第5章空间力系与重心.ppt

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1、http:/ 空间力系与重心空间力系与重心（时间：2次课，4学时）http:/ 空间力系与重心空间力系与重心n教学目标n工程中常见物体所受各力的作用线并不都是在同一平面内工程中常见物体所受各力的作用线并不都是在同一平面内,而是空间分布而是空间分布的的,如发动机变速箱如发动机变速箱,机床主轴等结构。设计这些结构时，需要进行结构机床主轴等结构。设计这些结构时，需要进行结构的空间受力分析，的空间受力分析，本章主要研究空间力系的平衡问题及其应用。本章主要研究空间力系的平衡问题及其应用。n空间力系中，按照力作用线的相对分布位置，又可以分为空间汇交力系、空间力系中，按照力作用线的相对分布位置，又可以分为空

2、间汇交力系、空间力偶系、空间平行力系和空间一般力系。而前面讨论的平面力系也空间力偶系、空间平行力系和空间一般力系。而前面讨论的平面力系也可以看作是空间力系的特殊情况。可以看作是空间力系的特殊情况。n通过本章的学习，要求读者了解空间力系的投影计算方法，空间力对轴通过本章的学习，要求读者了解空间力系的投影计算方法，空间力对轴之矩的概念和空间力系平衡分析计算。之矩的概念和空间力系平衡分析计算。http:/ 空间力系与重心空间力系与重心n教学重点和难点：n计算空间力系在直角坐标轴上的投影方法，二次投影法的应计算空间力系在直角坐标轴上的投影方法，二次投影法的应用；用；n空间力对轴之矩的概念和将空间力系问

3、题转化为平面力系问空间力对轴之矩的概念和将空间力系问题转化为平面力系问题的分析方法和过程；题的分析方法和过程；n空间力系平衡分析空间力系平衡分析n空间力系平衡问题分解成为三个平面的平面力系问题的求解；空间力系平衡问题分解成为三个平面的平面力系问题的求解；n平行力系中心、图形的形心和物体的重心等概念及其在实际平行力系中心、图形的形心和物体的重心等概念及其在实际中的应用。中的应用。http:/ 空间力系与重心空间力系与重心n5.1 力在空间直角坐标系中的投影力在空间直角坐标系中的投影 n5.2 力对轴的矩力对轴的矩 n5.3 空间力系的平衡空间力系的平衡 n5.4 物体的重心物体的重心 n5.5

4、实训与练习实训与练习 http:/ 力在空间直角坐标系中的投影力在空间直角坐标系中的投影u5.1.1 力在空间直角坐标轴上的投影力在空间直角坐标轴上的投影 u5.1.2 合力投影定理合力投影定理 http:/ 力在空间直角坐标系中的投影力在空间直角坐标系中的投影n前面几个章节中，我们讨论的力系中的力作用线都前面几个章节中，我们讨论的力系中的力作用线都是位于同一个平面内，即平面力系问题。在工程中，是位于同一个平面内，即平面力系问题。在工程中，经常有物体所受到的各力的作用线不在同一平面内，经常有物体所受到的各力的作用线不在同一平面内，而是空间分布的情况，如图而是空间分布的情况，如图5.1所示。这些

5、力系既所示。这些力系既为空间力系。为空间力系。http:/ 力在空间直角坐标系中的投影力在空间直角坐标系中的投影图5.1工程中空间力系实例 http:/ 力在空间直角坐标轴上的投影力在空间直角坐标轴上的投影 http:/ 力在空间直角坐标轴上的投影力在空间直角坐标轴上的投影 http:/ 力在空间直角坐标轴上的投影力在空间直角坐标轴上的投影 http:/ 力在空间直角坐标轴上的投影力在空间直角坐标轴上的投影 http:/ 合力投影定理合力投影定理 http:/ 合力投影定理合力投影定理 http:/ 力对轴的矩力对轴的矩 u5.2.1 力对轴的矩的概念力对轴的矩的概念 u5.2.2 合力矩定理

6、合力矩定理 http:/ 力对轴的矩力对轴的矩 n在第在第3章中已经建立了平面力系中力对点的矩的概章中已经建立了平面力系中力对点的矩的概念念,实际上平面力系中力对点的矩是空间力系中力对实际上平面力系中力对点的矩是空间力系中力对通过矩心并垂直与转动平面的轴的矩。在工程实践通过矩心并垂直与转动平面的轴的矩。在工程实践和日常生活中，常遇到刚体在力的作用下绕固定轴和日常生活中，常遇到刚体在力的作用下绕固定轴转动的情形。转动的情形。http:/ 力对轴的矩的概念力对轴的矩的概念 n们用力对轴的矩来度量力使刚体绕轴转动的效应。以开关门为例，讨论力对轴的们用力对轴的矩来度量力使刚体绕轴转动的效应。以开关门为

7、例，讨论力对轴的矩。矩。n如图如图5.5(a)所示的关门动作。门的一边是转轴所示的关门动作。门的一边是转轴z，现在，现在A点作用一力点作用一力F。为度量。为度量力力F对门的转动效应，可将力对门的转动效应，可将力F分解为两个互相垂直的分力：一个是与分解为两个互相垂直的分力：一个是与z轴平行的轴平行的分力分力Fz=Fsin；另一个是与；另一个是与z轴垂直的并过轴垂直的并过A点的点的P平面上的分力平面上的分力Fxy=Fcos。由日常经验可知，。由日常经验可知，Fz是不能使门绕是不能使门绕z轴转动的，因此只有分力轴转动的，因此只有分力Fxy才对门产生才对门产生绕绕z轴的转动作用。轴的转动作用。n我们取

8、我们取P平面来做进一步研究，如图平面来做进一步研究，如图5.5(b)所示。如以所示。如以d表示表示z 轴与轴与P平面的交平面的交点点O到分力到分力Fxy作用线的垂直距离，则作用线的垂直距离，则Fxy对对O点的矩，就代表了力点的矩，就代表了力F对门产生绕对门产生绕转轴转轴z转动效应的度量，记作：转动效应的度量，记作：n （5-8）n式（式（5-8）表明：力对轴之矩的大小等于力在与该轴垂直的平面上的投影对该轴）表明：力对轴之矩的大小等于力在与该轴垂直的平面上的投影对该轴与该平面交点的矩。与该平面交点的矩。n力对轴的矩是代数量。力对轴的矩的正负号表示为力对刚体绕轴的转动方向，规力对轴的矩是代数量。力

9、对轴的矩的正负号表示为力对刚体绕轴的转动方向，规定为：当从轴的正向看去，逆时针方向转动为正，顺时针方向转动为负。也可以定为：当从轴的正向看去，逆时针方向转动为正，顺时针方向转动为负。也可以用右手螺旋法则，即用右手的四指表示力绕轴的转向，如果拇指的指向与用右手螺旋法则，即用右手的四指表示力绕轴的转向，如果拇指的指向与z轴一轴一致，力矩为正，反之为负。如图致，力矩为正，反之为负。如图5.6 所示。所示。http:/ 力对轴的矩的概念力对轴的矩的概念 图5.5力对轴之矩 http:/ 力对轴的矩的概念力对轴的矩的概念 图5.6 空间力对轴的矩方向的规定 http:/ 合力矩定理合力矩定理 http:

10、/ 合力矩定理合力矩定理 http:/ 合力矩定理合力矩定理 图5.7求拐轴中力F对坐标轴的矩 http:/ 空间力系的平衡空间力系的平衡 u5.3.1 空间力系的平衡方程空间力系的平衡方程 u5.3.2 空间力系平衡方程式的应用空间力系平衡方程式的应用 u5.3.3 空间力系平衡应用举例空间力系平衡应用举例 http:/ 空间力系的平衡空间力系的平衡 n一个空间任意力系一个空间任意力系F1，F2，Fn作用在物体上，若这个作用在物体上，若这个物体不平衡，则力系可能使物体产生沿物体不平衡，则力系可能使物体产生沿x、y、z轴方向的移轴方向的移动，和使物体绕动，和使物体绕x、y、z三个轴的转动；若物

11、体沿三个轴的转动；若物体沿x、y、z轴方向不会移动，同时物体也不会绕轴方向不会移动，同时物体也不会绕x、y、z三个轴的转动三个轴的转动则物体处于平衡状态。作用在处于平衡状态物体上的力系的则物体处于平衡状态。作用在处于平衡状态物体上的力系的合力合力R为零为零,合力合力R对对x、y、z三个轴的矩为零。三个轴的矩为零。http:/ 空间力系的平衡方程空间力系的平衡方程n作用在处于平衡状态物体上的力系的合力作用在处于平衡状态物体上的力系的合力R为零既是力系中的各力在坐为零既是力系中的各力在坐标轴上的投影代数和为零；当物体绕某轴的转动状态不发生变化，同样标轴上的投影代数和为零；当物体绕某轴的转动状态不发

12、生变化，同样力系中的各力对该轴的矩代数和也为零。力系中的各力对该轴的矩代数和也为零。n由此可见，空间任意力系使物体平衡的必要和充分条件是：力系中的各由此可见，空间任意力系使物体平衡的必要和充分条件是：力系中的各力在三个坐标轴上投影的代数和以及各力对三个坐标轴的矩的代数和都力在三个坐标轴上投影的代数和以及各力对三个坐标轴的矩的代数和都必须同时为零。即：必须同时为零。即：n （5-12）n5-12）称为空间任意力系的平衡方程。利用该六个独立的方程式，可以）称为空间任意力系的平衡方程。利用该六个独立的方程式，可以求解六个未知力。求解六个未知力。n空间问题中，物体的约束分析要按照空间的力作用方式进行分

13、析。空间问题中，物体的约束分析要按照空间的力作用方式进行分析。http:/ 空间力系平衡方程式的应用空间力系平衡方程式的应用 http:/ 空间力系平衡应用举例空间力系平衡应用举例 n例例5-4 如图如图5.8(a)所示空间支架固定在相互垂直的墙上。支所示空间支架固定在相互垂直的墙上。支架由垂直于两墙面的光滑铰接杆架由垂直于两墙面的光滑铰接杆OA、OB和和OC组成，其中组成，其中OA和和OB位于同一水平面内。已知位于同一水平面内。已知=30，=60，在三，在三杆汇交点杆汇交点O处挂一重为处挂一重为G=1.2KN的重物。若不计各杆自重，的重物。若不计各杆自重，试求三杆的受力。试求三杆的受力。ht

14、tp:/ 空间力系平衡应用举例空间力系平衡应用举例图5.8 空间支架 http:/ 空间力系平衡应用举例空间力系平衡应用举例 n例例5-6 起重绞车的鼓轮轴如图起重绞车的鼓轮轴如图5.10所示。已知：所示。已知：G=10KN，b=c=30cm，a=20cm，齿轮的半径，齿轮的半径R=20cm。在最高。在最高点点E处受处受Fn的作用，的作用，Fn与齿轮的分度圆切线夹角为与齿轮的分度圆切线夹角为=20，鼓轮半径，鼓轮半径r=10cm，A、B两端为向心球轴承。试求齿轮两端为向心球轴承。试求齿轮的作用力的作用力Fn以及两端轴承对轴的约束反力。以及两端轴承对轴的约束反力。http:/ 空间力系平衡应用举

15、例空间力系平衡应用举例 图5.10 起重绞车 http:/ 物体的重心物体的重心 u5.4.1 空间平行力系中心空间平行力系中心 u5.4.2 物体的重心物体的重心 http:/ 物体的重心物体的重心 n物体的重心在工程实践中具有重要的意义，物体的重心在工程实践中具有重要的意义，如重心的位置会影响物体的平衡和稳定。如如重心的位置会影响物体的平衡和稳定。如高速转动的转子，如转轴不通过重心，将会高速转动的转子，如转轴不通过重心，将会引起强烈的振动，甚至会引起破坏。引起强烈的振动，甚至会引起破坏。http:/ 空间平行力系中心空间平行力系中心 n1.空间平行力系中心概念n在前面我们知道，所谓空间平行

16、力系是指力在前面我们知道，所谓空间平行力系是指力系中各力的作用线是相互平行的力系。如果系中各力的作用线是相互平行的力系。如果空间平行力系可以合成一个合力的话，这个空间平行力系可以合成一个合力的话，这个合力的作用点就是空间平行力系的中心。合力的作用点就是空间平行力系的中心。http:/ 空间平行力系中心空间平行力系中心 http:/ 空间平行力系中心空间平行力系中心 http:/ 空间平行力系中心空间平行力系中心 图5.11空间平行力系 http:/ 空间平行力系中心空间平行力系中心 图5.12物体的重心 http:/ 物体的重心物体的重心 http:/ 物体的重心物体的重心 http:/ 物体

17、的重心物体的重心 http:/ 物体的重心物体的重心 http:/ 物体的重心物体的重心 图5.13 平面图形的形心 http:/ 物体的重心物体的重心 http:/ 物体的重心物体的重心 n由此可见，对于等厚度均质平板（平面图形），其重心位置仅与平板的由此可见，对于等厚度均质平板（平面图形），其重心位置仅与平板的平面图形的形状和尺寸有关。平面图形的形状和尺寸有关。nSx和和Sy分别称为平面图形对分别称为平面图形对x轴和轴和y轴的轴的“面积矩面积矩”或或“静矩静矩”。其量。其量纲为纲为长度长度3。单位为。单位为mm3或或m3。n静矩和形心位置的概念和计算，将会在材料力学中涉及到。关于静矩和静矩

18、和形心位置的概念和计算，将会在材料力学中涉及到。关于静矩和形心，还应注意以下几点：形心，还应注意以下几点：n 根据式（根据式（5-20）静矩的定义，同一图形对于不同的坐标轴，静矩各）静矩的定义，同一图形对于不同的坐标轴，静矩各不相同。静矩可能为正、为负或为零。不相同。静矩可能为正、为负或为零。n 由式（由式（5-21）可知，若坐标轴通过形心，则图形对该轴的静矩等于）可知，若坐标轴通过形心，则图形对该轴的静矩等于零。或者，若图形对于某轴的静矩等于零，则该轴必通过图形的形心。零。或者，若图形对于某轴的静矩等于零，则该轴必通过图形的形心。http:/ 物体的重心物体的重心 n2.求平面图形形心的方法

19、n(1)对称法对称法n凡是具有对称面、对称轴或对称中心的均质物体，它们的形心位置必在凡是具有对称面、对称轴或对称中心的均质物体，它们的形心位置必在对称面、对称轴或对称中心上。如图对称面、对称轴或对称中心上。如图5-15所示，工程中常用的几种钢材所示，工程中常用的几种钢材的截面形状，其形心位置都在它们的对称轴上。的截面形状，其形心位置都在它们的对称轴上。n(2)查表法查表法n对于常用的一些简单图形截面的形心和均质物体的重心位置，可从工程对于常用的一些简单图形截面的形心和均质物体的重心位置，可从工程手册中查得。现将几种常用的简单形体的形心位置列于表（手册中查得。现将几种常用的简单形体的形心位置列于

20、表（5-2）。）。n(3)组合法组合法n对于比较复杂形状或由若干简单形状组合而成的形体，可将它们分解成对于比较复杂形状或由若干简单形状组合而成的形体，可将它们分解成几个简单的形体，若这些简单形体的形心可通过查表得到，则整个形体几个简单的形体，若这些简单形体的形心可通过查表得到，则整个形体的形心位置可用式（的形心位置可用式（5-18）或式（）或式（5-21）求出。）求出。n例例5-8 图图5.16为为Z形钢的截面，求该形钢的截面，求该Z截面的形心位置。截面的形心位置。http:/ 物体的重心物体的重心 图 5.14常用型钢的截面形状 http:/ 物体的重心物体的重心 图5.15 Z形钢截面ht

21、tp:/ 物体的重心物体的重心 http:/ 实训与练习实训与练习 n实训与练习目的l掌握空间力系的合成方法掌握空间力系的合成方法l掌握空间力对轴的矩的计算与合力矩的计算掌握空间力对轴的矩的计算与合力矩的计算l掌握空间力系的平衡方程及平衡方程的具体应用掌握空间力系的平衡方程及平衡方程的具体应用l掌握物体重心的计算方法掌握物体重心的计算方法http:/ 实训与练习实训与练习 n实训内容n空间力系的平衡问题，也可以转化为平面力系问题来进行求解。工程中空间力系的平衡问题，也可以转化为平面力系问题来进行求解。工程中把空间物体的结构及受力图如同工程制图中处理线、面和形体投影一样，把空间物体的结构及受力图

22、如同工程制图中处理线、面和形体投影一样，将其化为三个坐标平面进行求解，这样就得到将其化为三个坐标平面进行求解，这样就得到Oxy、Ozy、Oxz三个平三个平面力系。分别列出三个投影面上力的平衡方程进行求解，同样得到所要面力系。分别列出三个投影面上力的平衡方程进行求解，同样得到所要求解的结果。这种将空间力系转化为平面问题来求解的方法，称作求解的结果。这种将空间力系转化为平面问题来求解的方法，称作“空空间问题的平面解法间问题的平面解法”。http:/ 实训与练习实训与练习 n要求：要求：n1.利用空间问题的平面解法将例题利用空间问题的平面解法将例题5-6中的图中的图5.10所示的鼓轮及受力分所示的鼓

23、轮及受力分别向三个坐标平面投影别向三个坐标平面投影n2.根据三个投影面的受力图，分别列出平面平衡方程并求解根据三个投影面的受力图，分别列出平面平衡方程并求解n3.所求结果与例所求结果与例5-6中使用的方法所求结果相比较中使用的方法所求结果相比较n4.说明空间力系转化为三个平面力系后，可列出九个平衡方程，为什么说明空间力系转化为三个平面力系后，可列出九个平衡方程，为什么仍只能解决六个未知量仍只能解决六个未知量 http:/ 实训与练习实训与练习 n思考内容n1.若：（若：（1）空间力系中各力的作用线平行于某个固定平面；（）空间力系中各力的作用线平行于某个固定平面；（2）空间力系中）空间力系中各力

24、的作用线分别汇交于两个固定点，试分析这两种力系各有几个独立的平衡方各力的作用线分别汇交于两个固定点，试分析这两种力系各有几个独立的平衡方程。程。n2.力对轴之矩如何计算？怎样决定其正负？在什么情况下力对轴的矩等于零？力对轴之矩如何计算？怎样决定其正负？在什么情况下力对轴的矩等于零？n3.传动轴用两个止推轴承支撑，每个轴承有但个未知力，共有六个未知量，而空传动轴用两个止推轴承支撑，每个轴承有但个未知力，共有六个未知量，而空间任意力系的平衡方程恰好有六个，问是否可解？间任意力系的平衡方程恰好有六个，问是否可解？n4.空间任意力系向三个相互垂直的坐标平面投影，得到三个平面任意力系。为什空间任意力系向三个相互垂直的坐标平面投影，得到三个平面任意力系。为什么其独立的平衡方程数只有六个？么其独立的平衡方程数只有六个？n5.空间任意力系的平衡方程能否为六个力矩方程？若可以，如何选取这六个力矩空间任意力系的平衡方程能否为六个力矩方程？若可以，如何选取这六个力矩轴？轴？n6.物体的重心是否一定在物体的内部？物体的重心是否一定在物体的内部？n7.将物体沿着过重心的平面切开，两部分的重量是否相等？将物体沿着过重心的平面切开，两部分的重量是否相等？n8.非均质材料组成的物体，其重心是否与其集合形状中心重合？非均质材料组成的物体，其重心是否与其集合形状中心重合？http:/