16、率，它与试验总数n有关，如果npn，则当n 时，当p相当小（一般当p0.1)时，我们用下面近似公式在整堂课的教学中，刘教师总是让学生带着问题来学习，而问题的设置具有一定的梯度，由浅入深，所提出的问题也很明确 连续型随机变量连续型随机变量X所有可能取值充满一所有可能取值充满一个区间个区间,对这种类型的随机变量对这种类型的随机变量,不能象离不能象离散型随机变量那样散型随机变量那样,以指定它取每个值概率以指定它取每个值概率的方式的方式,去给出其概率分布去给出其概率分布,而是通过给出而是通过给出所谓所谓“概率密度函数概率密度函数”的方式的方式.下面我们就来介绍对连续型随机变量的下面我们就来介绍对连续型

17、随机变量的描述方法描述方法.在整堂课的教学中，刘教师总是让学生带着问题来学习，而问题的设置具有一定的梯度，由浅入深，所提出的问题也很明确则称则称 X为连续型随机变量为连续型随机变量,称称 f(x)为为 X 的的概率密度概率密度函数函数，简称为，简称为概率密度概率密度.连续型随机变量及其概率密度的定义连续型随机变量及其概率密度的定义有有,使得对任意使得对任意实数实数 ,定义定义2.5 对于随机变量对于随机变量 X,如果存在非负可积函数如果存在非负可积函数 f(x),在整堂课的教学中，刘教师总是让学生带着问题来学习，而问题的设置具有一定的梯度，由浅入深，所提出的问题也很明确在整堂课的教学中，刘教师

18、总是让学生带着问题来学习，而问题的设置具有一定的梯度，由浅入深，所提出的问题也很明确概率密度函数的性质概率密度函数的性质 由分布函数的性质可知，概率密度函数具有以下性质：由分布函数的性质可知，概率密度函数具有以下性质：(1)f(x)0(1)f(x)0，函数曲线位于，函数曲线位于x x轴上方；轴上方；反之，对于定义在（反之，对于定义在（-,)-,)上的可积函数上的可积函数f(x),f(x),若若它满足性质它满足性质1 1和性质和性质2 2，则由它定义的，则由它定义的F(x)F(x)是一个分布函数，是一个分布函数，即它满足分布函数所必须具备的三个性质。即它满足分布函数所必须具备的三个性质。f(x)

19、xo在整堂课的教学中，刘教师总是让学生带着问题来学习，而问题的设置具有一定的梯度，由浅入深，所提出的问题也很明确 故故 X的密度的密度 f(x)在在 x 这一点的值，恰好是这一点的值，恰好是X 落落在区间在区间(x,x+x 上的概率与区间长度上的概率与区间长度x之比的极之比的极限。限。若若 x 是是 f(x)的连续点，则的连续点，则对对 f(x)的进一步理解的进一步理解:在整堂课的教学中，刘教师总是让学生带着问题来学习，而问题的设置具有一定的梯度，由浅入深，所提出的问题也很明确(1)连续型随机变量取任一指定实数值连续型随机变量取任一指定实数值a 的概率均的概率均为为0.即即这是因为这是因为注意

20、注意:当当 时时得到得到在整堂课的教学中，刘教师总是让学生带着问题来学习，而问题的设置具有一定的梯度，由浅入深，所提出的问题也很明确Probability and Statistics 例：设X的概率密度为（1）求常数C；（2）求概率PX2.解在整堂课的教学中，刘教师总是让学生带着问题来学习，而问题的设置具有一定的梯度，由浅入深，所提出的问题也很明确常见的一维连续型随机变量：均匀分布、指数分布、正态分布在整堂课的教学中，刘教师总是让学生带着问题来学习，而问题的设置具有一定的梯度，由浅入深，所提出的问题也很明确相应的分布函数为：相应的分布函数为：均匀分布均匀分布设连续型随机变量设连续型随机变量X

21、 X具有概率密度具有概率密度则称则称X X在区间在区间(a,b)(a,b)上服从均匀分布。记为上服从均匀分布。记为X XU(a,b).U(a,b).分布函数分布函数在整堂课的教学中，刘教师总是让学生带着问题来学习，而问题的设置具有一定的梯度，由浅入深，所提出的问题也很明确均匀分布的密度函数与分布函数均匀分布的密度函数与分布函数在整堂课的教学中，刘教师总是让学生带着问题来学习，而问题的设置具有一定的梯度，由浅入深，所提出的问题也很明确指数分布设连续型随机变量X的概率密度为其中0为常数，则称X服从参数为的指数分布。相应的分布函数为：分布函数在整堂课的教学中，刘教师总是让学生带着问题来学习，而问题的

22、设置具有一定的梯度，由浅入深，所提出的问题也很明确在整堂课的教学中，刘教师总是让学生带着问题来学习，而问题的设置具有一定的梯度，由浅入深，所提出的问题也很明确正态分布设连续型随机变量X的概率密度为其中,(0)为常数，则称X服从参数为,的正态分布分布，记为XN(,2)。相应的分布函数为：分布函数在整堂课的教学中，刘教师总是让学生带着问题来学习，而问题的设置具有一定的梯度，由浅入深，所提出的问题也很明确 决定了图形的中心位置，决定了图形的中心位置，决定了图形中峰决定了图形中峰的陡峭程度的陡峭程度.正态分布正态分布 的密度函数图形特点的密度函数图形特点在整堂课的教学中，刘教师总是让学生带着问题来学习

23、，而问题的设置具有一定的梯度，由浅入深，所提出的问题也很明确正态分布正态分布 的分布函数图形的分布函数图形在整堂课的教学中，刘教师总是让学生带着问题来学习，而问题的设置具有一定的梯度，由浅入深，所提出的问题也很明确 正态分布是最常见最重要的一种分布正态分布是最常见最重要的一种分布,例如测量例如测量误差误差;人的生理特征尺寸如身高、体重人的生理特征尺寸如身高、体重、智商等；智商等；正常情况下生产的产品尺寸正常情况下生产的产品尺寸:直径、长度、重量直径、长度、重量、高度等都近似服从正态分布高度等都近似服从正态分布.正态分布的应用与背景正态分布的应用与背景 在整堂课的教学中，刘教师总是让学生带着问题

24、来学习，而问题的设置具有一定的梯度，由浅入深，所提出的问题也很明确标准正态分布标准正态分布当当=0,=0,=1=1时称时称X X服从标准正态分布，记为服从标准正态分布，记为X XN(0,1)N(0,1)。其概率密度和分布函数分别用其概率密度和分布函数分别用(x),(x),(x)(x)表示，即有表示，即有显然显然(-x)=1-(-x)=1-(x)(x)在整堂课的教学中，刘教师总是让学生带着问题来学习，而问题的设置具有一定的梯度，由浅入深，所提出的问题也很明确在整堂课的教学中，刘教师总是让学生带着问题来学习，而问题的设置具有一定的梯度，由浅入深，所提出的问题也很明确例例 将一温度调节器放置在存储着

25、某种液体的容器内，调节器定将一温度调节器放置在存储着某种液体的容器内，调节器定在在dd，液体的温度，液体的温度X X（以（以计）是一个随机变量，且计）是一个随机变量，且X XN(d,0.5N(d,0.52 2)。(1)(1)若若d=90d=90，求，求X89X89的概率；的概率；(2)(2)若要求保持液体若要求保持液体的温度至少为的温度至少为8080的概率不低于的概率不低于0.990.99，问，问d d至少为多少？至少为多少？在整堂课的教学中，刘教师总是让学生带着问题来学习，而问题的设置具有一定的梯度，由浅入深，所提出的问题也很明确在整堂课的教学中，刘教师总是让学生带着问题来学习，而问题的设置

26、具有一定的梯度，由浅入深，所提出的问题也很明确 思考思考 设设X XN(N(,2 2)，由，由(x)(x)的函数表得到：的函数表得到：PP-XX+=(1)-(1)-(-1)=2(-1)=2(1)-1=68.26(1)-1=68.26PP-2-2 XX+2+2=(2)-(2)-(-2)=2(-2)=2(2)-1=95.44(2)-1=95.44PP-3-3 XX+3+3=(3)-(3)-(-3)=2(-3)=2(3)-1=99.74(3)-1=99.74可见，服从正态分布的随机变量虽然取值在（可见，服从正态分布的随机变量虽然取值在（-，+），但其值落在（），但其值落在（-3-3，+3+3）内几乎

27、是可以肯）内几乎是可以肯定的，置信度高达定的，置信度高达0.9970.997。在整堂课的教学中，刘教师总是让学生带着问题来学习，而问题的设置具有一定的梯度，由浅入深，所提出的问题也很明确在一些实际问题中，随机变量的分布函数很难确定，在一些实际问题中，随机变量的分布函数很难确定，但它的数字特征却相对比较容易计算出来。但它的数字特征却相对比较容易计算出来。所谓随机变量的数字特征，就是刻划随机变量的所谓随机变量的数字特征，就是刻划随机变量的某种某种特征（如平均值、偏差程度）的量特征（如平均值、偏差程度）的量。它虽然不一定能。它虽然不一定能完整地描述随机变量，但在理论和实践上都具有重要完整地描述随机变

28、量，但在理论和实践上都具有重要意义意义。51在整堂课的教学中，刘教师总是让学生带着问题来学习，而问题的设置具有一定的梯度，由浅入深，所提出的问题也很明确随机变量的数字特征随机变量的数字特征u数学期望数学期望u方差方差u原点矩和中心矩原点矩和中心矩u 协方差、相关系数、相关矩阵协方差、相关系数、相关矩阵在整堂课的教学中，刘教师总是让学生带着问题来学习，而问题的设置具有一定的梯度，由浅入深，所提出的问题也很明确定义设离散型随机变量X的分布律为 若级数 绝对收敛，则称级数为随机变量X的数学期望，简称为期望或均值 在整堂课的教学中，刘教师总是让学生带着问题来学习，而问题的设置具有一定的梯度，由浅入深，

29、所提出的问题也很明确XP41/451/261/4数学期望的计算数学期望的计算已知随机变量X的分布律：例 求数学期望E（X）解 在整堂课的教学中，刘教师总是让学生带着问题来学习，而问题的设置具有一定的梯度，由浅入深，所提出的问题也很明确定定义义 设连续型随机变量X的分布密度为 ，若积分 绝对收敛，则称此积分值为X的数学期望数学期望，记作 。即 在整堂课的教学中，刘教师总是让学生带着问题来学习，而问题的设置具有一定的梯度，由浅入深，所提出的问题也很明确数学期望的意义 试验次数较大时，试验次数较大时，X的观测值的算术平均值的观测值的算术平均值 在在E(X)附近摆动附近摆动数学期望又可以称为数学期望又

30、可以称为期望值期望值(Expected Value)，均值均值(Mean)E(X)反映了随机变量反映了随机变量X取值的取值的“概率平均概率平均”,是是X的的可能值以其相应概率的加权平均。可能值以其相应概率的加权平均。在整堂课的教学中，刘教师总是让学生带着问题来学习，而问题的设置具有一定的梯度，由浅入深，所提出的问题也很明确定理定理设 是随机变量X的函数(1)(1)若X为离散型随机变量，其分布律为（当级数 绝对收敛时，则有：在整堂课的教学中，刘教师总是让学生带着问题来学习，而问题的设置具有一定的梯度，由浅入深，所提出的问题也很明确(2)(2)若X为连续型随机变量，其分布密度为，则当 绝对收敛时，

31、有：在整堂课的教学中，刘教师总是让学生带着问题来学习，而问题的设置具有一定的梯度，由浅入深，所提出的问题也很明确数学期望的性质数学期望的性质相互独立时u当随机变量 u.C 为常数 u.u.在整堂课的教学中，刘教师总是让学生带着问题来学习，而问题的设置具有一定的梯度，由浅入深，所提出的问题也很明确 均值反映了随机变量取值集中在哪一个值的均值反映了随机变量取值集中在哪一个值的周围，是随机变量的位置特征值。但在许多实际周围，是随机变量的位置特征值。但在许多实际问题中，单凭随机变量的均值来刻画其取值的统问题中，单凭随机变量的均值来刻画其取值的统计规律性是不够的，还必须知道随机变量的取值计规律性是不够的

32、，还必须知道随机变量的取值在其均值周围的分散程度。在其均值周围的分散程度。为此，我们引入随机变量的另一个重要的数为此，我们引入随机变量的另一个重要的数字特征字特征-方差方差方差方差。定义：定义：定义：定义：设设X是一个随机变量，是一个随机变量，称称 为标准差。为标准差。在整堂课的教学中，刘教师总是让学生带着问题来学习，而问题的设置具有一定的梯度，由浅入深，所提出的问题也很明确由方差的定义可知，由方差的定义可知，如如X是离散型随机变量，其概率分布律为：是离散型随机变量，其概率分布律为：如如X是连续型随机变量，其密度函数为是连续型随机变量，其密度函数为 f(x)：在整堂课的教学中，刘教师总是让学生

33、带着问题来学习，而问题的设置具有一定的梯度，由浅入深，所提出的问题也很明确方差是一个常用来体现随机变量方差是一个常用来体现随机变量X取值分散程度取值分散程度的量的量.如果如果D(X)值大值大,表示表示X 取值分散程度大取值分散程度大,E(X)的代表性差的代表性差;而如果而如果D(X)值小值小,则表示则表示X 的取的取值比较集中值比较集中,以以E(X)作为随机变量的代表性好作为随机变量的代表性好.方差的意义方差的意义数学期望反映了X 取值的中心中心.方差反映了X 取值的离散程度离散程度.在整堂课的教学中，刘教师总是让学生带着问题来学习，而问题的设置具有一定的梯度，由浅入深，所提出的问题也很明确(

34、1)设设 C 是常数是常数,则有则有(2)设设 X 是一个随机变量是一个随机变量,C 是常数是常数,则有则有(3)设设X X为随机变量，为随机变量，C C为常数，则为常数，则 在整堂课的教学中，刘教师总是让学生带着问题来学习，而问题的设置具有一定的梯度，由浅入深，所提出的问题也很明确设设 X,求求 E(X),Var(X).解解:(1)E(X)=1(2)E(X2)=7/6所以所以,Var(X)=E(X2)E(X)2=7/6 1=1/6例例在整堂课的教学中，刘教师总是让学生带着问题来学习，而问题的设置具有一定的梯度，由浅入深，所提出的问题也很明确分布分布参数参数数学期望数学期望方差方差 0-1分布

35、分布二项分布二项分布泊松分布泊松分布均匀分布均匀分布指数分布指数分布正态分布正态分布几何分布几何分布在整堂课的教学中，刘教师总是让学生带着问题来学习，而问题的设置具有一定的梯度，由浅入深，所提出的问题也很明确 定义 设 X 与 Y 是两个随机变量，称 E(X k)为 X 的 k 阶原点矩；称EX E(X)k 为X 的 k 阶中心矩；称E(X k Y l)为 X 与 Y 的 k+l 阶混合原点矩；称 EX E(X)k Y E(Y)l为 X 与 Y 的 k+l 阶混合中心矩（3 3）矩）矩在整堂课的教学中，刘教师总是让学生带着问题来学习，而问题的设置具有一定的梯度，由浅入深，所提出的问题也很明确

36、两个随机变量除了相互独立之外，还存在不两个随机变量除了相互独立之外，还存在不相互独立的情况，即它们之间存在一定的相关关相互独立的情况，即它们之间存在一定的相关关系。但怎样刻划它们之间相关程度呢？系。但怎样刻划它们之间相关程度呢？从前面的讨论可见，若从前面的讨论可见，若X与与Y 独立，则独立，则这意味着，这意味着，如如如如则则则则X X与与与与Y Y 不相互独立，而存在一定的相关关系。不相互独立，而存在一定的相关关系。不相互独立，而存在一定的相关关系。不相互独立，而存在一定的相关关系。为此，我们有：为此，我们有：在整堂课的教学中，刘教师总是让学生带着问题来学习，而问题的设置具有一定的梯度，由浅入

37、深，所提出的问题也很明确称为随机变量称为随机变量X X与与与与Y Y 的协方差的协方差的协方差的协方差。记为记为 Cov(X,Y)为随机变量为随机变量X X与与与与Y Y 的相关系数的相关系数的相关系数的相关系数。定理：定理：在整堂课的教学中，刘教师总是让学生带着问题来学习，而问题的设置具有一定的梯度，由浅入深，所提出的问题也很明确 当当 较大时，表明较大时，表明 X,Y(就线性关系而言就线性关系而言)联系较紧密。联系较紧密。特别当特别当 时，由定理知时，由定理知X,Y 间以概率间以概率1存在着线性关系，于是存在着线性关系，于是 是一个可用来表示是一个可用来表示X，Y之间线性关系紧密程度的量。

38、之间线性关系紧密程度的量。当当 较大时，我们通常说较大时，我们通常说 X,Y 线性相关线性相关的程度较好，反之，则较差。的程度较好，反之，则较差。特别当特别当 时，称时，称X和和Y不相关不相关(不存在线性不存在线性关系关系)。不相关仅指不存在线性关系，并不意味着独立，不相关仅指不存在线性关系，并不意味着独立，不相关仅指不存在线性关系，并不意味着独立，不相关仅指不存在线性关系，并不意味着独立，它们之间还可能存在非线性关系。它们之间还可能存在非线性关系。它们之间还可能存在非线性关系。它们之间还可能存在非线性关系。在整堂课的教学中，刘教师总是让学生带着问题来学习，而问题的设置具有一定的梯度，由浅入深，所提出的问题也很明确 把两个变量的相关扩大为若干对变量间相关，把两个变量的相关扩大为若干对变量间相关，并把它们的相关系数按矩阵方式列出，并把它们的相关系数按矩阵方式列出，称之为相关称之为相关矩阵。矩阵。在整堂课的教学中，刘教师总是让学生带着问题来学习，而问题的设置具有一定的梯度，由浅入深，所提出的问题也很明确