留数和留数定理ppt课件.ppt

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1、5-2 留数和留数定理一、留数的定义和计算二、留数定理1设设为为的一个孤立奇点的一个孤立奇点;内的内的 Laurent 级数级数:在在.的某去心邻域的某去心邻域包含包含的任一条正向简单闭曲线的任一条正向简单闭曲线C.一一 、留数的定义和计算、留数的定义和计算，20(高阶导数公式高阶导数公式)0(柯西柯西-古萨定理古萨定理)3定义定义 记作记作包含包含的的任意一条简单闭曲线任意一条简单闭曲线 C 的积分的积分的值的值后所得的数后所得的数以以的一个孤立奇点的一个孤立奇点,如果如果(Residue)则沿则沿内，内，除除称为称为4注注:留数定理将沿封闭曲线留数定理将沿封闭曲线C积分转化为求积分转化为求

2、被积函数在被积函数在C内各孤立奇点处的留数内各孤立奇点处的留数.留数定理留数定理点的一条正向简单闭曲线点的一条正向简单闭曲线,外处处解析外处处解析,奇点奇点在区域在区域 D内除有限个孤立内除有限个孤立函数函数C 是是 D内包围诸奇内包围诸奇那么那么5证明证明两边同时除以两边同时除以 则则.如图，根据复合闭路定理如图，根据复合闭路定理6计算留数的一般公式计算留数的一般公式由由Laurent级数展开定理，定义留数的积分值是级数展开定理，定义留数的积分值是f(z)在在环域环域 内内Laurent级数的负一次幂系数级数的负一次幂系数c-1(1)若若z0为函数为函数f(z)的可去奇点，的可去奇点，成成L

3、aurent级数求级数求(2)如果如果为为的本性奇点的本性奇点,展开展开则需将则需将个个)，则它在点，则它在点z0的留数为零。的留数为零。(负幂项的项数为零负幂项的项数为零7如果如果 为为 的一级极点的一级极点,那末那末规则规则1 1(3)如果如果为为的极点的极点,则有如下计算规则则有如下计算规则 若若z0为为f(z)的的m（m=1，2，3，）级极点）级极点,则有则有规则规则2 2说明说明 将函数的零阶导数看作它本身，规则将函数的零阶导数看作它本身，规则1o可看作规则可看作规则2o 当当m=1时的特殊情形时的特殊情形.8证明 先证规则2o，由于z0为f(z)的m级极点，因此可设在0|z-z0|

4、内有用 乘上式的两端得Laurent级数在其收敛环域内逐项微分得令 ，规则2o成立。9规则规则3 3 如果如果设设及及在在都解析，都解析，那么那么为为的一级极点的一级极点,且有且有103 3 典型例题典型例题例例1 求求在在的留数的留数.解解11例例2 计算积分计算积分C为正向圆周为正向圆周:解解1213例例3 计算积分计算积分C为正向圆周为正向圆周:解解 被积函数被积函数有四个一级极点有四个一级极点都都在圆周在圆周的内部的内部,所以所以由规则由规则3 14例例4 计算积分计算积分C为正向圆周为正向圆周:解解为一级极点为一级极点,为二级极点为二级极点,1516说明说明:如如 为为 m 级极点，当级极点，当 m 较大而导数又难以计算时较大而导数又难以计算时,可直接展开可直接展开Laurent级数求级数求来计算留数来计算留数.在实际计算中应灵活运用计算规则：在实际计算中应灵活运用计算规则：171 若z0为函数f(z)的可去奇点，(负幂项的项数为零个)，则它在点z0的留数为零。小结：小结：留数的计算留数的计算2 若z0为f(z)的一级极点，则有3 若z0为f(z)的m级极点，则对任意整数 有4 设f(z)=P(z)/Q(z)，其中P(z)和Q(z)在点z0都解析。若 ，Q(z0)=0且 ，则z0为f(z)的一级极点，且有18