第一章-数学物理中的偏微分方程ppt课件.ppt

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1、严格执行突发事件上报制度、校外活动报批制度等相关规章制度。做到及时发现、制止、汇报并处理各类违纪行为或突发事件。数学物理方程数学物理方程Equations of Mathematical Physics 严格执行突发事件上报制度、校外活动报批制度等相关规章制度。做到及时发现、制止、汇报并处理各类违纪行为或突发事件。数学物理方程数学物理方程 指从物理学或其他各门自然科指从物理学或其他各门自然科学、技术科学中的某些物理问题导出的偏微分方学、技术科学中的某些物理问题导出的偏微分方程程(有时也包括积分方程、微分积分方程等有时也包括积分方程、微分积分方程等)。它。它们反映了有关的未知变量关于时间的导数和

2、与空们反映了有关的未知变量关于时间的导数和与空间变量的导数之间的制约关系。连续介质力学、间变量的导数之间的制约关系。连续介质力学、电磁学、量子力学等方面的基本方程都属于数学电磁学、量子力学等方面的基本方程都属于数学物理方程的范围。物理方程的范围。教学目的教学目的 通过本课程的教学使学生获得有关偏通过本课程的教学使学生获得有关偏微分方程的一些基本概念、基本方法，掌握三类微分方程的一些基本概念、基本方法，掌握三类典型方程定解问题的解法，进一步扩大学生的数典型方程定解问题的解法，进一步扩大学生的数学知识面，为后继课程提供必要的数学基础。学知识面，为后继课程提供必要的数学基础。2严格执行突发事件上报制

3、度、校外活动报批制度等相关规章制度。做到及时发现、制止、汇报并处理各类违纪行为或突发事件。参考书目参考书目数学物理方程数学物理方程,王明新王明新,清华大学出版社。清华大学出版社。数学物理方程数学物理方程，姜礼尚，高教出版社。，姜礼尚，高教出版社。工程技术中的偏微分方程工程技术中的偏微分方程，潘祖梁，潘祖梁，浙江大学出版社。浙江大学出版社。3严格执行突发事件上报制度、校外活动报批制度等相关规章制度。做到及时发现、制止、汇报并处理各类违纪行为或突发事件。1.1 偏微分方程的一些基本概念4严格执行突发事件上报制度、校外活动报批制度等相关规章制度。做到及时发现、制止、汇报并处理各类违纪行为或突发事件。

4、一一.偏微分方程（偏微分方程（partial differential partial differential equation)equation)（PDEPDE）的基本概念）的基本概念自变量自变量未知函数未知函数偏微分方程的一般形式偏微分方程的一般形式5严格执行突发事件上报制度、校外活动报批制度等相关规章制度。做到及时发现、制止、汇报并处理各类违纪行为或突发事件。PDEPDE的阶的阶：PDEPDE的解的解 古典解古典解广义解广义解概念概念是指这样一个函数，它满足方程，是指这样一个函数，它满足方程，并且在所考虑的区域内有并且在所考虑的区域内有m m阶连阶连续偏导数。续偏导数。线性线性PDEP

5、DE非线性非线性PDEPDE半线性半线性PDEPDE拟线性拟线性PDEPDE完全非线性完全非线性PDEPDE自由项自由项 在偏微分方程中，不含有未知函数及其偏导数的在偏微分方程中，不含有未知函数及其偏导数的项称为自由项项称为自由项6严格执行突发事件上报制度、校外活动报批制度等相关规章制度。做到及时发现、制止、汇报并处理各类违纪行为或突发事件。线性线性PDEPDE：PDEPDE中对所含未知函数及其各阶导数的全中对所含未知函数及其各阶导数的全体都是线性的。例如：体都是线性的。例如：常系数线性常系数线性PDE:PDE:不然称为变系数的不然称为变系数的齐次线性齐次线性PDE:不然称为非齐次的不然称为非

6、齐次的线性线性PDEPDE的主部的主部:具有最高阶数偏导数组成的部分具有最高阶数偏导数组成的部分主部7严格执行突发事件上报制度、校外活动报批制度等相关规章制度。做到及时发现、制止、汇报并处理各类违纪行为或突发事件。PDEPDE中对最高阶导数是线性的。例如中对最高阶导数是线性的。例如：半线性半线性PDEPDE：完全非线性完全非线性PDEPDE：PDEPDE中对最高阶导数不是线性的。中对最高阶导数不是线性的。拟线性拟线性PDEPDE：拟线性拟线性PDEPDE中，最高阶导数的系数仅为自中，最高阶导数的系数仅为自变量的函数。例如：变量的函数。例如：非线性非线性PDE8严格执行突发事件上报制度、校外活动

7、报批制度等相关规章制度。做到及时发现、制止、汇报并处理各类违纪行为或突发事件。举例（未知函数为二元函数）举例（未知函数为二元函数）1.2.变换解为：解为：9严格执行突发事件上报制度、校外活动报批制度等相关规章制度。做到及时发现、制止、汇报并处理各类违纪行为或突发事件。举例（未知函数为二元函数）举例（未知函数为二元函数）4.3.解为：变换解为：10严格执行突发事件上报制度、校外活动报批制度等相关规章制度。做到及时发现、制止、汇报并处理各类违纪行为或突发事件。5.不易找出其通解，但还不易找出其通解，但还是可以找出一些特解是可以找出一些特解任意解析函数任意解析函数 的实部和虚部均满足方程。的实部和虚

8、部均满足方程。也是解也是解6.特解都不易找到特解都不易找到KDVKDV方程方程举例（未知函数为二元函数）举例（未知函数为二元函数）11严格执行突发事件上报制度、校外活动报批制度等相关规章制度。做到及时发现、制止、汇报并处理各类违纪行为或突发事件。7.拟线性拟线性PDE8.拟线性拟线性PDE9.半线性半线性PDE10.半线性半线性PDE11.完全非线性完全非线性PDE12严格执行突发事件上报制度、校外活动报批制度等相关规章制度。做到及时发现、制止、汇报并处理各类违纪行为或突发事件。1.2 三个典型的方程 13严格执行突发事件上报制度、校外活动报批制度等相关规章制度。做到及时发现、制止、汇报并处理

9、各类违纪行为或突发事件。举例举例(多元函数多元函数)拉普拉斯拉普拉斯(Laplace)(Laplace)方程方程热传导方程热传导方程波动方程波动方程14严格执行突发事件上报制度、校外活动报批制度等相关规章制度。做到及时发现、制止、汇报并处理各类违纪行为或突发事件。物理模型与定解问题的导出物理模型与定解问题的导出15严格执行突发事件上报制度、校外活动报批制度等相关规章制度。做到及时发现、制止、汇报并处理各类违纪行为或突发事件。弦振动方程的导出弦振动方程的导出16严格执行突发事件上报制度、校外活动报批制度等相关规章制度。做到及时发现、制止、汇报并处理各类违纪行为或突发事件。一长为一长为L L的柔软

10、均匀细弦，拉紧后，当它受的柔软均匀细弦，拉紧后，当它受到与平衡位置垂直的外力作用时，开始作微小到与平衡位置垂直的外力作用时，开始作微小横振动。横振动。假设这运动发生在同一平面内，求假设这运动发生在同一平面内，求弦上各点位移随时间变化规律。弦上各点位移随时间变化规律。弦上各点作往返运动的主要原因在于弦的张力弦上各点作往返运动的主要原因在于弦的张力作用，弦在运动过程中各点的位移、加速度和张力作用，弦在运动过程中各点的位移、加速度和张力都在不断变化，但它们遵循物理的运动规律。由此都在不断变化，但它们遵循物理的运动规律。由此可以建立弦上各点的位移函数所满足的微分方程。可以建立弦上各点的位移函数所满足的

11、微分方程。17严格执行突发事件上报制度、校外活动报批制度等相关规章制度。做到及时发现、制止、汇报并处理各类违纪行为或突发事件。物理背景：物理背景：波的传播和弹性体振动。波的传播和弹性体振动。弦振动方程的导出弦振动方程的导出 首先，考察首先，考察弦横振动这个物理问题：弦横振动这个物理问题：给定一根两端固定的拉紧的均匀柔软的弦线，设其给定一根两端固定的拉紧的均匀柔软的弦线，设其长度为长度为l，它在外力作用下在平衡位置附近作微小的横它在外力作用下在平衡位置附近作微小的横振动，求弦上各点的运动规律。振动，求弦上各点的运动规律。把实际问题提炼为数学模型时必须做一定的理想化把实际问题提炼为数学模型时必须做

12、一定的理想化假设，以便抓住问题的假设，以便抓住问题的最本质特征最本质特征。严格执行突发事件上报制度、校外活动报批制度等相关规章制度。做到及时发现、制止、汇报并处理各类违纪行为或突发事件。基本假设：基本假设：1.弦的质量是均匀的，弦的截面直径与长度相比可以忽略。弦的质量是均匀的，弦的截面直径与长度相比可以忽略。弦可以视为一条曲线，线密度为常数。弦可以视为一条曲线，线密度为常数。（细弦）（细弦）2.弦在某一个平面内作微小横振动。弦在某一个平面内作微小横振动。弦的位置始终在一直线段附近，弦上各点在同一平面内垂弦的位置始终在一直线段附近，弦上各点在同一平面内垂直于该直线的方向上作微小振动。直于该直线的

13、方向上作微小振动。（微幅微幅）3.弦是柔软的，它在形变时不抵抗弯曲。弦是柔软的，它在形变时不抵抗弯曲。弦上各质点的张力方向与弦的切线方向一致，而弦的伸长变弦上各质点的张力方向与弦的切线方向一致，而弦的伸长变形与张力的关系服从虎克定律。形与张力的关系服从虎克定律。（横振动）（横振动）基本规律：基本规律：牛顿第二定律（冲量定律）牛顿第二定律（冲量定律）严格执行突发事件上报制度、校外活动报批制度等相关规章制度。做到及时发现、制止、汇报并处理各类违纪行为或突发事件。弦线上任意一点在弦线上任意一点在 t 时刻沿时刻沿y轴上的位移轴上的位移研究对象：在在右右图图所所示示的的坐坐标标系系，用用u(x,t)表

14、表示示弦弦上上各各点点在在时时刻刻t沿沿垂垂直直于于x方方向向的的位位移移。在在这这条条弦弦上上任任意意取取一一弦弦段段(x,x+x)，它它的的弧弧长为长为：由假设由假设3 3，弦线张力，弦线张力T T(x)总是总是沿着弦在沿着弦在x处的切线方向由于弦只在垂直处的切线方向由于弦只在垂直x轴的方向进行横振动，因此可以把弦线的张力轴的方向进行横振动，因此可以把弦线的张力T T(x)在在x轴的方向的分量轴的方向的分量看成看成常数常数。对于图中选取的。对于图中选取的弦段而言，张力在弦段而言，张力在x轴的垂直方向上的合力为：轴的垂直方向上的合力为：假设2和假设3严格执行突发事件上报制度、校外活动报批制度

15、等相关规章制度。做到及时发现、制止、汇报并处理各类违纪行为或突发事件。在时间段在时间段(t,t+t)内该合力产生的冲量为：内该合力产生的冲量为：另一方面，在时间段另一方面，在时间段(t,t+t)内内弦段弦段(x,x+x)的动量变化为：的动量变化为：于是由冲量定理：于是由冲量定理：从而有从而有：严格执行突发事件上报制度、校外活动报批制度等相关规章制度。做到及时发现、制止、汇报并处理各类违纪行为或突发事件。进一步由进一步由t，x 的任意性的任意性，有有 假定有垂直于假定有垂直于x轴轴方向的外力存在方向的外力存在，并，并设其设其线密度为线密度为F(x,t)，则则弦弦段段(x,x+x)上的外力为：上的

16、外力为：它在时间段它在时间段(t,t+t)内的冲量为：内的冲量为：严格执行突发事件上报制度、校外活动报批制度等相关规章制度。做到及时发现、制止、汇报并处理各类违纪行为或突发事件。类似地，三维波动方程可以表示为类似地，三维波动方程可以表示为：于是有：于是有：严格执行突发事件上报制度、校外活动报批制度等相关规章制度。做到及时发现、制止、汇报并处理各类违纪行为或突发事件。简化假设：(2)振幅极小，张力与水平方向的夹角很小。(1)弦是柔软的，弦上的任意一点的张力沿弦的切线方向。牛顿运动定律：横向：纵向：其中：严格执行突发事件上报制度、校外活动报批制度等相关规章制度。做到及时发现、制止、汇报并处理各类违

17、纪行为或突发事件。其中：其中：其中：严格执行突发事件上报制度、校外活动报批制度等相关规章制度。做到及时发现、制止、汇报并处理各类违纪行为或突发事件。一维波动方程令：-非齐次方程非齐次方程自由项-齐次方程齐次方程忽略重力作用：忽略重力作用：严格执行突发事件上报制度、校外活动报批制度等相关规章制度。做到及时发现、制止、汇报并处理各类违纪行为或突发事件。非均匀弦的强迫横振动方程非均匀弦的强迫横振动方程一维波动方程不仅可以描述弦的振动，还可以描述：一维波动方程不仅可以描述弦的振动，还可以描述：一维波动方程不仅可以描述弦的振动，还可以描述：一维波动方程不仅可以描述弦的振动，还可以描述：弹性杆的纵向振动弹

18、性杆的纵向振动弹性杆的纵向振动弹性杆的纵向振动管道中气体小扰动的传播管道中气体小扰动的传播管道中气体小扰动的传播管道中气体小扰动的传播等等等等等等等等 因此，一个方程反应的不止是一个物理现象，因此，一个方程反应的不止是一个物理现象，因此，一个方程反应的不止是一个物理现象，因此，一个方程反应的不止是一个物理现象，而是一类问题。而是一类问题。而是一类问题。而是一类问题。严格执行突发事件上报制度、校外活动报批制度等相关规章制度。做到及时发现、制止、汇报并处理各类违纪行为或突发事件。2+1维波动方程或膜振动方程维波动方程或膜振动方程 一块均匀的拉紧的薄膜，离开静止水平位置作一块均匀的拉紧的薄膜，离开静

19、止水平位置作垂直于水平位置的微小振动，其运动规律满足垂直于水平位置的微小振动，其运动规律满足其中：其中：u(x,y,t)表示在表示在 t 时刻、膜在时刻、膜在(x,y)点处的位移点处的位移f(x,y,t)表示单位质量所受的外力表示单位质量所受的外力a2=T/：T表示张力、表示张力、为线密度为线密度28严格执行突发事件上报制度、校外活动报批制度等相关规章制度。做到及时发现、制止、汇报并处理各类违纪行为或突发事件。3+1维波动方程或声波方程维波动方程或声波方程n+1维波动方程维波动方程29严格执行突发事件上报制度、校外活动报批制度等相关规章制度。做到及时发现、制止、汇报并处理各类违纪行为或突发事件

20、。1.4 定解条件和定解问题30严格执行突发事件上报制度、校外活动报批制度等相关规章制度。做到及时发现、制止、汇报并处理各类违纪行为或突发事件。列列出出微微分分方方程程的的目目的的是是要要从从微微分分方方程程中中求求得得具具体体问问题题的的解解或或者者研研究究解解的的性性质质。前前面面我我们们看看到到，弦弦振振动动方方程程描描述述的的是是弦弦作作微微小小横横振振动动时时的的位位移移函函数数u(x,t)所所应应满满足足的的一一般般性性规规律律。仅仅仅仅利利用用它它并并不不能能完完全全确确定定一一条条弦弦的的具具体体运运动动状状况况。这这是是因因为为弦弦的的运运动动还还与与其其初初始始状状态态以以

21、及及边边界界所所处处的的状状况况有有关关系系，因因此此对对于于具具体体的的弦弦振振动动问问题题而而言言，还还需需要要结结合合实实际际问问题题附附加加某些特定条件。某些特定条件。例如例如:在前面的推导中，弦的两端被固定在在前面的推导中，弦的两端被固定在x=0和和x=l两点，即两点，即 u(0,t)=0，u(l,t)=0，这两个等式称为这两个等式称为边界条件边界条件。此外，设弦在初始时刻。此外，设弦在初始时刻t=0时的位置和速度为时的位置和速度为这两个等式称为这两个等式称为初始条件初始条件。边界条件和初始条件总称为。边界条件和初始条件总称为定解条件定解条件。把。把微分微分方程方程和和定解条件定解条

22、件结合起来，就得到了与实际问题相对应的结合起来，就得到了与实际问题相对应的定解问题定解问题。对于弦振动方程而言，与上述定解条件结合后，其定解问题可以描述为：对于弦振动方程而言，与上述定解条件结合后，其定解问题可以描述为：定解条件定解条件严格执行突发事件上报制度、校外活动报批制度等相关规章制度。做到及时发现、制止、汇报并处理各类违纪行为或突发事件。要在区域要在区域上（见右上图）求上述定解问题的解，就是上（见右上图）求上述定解问题的解，就是要求这样的连续函数要求这样的连续函数u(x,t)，它在区域，它在区域0 x0中满足波动方程中满足波动方程(2.1)；在；在x轴上的区间轴上的区间 0,l 上满足

23、初始条件上满足初始条件(2.2)；并在边界；并在边界x=0和和x=l上满足边界条件上满足边界条件(2.3)和和(2.4)。一一般般称称形形如如(2.3)和和(2.4)的的边边界界条条件件为为第第一一类类边边界界条条件件，也也叫叫狄狄利利克克雷雷（DirichletDirichlet）边界条件）边界条件。定解条件定解条件严格执行突发事件上报制度、校外活动报批制度等相关规章制度。做到及时发现、制止、汇报并处理各类违纪行为或突发事件。波动方程的初始条件1、初始条件、初始条件描述系统的初始状态描述系统的初始状态系统各点的初位移系统各点的初速度定解条件定解条件严格执行突发事件上报制度、校外活动报批制度等

24、相关规章制度。做到及时发现、制止、汇报并处理各类违纪行为或突发事件。(2)自由端：自由端：x=a 端既不固定，又不受位移方向力的作用。端既不固定，又不受位移方向力的作用。2、边界条件、边界条件描述系统在边界上的状况描述系统在边界上的状况波动方程的三类边界条件(1)固定端：对于两端固定的弦的横振动，其为：固定端：对于两端固定的弦的横振动，其为：或：或：(3)弹性支承端：在弹性支承端：在x=a端受到弹性系数为端受到弹性系数为k 的弹簧的支承。的弹簧的支承。或或诺依曼（诺依曼（Neumann）边界条件边界条件狄利克雷（狄利克雷（Dirichlet）边界条件边界条件严格执行突发事件上报制度、校外活动报

25、批制度等相关规章制度。做到及时发现、制止、汇报并处理各类违纪行为或突发事件。同一类物理现象中，各个具体问题又各有其特殊性。边同一类物理现象中，各个具体问题又各有其特殊性。边界条件和初始条件反映了具体问题的特殊环境和历史，即界条件和初始条件反映了具体问题的特殊环境和历史，即个性。个性。初始条件：初始条件：够用来说明某一具体物理现象初始状态的条件。够用来说明某一具体物理现象初始状态的条件。边界条件：边界条件：能够用来说明某一具体物理现象边界上的约束能够用来说明某一具体物理现象边界上的约束情况的条件情况的条件。其他条件：其他条件：能够用来说明某一具体物理现象情况的条件。能够用来说明某一具体物理现象情

26、况的条件。定解条件定解条件严格执行突发事件上报制度、校外活动报批制度等相关规章制度。做到及时发现、制止、汇报并处理各类违纪行为或突发事件。定解问题定解问题定解问题适定性概念定解问题适定性概念(1)(1)初始问题：只有初始条件，没有边界条件的定解问题；初始问题：只有初始条件，没有边界条件的定解问题；(2)(2)边值问题：没有初始条件，只有边界条件的定解问题；边值问题：没有初始条件，只有边界条件的定解问题；(3)(3)混合问题：既有初始条件，也有边界条件的定解问题。混合问题：既有初始条件，也有边界条件的定解问题。把某种物理现象满足的偏微分方程和其相应的定解把某种物理现象满足的偏微分方程和其相应的定

27、解条件结合在一起，就构成了一个条件结合在一起，就构成了一个定解问题。定解问题的检验定解问题的检验 解的存在性：定解问题是否有解；解的存在性：定解问题是否有解；解的唯一性：是否只有一解；解的唯一性：是否只有一解；解的稳定性：定解条件有微小变动时，解是否有相应解的稳定性：定解条件有微小变动时，解是否有相应 的微小变动。的微小变动。严格执行突发事件上报制度、校外活动报批制度等相关规章制度。做到及时发现、制止、汇报并处理各类违纪行为或突发事件。经典的定解问题举例经典的定解问题举例维波动方程维波动方程(弦振动方程弦振动方程)的初值问题的初值问题37严格执行突发事件上报制度、校外活动报批制度等相关规章制度

28、。做到及时发现、制止、汇报并处理各类违纪行为或突发事件。经典的定解问题举例经典的定解问题举例热传导方程的初值问题热传导方程的初值问题38严格执行突发事件上报制度、校外活动报批制度等相关规章制度。做到及时发现、制止、汇报并处理各类违纪行为或突发事件。经典的定解问题举例经典的定解问题举例二维调和方程的二维调和方程的边值问题边值问题第一边值问题（Dirichlet）第二边值问题（Neumann）第三边值问题（Robin）39严格执行突发事件上报制度、校外活动报批制度等相关规章制度。做到及时发现、制止、汇报并处理各类违纪行为或突发事件。经典的定解问题举例经典的定解问题举例热传导方程的初、边值问题热传导

29、方程的初、边值问题40严格执行突发事件上报制度、校外活动报批制度等相关规章制度。做到及时发现、制止、汇报并处理各类违纪行为或突发事件。何为适定性？何为适定性？存在性存在性唯一性唯一性连续依赖性（稳定性）连续依赖性（稳定性）适定性适定性若PDE在附加条件及求解域的一定要求下，它的解在已知度量的某函数类中存在、唯一而且关于附加条件为稳定的，就称定解问题在相应的函数类中为适定的适定的。稳定性：只要定解条件的偏差足够小，相应的稳定性：只要定解条件的偏差足够小，相应的定解问题解的偏差也将非常小定解问题解的偏差也将非常小41严格执行突发事件上报制度、校外活动报批制度等相关规章制度。做到及时发现、制止、汇报

30、并处理各类违纪行为或突发事件。除了研究定解问题的适定性外，数理方程中还经常研除了研究定解问题的适定性外，数理方程中还经常研究的问题包括：解的正则性（光滑性）、解的渐近性究的问题包括：解的正则性（光滑性）、解的渐近性（包括衰减性）和定解问题的求解方法（精确解、渐近（包括衰减性）和定解问题的求解方法（精确解、渐近解、数值解）等。解、数值解）等。定解问题适定性概念定解问题适定性概念严格执行突发事件上报制度、校外活动报批制度等相关规章制度。做到及时发现、制止、汇报并处理各类违纪行为或突发事件。定解问题的适定性定解问题的适定性定解定解问题问题PDE定解条件定解条件初值条件初值条件 initial con

31、dition边值条件边值条件 boundary condition初、边值条件初、边值条件初值问题、边值问题、混合问题初值问题、边值问题、混合问题43严格执行突发事件上报制度、校外活动报批制度等相关规章制度。做到及时发现、制止、汇报并处理各类违纪行为或突发事件。热传导方程44严格执行突发事件上报制度、校外活动报批制度等相关规章制度。做到及时发现、制止、汇报并处理各类违纪行为或突发事件。热传导热传导分析：设杆长方向为分析：设杆长方向为x轴，考虑轴，考虑杆上从杆上从x到到x+dx的一段的一段(代表代表)，其，其质量为质量为dm=dx，热容量为，热容量为cdm。设杆中的热流沿设杆中的热流沿x轴正向，

32、强度轴正向，强度为为q(x,t)，温度分布为，温度分布为 u(x,t)，则，则问题：一根长为问题：一根长为L的均匀导热细的均匀导热细杆，侧面绝热，内部无热源。其杆，侧面绝热，内部无热源。其热传导系数为热传导系数为k，比热为，比热为c，线密，线密度为度为。求杆内温度变化的规律。求杆内温度变化的规律。由能量守恒定律由能量守恒定律 cdmdu=dQ=q(x,t)-q(x+dx,t)dt=-qx(x,t)dxdt于是有于是有c ut=-qx由热传导定律由热传导定律q(x,t)=-k ux(x,t)代入前面的式子，得到代入前面的式子，得到c ut=k uxxut=a2 uxx45严格执行突发事件上报制度

33、、校外活动报批制度等相关规章制度。做到及时发现、制止、汇报并处理各类违纪行为或突发事件。推广：推广：情况：内部有热源情况：内部有热源(或侧面不绝热或侧面不绝热)分析：设热源强度分析：设热源强度(单位时间在单位长度单位时间在单位长度 中产生的热量中产生的热量)为为F(x,t)，代表段的，代表段的 吸热为吸热为Fdxdt方程：方程：c ut=k uxx+F ut=a2 uxx+f，f=F/(c)46严格执行突发事件上报制度、校外活动报批制度等相关规章制度。做到及时发现、制止、汇报并处理各类违纪行为或突发事件。稳定场方程稳定场方程47严格执行突发事件上报制度、校外活动报批制度等相关规章制度。做到及时

34、发现、制止、汇报并处理各类违纪行为或突发事件。产生：在演化问题中，有时会到达一个不随时间变化产生：在演化问题中，有时会到达一个不随时间变化的稳定状态，对应的方程称为稳定场方程。的稳定状态，对应的方程称为稳定场方程。形式：在对应的演化方程中取消时间变量形式：在对应的演化方程中取消时间变量t，对，对t的导的导数为零。数为零。分类：分类：无外界作用情况无外界作用情况拉普拉斯方程：拉普拉斯方程：u=utt+uyy+uzz=0有外界作用情况有外界作用情况泊松方程：泊松方程：u=utt+uyy+uzz=f(x,y,z)典型应用典型应用静电场方程：静电场方程：u=-/稳定温度分布：稳定温度分布：u=-F/k

35、48严格执行突发事件上报制度、校外活动报批制度等相关规章制度。做到及时发现、制止、汇报并处理各类违纪行为或突发事件。数学物理方程的分类数学物理方程的分类在数学物理方程的建立过程中，我们主要在数学物理方程的建立过程中，我们主要讨论了三种类型的偏微分方程：波动方程；讨论了三种类型的偏微分方程：波动方程；热传导方程；稳定场方程这三类方程描热传导方程；稳定场方程这三类方程描写了不同物理现象及其过程写了不同物理现象及其过程49 严格执行突发事件上报制度、校外活动报批制度等相关规章制度。做到及时发现、制止、汇报并处理各类违纪行为或突发事件。二阶线性二阶线性PDE方程的分类方程的分类两个自变量，齐次两个自变

36、量，齐次主部主部目的目的：通过自变量的非奇异变换来简化方程通过自变量的非奇异变换来简化方程的主部，从而据此分类。的主部，从而据此分类。非奇异非奇异（1）50严格执行突发事件上报制度、校外活动报批制度等相关规章制度。做到及时发现、制止、汇报并处理各类违纪行为或突发事件。复合求导复合求导51严格执行突发事件上报制度、校外活动报批制度等相关规章制度。做到及时发现、制止、汇报并处理各类违纪行为或突发事件。系数之间的关系（2）（1）（3）52严格执行突发事件上报制度、校外活动报批制度等相关规章制度。做到及时发现、制止、汇报并处理各类违纪行为或突发事件。其他系数之间的关系（3*）53严格执行突发事件上报制

37、度、校外活动报批制度等相关规章制度。做到及时发现、制止、汇报并处理各类违纪行为或突发事件。考虑考虑如若能找到两个相互独立的解如若能找到两个相互独立的解那么就作变换那么就作变换从而有从而有（4）54严格执行突发事件上报制度、校外活动报批制度等相关规章制度。做到及时发现、制止、汇报并处理各类违纪行为或突发事件。假设假设是方程是方程的特解，则关系式的特解，则关系式是常微分方程是常微分方程（4）（5）的一般积分。反之亦然。的一般积分。反之亦然。引理引理 由此可知，要求方程（由此可知，要求方程（4）的解，只须求出常微）的解，只须求出常微分方程（分方程（5）的一般积分。）的一般积分。55严格执行突发事件上

38、报制度、校外活动报批制度等相关规章制度。做到及时发现、制止、汇报并处理各类违纪行为或突发事件。定义定义称常微分方程（称常微分方程（5）为）为PDE（1）的）的特征方程。特征方程。称（称（5）的积分曲线为）的积分曲线为PDE（1）的）的特征曲线。特征曲线。（6）56严格执行突发事件上报制度、校外活动报批制度等相关规章制度。做到及时发现、制止、汇报并处理各类违纪行为或突发事件。记记定义定义方程方程(1)在点在点M 处是处是双曲型双曲型：椭圆型：椭圆型：抛物型：抛物型：若在点若在点M M处，有处，有若在点若在点M M处，有处，有若在点若在点M M处，有处，有57严格执行突发事件上报制度、校外活动报批

39、制度等相关规章制度。做到及时发现、制止、汇报并处理各类违纪行为或突发事件。双曲型双曲型PDE右端为两相异右端为两相异的实函数的实函数它们的一般积分为它们的一般积分为由此令由此令，方程（方程（1 1）可改写为）可改写为双曲型方程的双曲型方程的第一标准型第一标准型双曲型方程的双曲型方程的第二标准型第二标准型58严格执行突发事件上报制度、校外活动报批制度等相关规章制度。做到及时发现、制止、汇报并处理各类违纪行为或突发事件。抛物型抛物型PDE由此得到一般积分为由此令由此令，其中与独立独立(线性无关线性无关)的任意函数。的任意函数。59严格执行突发事件上报制度、校外活动报批制度等相关规章制度。做到及时发

40、现、制止、汇报并处理各类违纪行为或突发事件。由于由于由此推出由此推出60严格执行突发事件上报制度、校外活动报批制度等相关规章制度。做到及时发现、制止、汇报并处理各类违纪行为或突发事件。因此，方程（因此，方程（1 1）可改写为）可改写为抛物型方程的标准型抛物型方程的标准型而而61严格执行突发事件上报制度、校外活动报批制度等相关规章制度。做到及时发现、制止、汇报并处理各类违纪行为或突发事件。椭圆型椭圆型PDE右端为两相异右端为两相异的复数的复数由此推出两族复数积分曲线为由此推出两族复数积分曲线为其中62严格执行突发事件上报制度、校外活动报批制度等相关规章制度。做到及时发现、制止、汇报并处理各类违纪

41、行为或突发事件。由此令由此令从而方程（从而方程（1 1）可改写为）可改写为，满足方程（满足方程（4 4）椭圆型方程的标准型椭圆型方程的标准型63严格执行突发事件上报制度、校外活动报批制度等相关规章制度。做到及时发现、制止、汇报并处理各类违纪行为或突发事件。例例1抛物型方程抛物型方程令64严格执行突发事件上报制度、校外活动报批制度等相关规章制度。做到及时发现、制止、汇报并处理各类违纪行为或突发事件。例例2双曲型方程双曲型方程65严格执行突发事件上报制度、校外活动报批制度等相关规章制度。做到及时发现、制止、汇报并处理各类违纪行为或突发事件。例例3Tricomi方程椭圆型椭圆型双曲型双曲型抛物型抛物

42、型66严格执行突发事件上报制度、校外活动报批制度等相关规章制度。做到及时发现、制止、汇报并处理各类违纪行为或突发事件。67严格执行突发事件上报制度、校外活动报批制度等相关规章制度。做到及时发现、制止、汇报并处理各类违纪行为或突发事件。叠加原理叠加原理弦振动方程的达朗贝尔解法弦振动方程的达朗贝尔解法严格执行突发事件上报制度、校外活动报批制度等相关规章制度。做到及时发现、制止、汇报并处理各类违纪行为或突发事件。叠加原理叠加原理 从本节开始我们讨论弦振动方程的各类定解问题。在此从本节开始我们讨论弦振动方程的各类定解问题。在此之前，先介绍叠加原理之前，先介绍叠加原理 在物理学研究中经常出现这样的现象：

43、几种不同原因的综在物理学研究中经常出现这样的现象：几种不同原因的综合所产生的效果等于这些不同原因单独（假设其他原因不存合所产生的效果等于这些不同原因单独（假设其他原因不存在）产生的效果的累加。这就是叠加原理。在）产生的效果的累加。这就是叠加原理。典型例子：典型例子：力和加速度的关系，万有引力场的可叠加性力和加速度的关系，万有引力场的可叠加性复杂的声音复杂的声音各种单音的叠加各种单音的叠加电磁场中的叠加原理电磁场中的叠加原理严格执行突发事件上报制度、校外活动报批制度等相关规章制度。做到及时发现、制止、汇报并处理各类违纪行为或突发事件。则对于任意的常数则对于任意的常数C1、C2，函数，函数是方程是

44、方程的解。的解。例如：若例如：若u1 1(x,t)是方程是方程的解，的解，而而u2 2(x,t)是方程是方程的解，的解，因此，弦振动方程满足叠加原理因此，弦振动方程满足叠加原理线性方程线性方程线性方程线性方程都满足都满足叠加原理叠加原理严格执行突发事件上报制度、校外活动报批制度等相关规章制度。做到及时发现、制止、汇报并处理各类违纪行为或突发事件。线性方程解（线性系统）具有叠加特性线性方程解（线性系统）具有叠加特性 几种不同的原因的综合所产生的效果等于这些不同原因单独产生的效果的累加。(物理上)严格执行突发事件上报制度、校外活动报批制度等相关规章制度。做到及时发现、制止、汇报并处理各类违纪行为或

45、突发事件。弦振动方程的达朗贝尔解法弦振动方程的达朗贝尔解法 先从最简单的情形入手，即首先考察边界的影响可以忽略不计的情先从最简单的情形入手，即首先考察边界的影响可以忽略不计的情况（如果所考察的物体（弦线）长度很长，而我们所关注的又只是在较况（如果所考察的物体（弦线）长度很长，而我们所关注的又只是在较短时间内且距离边界较远的一段范围中的运动情况，那么边界条件的影短时间内且距离边界较远的一段范围中的运动情况，那么边界条件的影响就可以忽略，并不妨把所考察的物体的长度视为无限长）。这样的情响就可以忽略，并不妨把所考察的物体的长度视为无限长）。这样的情况下，定解问题归结为如下形式：况下，定解问题归结为如

46、下形式：这个定解问题中，定解条件只有初始条件，故通常称为初值问题这个定解问题中，定解条件只有初始条件，故通常称为初值问题(也也称柯西（称柯西（Cauchy）问题）。相应地，前一节中的定解问题）问题）。相应地，前一节中的定解问题(1.1)(1.4)由由于既有初始条件，又有边界条件，故称为初边值问题或混合问题。于既有初始条件，又有边界条件，故称为初边值问题或混合问题。方程方程(1.5)中的自由项中的自由项f(x,t)是由于外力作用产生的，因此方程是由于外力作用产生的，因此方程(1.5)中中f(x,t)恒为零恒为零的情况对应于的情况对应于自由振动自由振动；f(x,t)不为零不为零的情况对应于的情况对

47、应于强迫振动强迫振动。严格执行突发事件上报制度、校外活动报批制度等相关规章制度。做到及时发现、制止、汇报并处理各类违纪行为或突发事件。首首先先，我我们们考考察察代代表表自自由由振振动动情情况况的的初初值值问问题题(I I)，它它可可以以通通过过自自变变量量变变换换的的方方法法求求解解。引引如如新新自自变变量量：=x-at，=x+at。利利用用复复合合函函数数求求导导的的法则，有法则，有类似地，类似地，从从而而，方方程程(1.7)就就化化为为 ，这这个个方方程程可可以以直直接接求求解解。把把它它关关于于积积分分一一次次，再再关关于于积积分分一一次次，就就可可以以得得到到它它的的通通解解为为u(,

48、)=F()+G()，其其中中，F和和G是是任任意意两两个个可可微微分分的的单单变变量量函函数数。代代回回原原来来的的自自变变量量，方方程程(1.7)的的通通解解表示为表示为u(x,t)=F(x-at)+G(x+at)。严格执行突发事件上报制度、校外活动报批制度等相关规章制度。做到及时发现、制止、汇报并处理各类违纪行为或突发事件。利用这个通解表达式，就可以利用初始条件利用这个通解表达式，就可以利用初始条件(1.8)来决定函数来决定函数F和和G，进而求出初值问题进而求出初值问题(I I)的解。把上述通解表达式代入的解。把上述通解表达式代入初始条件初始条件(1.8)，得到：，得到：(1.12)式是一

49、个简单的常微分方程，求解它得到式是一个简单的常微分方程，求解它得到由由(1.11)和和(1.13)式联立求解可以得出函数式联立求解可以得出函数F和和G把它们代入方程把它们代入方程(1.7)的的通解表达式就得到了通解表达式就得到了初值问题初值问题(I I)的解的解严格执行突发事件上报制度、校外活动报批制度等相关规章制度。做到及时发现、制止、汇报并处理各类违纪行为或突发事件。这个公式这个公式(1.14)称为达朗贝尔公式。从以上推导过程可以看出：如果称为达朗贝尔公式。从以上推导过程可以看出：如果初值问题初值问题(I I)有解，则解一定可以根据初始条件由有解，则解一定可以根据初始条件由达朗贝尔公式表达

50、出来，达朗贝尔公式表达出来，因此该问题的解是唯一的。因此该问题的解是唯一的。唯一性唯一性 同时，若函数同时，若函数(x)在求解区域内具有二阶连续偏导数，在求解区域内具有二阶连续偏导数，(x)在求解区在求解区域内具有一阶连续偏导数，那么可以验证公式域内具有一阶连续偏导数，那么可以验证公式(1.14)给出的的确是初值问给出的的确是初值问题题(I I)的解。的解。存在性存在性 另外，另外，初值问题初值问题(I I)的解关于初始条件的连续依赖性也可以很容易地从的解关于初始条件的连续依赖性也可以很容易地从达朗贝尔公式中看出。达朗贝尔公式中看出。稳定性稳定性严格执行突发事件上报制度、校外活动报批制度等相关