立体视觉基础ppt课件.ppt

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1、严格执行突发事件上报制度、校外活动报批制度等相关规章制度。做到及时发现、制止、汇报并处理各类违纪行为或突发事件。主要内容一.立体视觉的概念二.立体视觉的基本原理三.射影几何中的基本概念四.基本的成像模型五.单视几何学的基本原理六.双视几何学的基本原理七.摄像机标定的基本原理严格执行突发事件上报制度、校外活动报批制度等相关规章制度。做到及时发现、制止、汇报并处理各类违纪行为或突发事件。一.立体视觉的概念1.计算机视觉的概念2.立体视觉的概念1.计算机视觉的概念什么是计算机视觉?模拟人眼接收客观世界中可见光信息，并由大脑解释可视信息的过程，使用算法对真实图像或视频中的内容给予有效的解释。入口数据：

2、图像、视频（可视信息）出口数据：对可视内容的某种解释（非可视信息）严格执行突发事件上报制度、校外活动报批制度等相关规章制度。做到及时发现、制止、汇报并处理各类违纪行为或突发事件。1.计算机视觉的概念应用实例：汽车牌照识别车辆形状识别人脸识别拍摄场景中的人数统计动态目标分割、定位、跟踪、行为分析严格执行突发事件上报制度、校外活动报批制度等相关规章制度。做到及时发现、制止、汇报并处理各类违纪行为或突发事件。1.计算机视觉的概念相关领域：计算机图形学数字图像处理严格执行突发事件上报制度、校外活动报批制度等相关规章制度。做到及时发现、制止、汇报并处理各类违纪行为或突发事件。计算机图形学使用图形生成管道

3、（一组有序执行的算法），由计算机内部的虚拟几何图形表述生成虚拟可视像素图形的过程。入口数据：虚拟二维或三维场景描述（几何图形，非可视数据）出口数据：经图形管道处理后得到的虚拟的、像素化图形（可视数据）严格执行突发事件上报制度、校外活动报批制度等相关规章制度。做到及时发现、制止、汇报并处理各类违纪行为或突发事件。数字图像处理使用算法对数字图像中的像素信息实施处理，使图像中内容的可视化质量得以提高的过程。入口数据：图像（可视）出口数据：图像（可视）严格执行突发事件上报制度、校外活动报批制度等相关规章制度。做到及时发现、制止、汇报并处理各类违纪行为或突发事件。2.立体视觉的概念模仿人眼的立体视觉过程

4、，基于一帧或多帧具有共同拍摄场景的图像，由其中的二维形状信息恢复原始场景中三维形状信息的视觉过程。严格执行突发事件上报制度、校外活动报批制度等相关规章制度。做到及时发现、制止、汇报并处理各类违纪行为或突发事件。二.立体视觉的基本原理1.单视几何原理2.双视几何原理3.多视几何原理4.立体视觉的一般处理过程严格执行突发事件上报制度、校外活动报批制度等相关规章制度。做到及时发现、制止、汇报并处理各类违纪行为或突发事件。1.单视几何原理单视几何：针对平面物体的形状恢复严格执行突发事件上报制度、校外活动报批制度等相关规章制度。做到及时发现、制止、汇报并处理各类违纪行为或突发事件。2.双视几何原理双视几

5、何：基于标定摄像机的三维表面重建严格执行突发事件上报制度、校外活动报批制度等相关规章制度。做到及时发现、制止、汇报并处理各类违纪行为或突发事件。3.多视几何原理多视几何：基于未标定摄像机的三维表面重建严格执行突发事件上报制度、校外活动报批制度等相关规章制度。做到及时发现、制止、汇报并处理各类违纪行为或突发事件。4.立体视觉的一般处理过程plprPOlOrXlXrPlPrflfrZlYlZrYrR,T入口数据：单帧或多帧图像为了最终恢复三维信息，需要基于入口数据进一步获取哪些数据？严格执行突发事件上报制度、校外活动报批制度等相关规章制度。做到及时发现、制止、汇报并处理各类违纪行为或突发事件。4.

6、立体视觉的一般处理过程问题：如何知道不同图像中的匹配信息？如何知道不同拍摄方位的相对放置（外部参数）？如何知道摄像机的内部参数？严格执行突发事件上报制度、校外活动报批制度等相关规章制度。做到及时发现、制止、汇报并处理各类违纪行为或突发事件。4.立体视觉的一般处理过程（1）图像配准（2）摄像机标定（确定内部参数）（3）确定摄像机相对放置（确定外部参数）（4）三维表面重建严格执行突发事件上报制度、校外活动报批制度等相关规章制度。做到及时发现、制止、汇报并处理各类违纪行为或突发事件。（1）图像配准1）基于像素的图像配准方法两帧图像中所有具有同一原像的像素对都应建立匹配关系。2）基于特征的图像配准方法

7、仅针对两帧图像中的具有同一原像的点、线、区域特征对建立匹配关系。严格执行突发事件上报制度、校外活动报批制度等相关规章制度。做到及时发现、制止、汇报并处理各类违纪行为或突发事件。（1）图像配准两类方法具有一定的联系，并且，基于特征的图像配准效率更高，在其基础上可简化像素级配准。由于各类特征均可以转换为点特征，因此，基于特征点的配准方法成为研究的重点。例如，直线段特征可转换为直线段的两两交点，区域特征可转换为区域的重心。严格执行突发事件上报制度、校外活动报批制度等相关规章制度。做到及时发现、制止、汇报并处理各类违纪行为或突发事件。2）基于特征点的图像配准a）数字图像中的特征点提取示例：角点提取b）

8、基于特征点的图像配准仿射图像配准、透视图像配准、基于外极几何约束的图像配准严格执行突发事件上报制度、校外活动报批制度等相关规章制度。做到及时发现、制止、汇报并处理各类违纪行为或突发事件。a）角点提取示例：基于独立性的角点提取方法两个像素窗口的关联系数：像素的独立性：1 234 567 89123456789x与与y 小于指定整数，且不同时为零小于指定整数，且不同时为零严格执行突发事件上报制度、校外活动报批制度等相关规章制度。做到及时发现、制止、汇报并处理各类违纪行为或突发事件。a）角点提取独立性示例：亮度越强的像素位置独立性越强严格执行突发事件上报制度、校外活动报批制度等相关规章制度。做到及时

9、发现、制止、汇报并处理各类违纪行为或突发事件。a）角点提取处理流程：1.从图像中提取边缘像素集2.将边缘像素按照独立性降序排序3.对于当前独立性最大的像素，若其独立性大于指定阈值，则将其输出到角点集，否则结束处理流程4.对于剩余的边缘像素集，将其独立性乘以H，转第2步严格执行突发事件上报制度、校外活动报批制度等相关规章制度。做到及时发现、制止、汇报并处理各类违纪行为或突发事件。a）角点提取其中，di为第i个剩余边缘像素与输出角点间的像素距离；D为相对距离定义，由它规定距离远、近的概念。严格执行突发事件上报制度、校外活动报批制度等相关规章制度。做到及时发现、制止、汇报并处理各类违纪行为或突发事件

10、。b）基于特征点的图像配准图像配准的目的：在两帧图像间建立一个映射关系，该映射能够将其中一帧图像上的特征点坐标映射为另一帧图像中匹配特征点的坐标。严格执行突发事件上报制度、校外活动报批制度等相关规章制度。做到及时发现、制止、汇报并处理各类违纪行为或突发事件。b）基于特征点的图像配准问题：两帧图像中的特征点数量一定相等吗？是否所有特征点都存在对应的匹配特征点？两帧图象存在差异，内容不会完全一致，因此特征点数量也不一定相等两帧图象存在差异，某特征点可能在左图像中出现，但却可能在右图像中未出现严格执行突发事件上报制度、校外活动报批制度等相关规章制度。做到及时发现、制止、汇报并处理各类违纪行为或突发事

11、件。b）基于特征点的图像配准特征点坐标间的映射可理解为坐标变换，可使用矩阵来表示。矩阵类型与图像间几何变换的关系：1.二维仿射矩阵与图像平面内的二维旋转、平移、放缩变换对应2.二维透视矩阵除包含二维变换外，还包含摄像机绕光心的旋转变换3.基础矩阵包含二维变换、摄像机旋转、摄像机平移等变换严格执行突发事件上报制度、校外活动报批制度等相关规章制度。做到及时发现、制止、汇报并处理各类违纪行为或突发事件。b）基于特征点的图像配准二维仿射变换：两帧图像间的变化可由二维图像平面上的二维旋转、放缩、平移来描述；r、l 分别表示左右图像中特征点坐标，i、j 表示特征点序号若已知左、右图像中的3个匹配特征点对，

12、则能求解该变换严格执行突发事件上报制度、校外活动报批制度等相关规章制度。做到及时发现、制止、汇报并处理各类违纪行为或突发事件。b）基于特征点的图像配准二维透视变换：两帧图像间的变化包括二维图像平面上的二维旋转、放缩、平移、摄像机成像平面在三维空间中绕光心旋转；r、l 分别表示左右图像中特征点坐标，i、j 表示特征点序号若已知左、右图像中的4个匹配特征点对，则能求解该变换严格执行突发事件上报制度、校外活动报批制度等相关规章制度。做到及时发现、制止、汇报并处理各类违纪行为或突发事件。b）基于特征点的图像配准仿射配准的处理流程：1.假设左图像与右图像的特征点集分别为P、Q，从P、Q中选择一个未尝试的

13、三点对，若已无三点对可以选择，则认为配准失败，并结束处理流程2.使用相似三角形约束判断三点对的合理性，若不合理，则转第一步严格执行突发事件上报制度、校外活动报批制度等相关规章制度。做到及时发现、制止、汇报并处理各类违纪行为或突发事件。b）基于特征点的图像配准相似三角形约束：p、q分别表示P、Q中的特征点，相同脚标表示具有匹配关系，为很小的值严格执行突发事件上报制度、校外活动报批制度等相关规章制度。做到及时发现、制止、汇报并处理各类违纪行为或突发事件。b）基于特征点的图像配准3.使用三点对解方程组，求解仿射变换的6个未知系数，确定变换矩阵4.使用得到的变换矩阵，求P中所有特征点在Q中满足容忍度D

14、（误差，以像素为单位）的匹配特征点5.若特征点数量足够大，则认为配准成功，保存匹配点对信息，结束处理流程；否则，转第1步严格执行突发事件上报制度、校外活动报批制度等相关规章制度。做到及时发现、制止、汇报并处理各类违纪行为或突发事件。b）基于特征点的图像配准仿射配准示例：由于实际的几何变换包含仿射配准示例：由于实际的几何变换包含摄像机绕光心旋转、平移等三维变换，因摄像机绕光心旋转、平移等三维变换，因此导致部分点对失配此导致部分点对失配严格执行突发事件上报制度、校外活动报批制度等相关规章制度。做到及时发现、制止、汇报并处理各类违纪行为或突发事件。三.射影几何中的基本概念1.矩阵与向量间的关系2.几

15、何变换与逆变换3.对偶与对偶变换4.欧氏几何、同射几何、仿射几何、射影几何的概念以及相互间的关系严格执行突发事件上报制度、校外活动报批制度等相关规章制度。做到及时发现、制止、汇报并处理各类违纪行为或突发事件。1.矩阵与向量间的关系向量的几何概念：具有长度、方向的几何元素向量表述的几何元素：点、线、面、乃至于N维空间中的线性几何元素向量的具体形式：一组坐标值严格执行突发事件上报制度、校外活动报批制度等相关规章制度。做到及时发现、制止、汇报并处理各类违纪行为或突发事件。向量坐标的本质向量坐标的本质：在N维空间中，在给定基向量集的基础上，任意向量在各基向量上的投影给定向量，求坐标：向各基向量投影给定

16、坐标，求向量：以坐标为系数对基向量做线性组合严格执行突发事件上报制度、校外活动报批制度等相关规章制度。做到及时发现、制止、汇报并处理各类违纪行为或突发事件。向量坐标的本质oXY矩阵行、列均理解为基向量集严格执行突发事件上报制度、校外活动报批制度等相关规章制度。做到及时发现、制止、汇报并处理各类违纪行为或突发事件。矩阵的本质-以旋转为例YXYXOVVXVYVXVY思考：行、列向量组的含义是什么？逆变换逆变换严格执行突发事件上报制度、校外活动报批制度等相关规章制度。做到及时发现、制止、汇报并处理各类违纪行为或突发事件。矩阵的本质-以旋转为例YXYXO(x,y)严格执行突发事件上报制度、校外活动报批

17、制度等相关规章制度。做到及时发现、制止、汇报并处理各类违纪行为或突发事件。矩阵的本质-以旋转为例YXYXO(x,y)严格执行突发事件上报制度、校外活动报批制度等相关规章制度。做到及时发现、制止、汇报并处理各类违纪行为或突发事件。矩阵的本质仅考虑N阶方阵，因为一般矩阵可通过添加零向量（行或列）扩展为方阵。任意N阶方阵的行、列向量组分别对应N维空间中两个不同的基向量集（不一定线性无关），即N维空间中的两个坐标系。严格执行突发事件上报制度、校外活动报批制度等相关规章制度。做到及时发现、制止、汇报并处理各类违纪行为或突发事件。矩阵的本质方阵的行向量组为行坐标系基向量在列坐标系下的坐标；列向量组为列坐标

18、系基向量在行坐标系下的坐标。严格执行突发事件上报制度、校外活动报批制度等相关规章制度。做到及时发现、制止、汇报并处理各类违纪行为或突发事件。矩阵的本质N阶方阵的本质是N维空间中两个坐标系间的坐标变换。若N阶方阵不是满秩矩阵，即行、列向量组中存在线性相关，则坐标变换中存在降维变换。N阶单位阵的行、列坐标系为同一坐标系，其中无坐标变换。严格执行突发事件上报制度、校外活动报批制度等相关规章制度。做到及时发现、制止、汇报并处理各类违纪行为或突发事件。向量变换与坐标系变换YXYYXXOOO等价变换等价变换严格执行突发事件上报制度、校外活动报批制度等相关规章制度。做到及时发现、制止、汇报并处理各类违纪行为

19、或突发事件。向量变换与坐标系变换对任意一种向量变换，可以找到一种等价的坐标系变换与之对应；反之亦然。严格执行突发事件上报制度、校外活动报批制度等相关规章制度。做到及时发现、制止、汇报并处理各类违纪行为或突发事件。2.几何变换与逆变换（1）旋转变换与逆变换（2）放缩变换与逆变换（3）平移变换与逆变换（4）射影变换与逆变换（5）变换与逆变换基向量组间关系严格执行突发事件上报制度、校外活动报批制度等相关规章制度。做到及时发现、制止、汇报并处理各类违纪行为或突发事件。（1）旋转变换与逆变换旋转变换一一对应于单位正交阵，也称为旋转矩阵，其逆变换即为旋转矩阵的转置。解释：V由R的列坐标系变换到行坐标系，再

20、由行坐标系变换到列坐标系；列坐标系自己向自己投影，即无坐标变换。严格执行突发事件上报制度、校外活动报批制度等相关规章制度。做到及时发现、制止、汇报并处理各类违纪行为或突发事件。（2）放缩变换与逆变换YXOYXOYXO等价变换等价变换沿坐标轴放缩沿坐标轴放缩严格执行突发事件上报制度、校外活动报批制度等相关规章制度。做到及时发现、制止、汇报并处理各类违纪行为或突发事件。沿坐标轴放缩对于沿坐标轴的放缩，变换矩阵为对角阵，对角线上各元素对应各坐标轴分别的放缩因子。行坐标系与列坐标系相互的坐标描述完全一致。思考：试从投影与线性组合两个角度来解释放缩变换。严格执行突发事件上报制度、校外活动报批制度等相关规

21、章制度。做到及时发现、制止、汇报并处理各类违纪行为或突发事件。沿坐标轴放缩-逆变换严格执行突发事件上报制度、校外活动报批制度等相关规章制度。做到及时发现、制止、汇报并处理各类违纪行为或突发事件。（2）放缩变换与逆变换YXOYXOppXpYOXYypxpxpyp等价变换等价变换沿任意方向放缩沿任意方向放缩列坐标系变换：列坐标系变换：变换矩阵为对称阵变换矩阵为对称阵放缩变换可能改变几何形状（夹角），但不会改变平行性严格执行突发事件上报制度、校外活动报批制度等相关规章制度。做到及时发现、制止、汇报并处理各类违纪行为或突发事件。沿任意方向的放缩对于沿任意方向的放缩，其变换矩阵为对称阵，其含义是先将坐标

22、系旋转到放缩方向，再实施向量放缩，最后再将坐标系旋转回原处。任意对称阵总可以拆分为RTKR的形式。行坐标系与列坐标系相互的坐标描述完全一致。思考：试从投影与线性组合两个角度来解释放缩变换严格执行突发事件上报制度、校外活动报批制度等相关规章制度。做到及时发现、制止、汇报并处理各类违纪行为或突发事件。沿任意方向的放缩-逆变换可见，逆变换的可见，逆变换的放缩方向并无变化放缩方向并无变化，仅将放缩因子变为倒数仅将放缩因子变为倒数严格执行突发事件上报制度、校外活动报批制度等相关规章制度。做到及时发现、制止、汇报并处理各类违纪行为或突发事件。线性变换N维向量空间中的旋转、放缩变换统称为线性变换。N维空间中

23、的线性变换与N阶方阵一一对应。任一N阶矩阵对应的线性变换均可分解为旋转、放缩两种变换。严格执行突发事件上报制度、校外活动报批制度等相关规章制度。做到及时发现、制止、汇报并处理各类违纪行为或突发事件。N阶方阵的特征值分解（SVD）M为任意N阶矩阵，R表示旋转，RTKR表示任意方向上的放缩严格执行突发事件上报制度、校外活动报批制度等相关规章制度。做到及时发现、制止、汇报并处理各类违纪行为或突发事件。（3）平移变换与逆变换在N维向量空间中，平移变换是通过向量加法来实现的，而非矩阵实现的线性变换。如果使用矩阵来实现平移，则必须引入齐次坐标系，将N维向量空间扩展为N+1 维空间，称为N维射影空间。为了区

24、分所讨论的向量空间，将N维常规空间称为IRN，将N维射影空间称为IPN。严格执行突发事件上报制度、校外活动报批制度等相关规章制度。做到及时发现、制止、汇报并处理各类违纪行为或突发事件。二维射影空间IP2YXOW(0,0,1)(x,y,w)(x/w,y/w,1)Plane:w=1在IP2 中，对任意过原点的直线，其上所有点等价，每条过原点直线对应平面w=1上一个点。虽然是3维坐标，但自由度仍为2IR2在IP2中对应于平面w=1严格执行突发事件上报制度、校外活动报批制度等相关规章制度。做到及时发现、制止、汇报并处理各类违纪行为或突发事件。三维射影空间IP34维空间中每条过原点的直线等价于w=1这个

25、3维超平面中的一个点虽然是4维坐标，但自由度仍为3严格执行突发事件上报制度、校外活动报批制度等相关规章制度。做到及时发现、制止、汇报并处理各类违纪行为或突发事件。三维射影空间IP3如果要针对IP3作图，则必须在4维空间作图，无法实现。但应理解，IR3中的每一点均为IP3中过原点直线在w=1的3维超频面上投影而成的。注：直线（1维）、平面（2维）、3维超平面、乃至N维超平面并没有本质区别，区别仅在于维度。严格执行突发事件上报制度、校外活动报批制度等相关规章制度。做到及时发现、制止、汇报并处理各类违纪行为或突发事件。XYW二维平移变换XYWXYW通过IP2中的线性变换实现了IR2中的平移变换严格执

26、行突发事件上报制度、校外活动报批制度等相关规章制度。做到及时发现、制止、汇报并处理各类违纪行为或突发事件。IPN中平移变换的逆变换思考：试举一例说明IP2中平移变换与其逆变换的关系严格执行突发事件上报制度、校外活动报批制度等相关规章制度。做到及时发现、制止、汇报并处理各类违纪行为或突发事件。欧氏变换旋转与平移变换并称欧氏变换。显然，欧氏变换常用于描述刚体放置。注：平移变换在IRN中并非线性变换，它是通过IPN中的线性变换间接实现的。在欧氏变换中，几何形状、大小均不变化，仅坐标系中的方位变化。严格执行突发事件上报制度、校外活动报批制度等相关规章制度。做到及时发现、制止、汇报并处理各类违纪行为或突

27、发事件。同射变换旋转、平移、各方向等比放缩并称为同射变换。在同射变换下，几何形状不变化（保持角度、长度比例），但长度、面积等测度，以及方位会变化。严格执行突发事件上报制度、校外活动报批制度等相关规章制度。做到及时发现、制止、汇报并处理各类违纪行为或突发事件。仿射变换旋转、平移、放缩并称为仿射变换。在仿射变换下，物体形状、测度、方位均可能变化，但原本平行的几何元素其平行性不变。为什么仿射变换不保持角度、长度比例？存在任意的放缩变换存在任意的放缩变换严格执行突发事件上报制度、校外活动报批制度等相关规章制度。做到及时发现、制止、汇报并处理各类违纪行为或突发事件。（4）射影变换与逆变换射影变换的含义：

28、将IRN中的N维向量理解为IPN中N+1维向量在N维超平面w=1上的投影；对IPN中N+1维原向量实施变换，则IRN中的N维投影向量随之改变。严格执行突发事件上报制度、校外活动报批制度等相关规章制度。做到及时发现、制止、汇报并处理各类违纪行为或突发事件。二维射影变换XYWXYWXYWIP2中原像对应的过原点直线发生变化，引起IR2中的像点发生变化在IR2中，像点的变化规律为沿原射线方向变化（IR2原点为起点，变换前像点为终点确定的射线方向）严格执行突发事件上报制度、校外活动报批制度等相关规章制度。做到及时发现、制止、汇报并处理各类违纪行为或突发事件。三维射影变换XYZIR3IP3中原像对应的过

29、原点直线发生变化，引起IR3中的像点发生变化在IR3中，像点的变化规律为沿原射线方向变化（IR3原点为起点，变换前像点为终点确定的射线方向）IP3无法作图，只能针对IR3作图观察严格执行突发事件上报制度、校外活动报批制度等相关规章制度。做到及时发现、制止、汇报并处理各类违纪行为或突发事件。N维射影变换N维向量的射影变换一定在IPN中才能完成。IPN中的射影变换：在N+1维向量坐标中，改变齐次项w，实质上修改了原像所在的过原点直线，从而引起IRN中N维投影向量的变化，但投影向量的方向总是不变，仅长度发生变化。严格执行突发事件上报制度、校外活动报批制度等相关规章制度。做到及时发现、制止、汇报并处理

30、各类违纪行为或突发事件。N维射影变换严格执行突发事件上报制度、校外活动报批制度等相关规章制度。做到及时发现、制止、汇报并处理各类违纪行为或突发事件。N维射影变换的逆变换严格执行突发事件上报制度、校外活动报批制度等相关规章制度。做到及时发现、制止、汇报并处理各类违纪行为或突发事件。齐次坐标系的意义IRN中的平移变换通过IPN变换矩阵的第N+1列实现；IRN中的射影变换通过IPN变换矩阵的第N+1行实现齐次坐标系的引入，使得IRN中的平移、射影两种非线性变换能够用IRN+1（实质上是IPN）中的线性变换来表示。严格执行突发事件上报制度、校外活动报批制度等相关规章制度。做到及时发现、制止、汇报并处理

31、各类违纪行为或突发事件。（5）变换与逆变换基向量组间关系A的行向量与A-1的列向量是同一坐标系下的表述；并且，除对应列外，A中任意一行与A-1中任意一列正交；同样，除对应行外，A-1中任意一列与A中任意一行正交对逆矩阵的一种理解：将A的行向量组投影到A-1的列向量组，由于两个向量组间的正交关系，最终将A中的行向量组变换为单位正交基。总结：A与A-1相乘，可理解为对A的行向量组或A-1的列向量组实施了一种几何变换，变换后它们成为标准正交基严格执行突发事件上报制度、校外活动报批制度等相关规章制度。做到及时发现、制止、汇报并处理各类违纪行为或突发事件。3.对偶与对偶变换XYWXYWIR2中的任意2D

32、点可由IP2中3D向量确定;IR2中的任意直线可由IP2中过原点平面确定;IP2中给定一个3D向量，可以确定一个点，也可以确定一个过原点平面IP2IP2严格执行突发事件上报制度、校外活动报批制度等相关规章制度。做到及时发现、制止、汇报并处理各类违纪行为或突发事件。IP2中直线的描述Y YYX XX(a,b(a,b(a,b)c ccIR2严格执行突发事件上报制度、校外活动报批制度等相关规章制度。做到及时发现、制止、汇报并处理各类违纪行为或突发事件。IP2中点与直线对偶若针对其中一个几何元素存在一个定理，则对其对偶几何元素一定存在一个相应的定理。示例：任意两个不同点确定一条直线任意两条不同直线交于

33、一点（平行直线？）严格执行突发事件上报制度、校外活动报批制度等相关规章制度。做到及时发现、制止、汇报并处理各类违纪行为或突发事件。IP2中点与直线对偶XYWIP2PQR若P、Q为两点，则R为两点所确定的直线法向量；若P、Q为两直线法向量，则R为两直线的交点严格执行突发事件上报制度、校外活动报批制度等相关规章制度。做到及时发现、制止、汇报并处理各类违纪行为或突发事件。IP3中点与平面对偶在IP3中给定一个向量，可以确定一个IR3的点；也可以确定一个IR3的平面XYZ（a,b,c）严格执行突发事件上报制度、校外活动报批制度等相关规章制度。做到及时发现、制止、汇报并处理各类违纪行为或突发事件。IP3

34、中点与平面对偶示例：三个不同的点确定一个平面三个不同的平面确定一个点严格执行突发事件上报制度、校外活动报批制度等相关规章制度。做到及时发现、制止、汇报并处理各类违纪行为或突发事件。IPN中的对偶关系对偶关系可以推广到N维空间IPN中的点与N-1维超平面对偶严格执行突发事件上报制度、校外活动报批制度等相关规章制度。做到及时发现、制止、汇报并处理各类违纪行为或突发事件。IPN中的对偶变换P为N-1维超平面上的点，为超平面的法线向量若对P实施线性变换A，对应实施何种变换，使它仍是该超平面的法线向量？对而言：对偶变换的性质在对偶变换的性质在IPN与与IRN+1中中是一致的是一致的严格执行突发事件上报制

35、度、校外活动报批制度等相关规章制度。做到及时发现、制止、汇报并处理各类违纪行为或突发事件。IPN中的对偶变换对A作SVD分解：对P所作变换：对所作变换：严格执行突发事件上报制度、校外活动报批制度等相关规章制度。做到及时发现、制止、汇报并处理各类违纪行为或突发事件。IPN中的对偶变换为什么对偶变换中的放缩变换必须互逆？换言之，为什么放缩互逆才能保角？YX以IR2为例严格执行突发事件上报制度、校外活动报批制度等相关规章制度。做到及时发现、制止、汇报并处理各类违纪行为或突发事件。IPN中的对偶变换在IPN中，若要在线性变换后保持两个向量间的角度，则需要对它们实施对偶变换。特别的，若要保证向量相对于某

36、坐标系的坐标在线性变换前后保持不变，则考察向量与坐标系需要作互为对偶的变换。严格执行突发事件上报制度、校外活动报批制度等相关规章制度。做到及时发现、制止、汇报并处理各类违纪行为或突发事件。IPN中的对偶变换将A的列坐标系下任一点的列坐标P变换到行坐标系下，得到行坐标P对P实施线性变换B，若期望经变换A后保持行坐标P不变，必须对A中行坐标系基向量实施对偶变换严格执行突发事件上报制度、校外活动报批制度等相关规章制度。做到及时发现、制止、汇报并处理各类违纪行为或突发事件。4.欧氏、同射、仿射、射影几何（1）无穷远直线、平面（2）环点、绝对二次曲线（3）IPN中的欧氏几何（4）IPN中的同射几何（5）

37、IPN中的仿射几何（6）IPN中的射影几何严格执行突发事件上报制度、校外活动报批制度等相关规章制度。做到及时发现、制止、汇报并处理各类违纪行为或突发事件。（1）无穷远直线、平面IP2中一个3D向量可确定IR2中的一条直线，若该向量与W坐标轴同向，直线在何处？严格执行突发事件上报制度、校外活动报批制度等相关规章制度。做到及时发现、制止、汇报并处理各类违纪行为或突发事件。（1）无穷远直线、平面对IP2中对无穷远直线的理解严格执行突发事件上报制度、校外活动报批制度等相关规章制度。做到及时发现、制止、汇报并处理各类违纪行为或突发事件。（1）无穷远直线、平面IP2中的普通直线IP2中的无穷远直线严格执行

38、突发事件上报制度、校外活动报批制度等相关规章制度。做到及时发现、制止、汇报并处理各类违纪行为或突发事件。（1）无穷远直线、平面在IP2中，两条平行直线交于何处？无穷远直线上的某个无穷远点在IP2中，只要两条直线不同，无论是否平行，它们都具有交点。在IP2中，所有同方向的平行直线交于同一无穷远点。严格执行突发事件上报制度、校外活动报批制度等相关规章制度。做到及时发现、制止、汇报并处理各类违纪行为或突发事件。（1）无穷远直线、平面IP3中一个4D向量可确定IR3中的一个平面，若该向量与W坐标轴同向，平面在何处？无穷远处，即无穷远平面IP3中两条平行直线交于无穷远平面上一点；两个平行平面交于无穷远平

39、面上一条直线严格执行突发事件上报制度、校外活动报批制度等相关规章制度。做到及时发现、制止、汇报并处理各类违纪行为或突发事件。（1）无穷远直线、平面IP3中的普通平面IP3中的无穷远平面严格执行突发事件上报制度、校外活动报批制度等相关规章制度。做到及时发现、制止、汇报并处理各类违纪行为或突发事件。（1）无穷远直线、平面同理，无穷远直线、平面的概念可以推广到N维空间IPN中存在N-1维无穷远超平面严格执行突发事件上报制度、校外活动报批制度等相关规章制度。做到及时发现、制止、汇报并处理各类违纪行为或突发事件。（2）环点、绝对二次曲线IP2中的二次曲线，包括圆、椭圆严格执行突发事件上报制度、校外活动报

40、批制度等相关规章制度。做到及时发现、制止、汇报并处理各类违纪行为或突发事件。（2）环点、绝对二次曲线IP2中的二次曲线，包括圆、椭圆严格执行突发事件上报制度、校外活动报批制度等相关规章制度。做到及时发现、制止、汇报并处理各类违纪行为或突发事件。（2）环点、绝对二次曲线IP2中的二次曲线的简化表述如果二次曲线的参数a、b给定，则定下一种椭圆（或圆）所有这种形状的椭圆（或圆）交于如下两点：严格执行突发事件上报制度、校外活动报批制度等相关规章制度。做到及时发现、制止、汇报并处理各类违纪行为或突发事件。（2）环点、绝对二次曲线相同形状椭圆的交点也可写作：由于严格执行突发事件上报制度、校外活动报批制度等

41、相关规章制度。做到及时发现、制止、汇报并处理各类违纪行为或突发事件。（2）环点、绝对二次曲线特别的，所有圆的交点为：对圆而言：此二点称为环点，环点是所有圆的共同交点，此二点称为环点，环点是所有圆的共同交点，同时也是任意圆与无穷远直线的交点同时也是任意圆与无穷远直线的交点严格执行突发事件上报制度、校外活动报批制度等相关规章制度。做到及时发现、制止、汇报并处理各类违纪行为或突发事件。（2）环点、绝对二次曲线IP3中的二次曲面严格执行突发事件上报制度、校外活动报批制度等相关规章制度。做到及时发现、制止、汇报并处理各类违纪行为或突发事件。（2）环点、绝对二次曲线所有球面的交线称为绝对二次曲线，它也是任

42、意球面与无穷远平面的交点仅存在一个实点，其余点均在复空间严格执行突发事件上报制度、校外活动报批制度等相关规章制度。做到及时发现、制止、汇报并处理各类违纪行为或突发事件。（2）环点、绝对二次曲线绝对二次曲线的概念可以推广到N维空间。在IPN中，存在绝对二次超曲线。严格执行突发事件上报制度、校外活动报批制度等相关规章制度。做到及时发现、制止、汇报并处理各类违纪行为或突发事件。（3）IPN中的欧氏几何欧氏变换仅包括旋转、平移变换。问题：以IP2为例，欧氏变换会改变无穷远直线或环点吗？以IP3为例，欧氏变换会改变无穷远平面或绝对二次曲线吗？严格执行突发事件上报制度、校外活动报批制度等相关规章制度。做到

43、及时发现、制止、汇报并处理各类违纪行为或突发事件。IP2中平移对无穷远直线的影响对直线上的点实施平移，其法线向量则作对偶变换，对直线上的点实施平移，其法线向量则作对偶变换，实质上为射影变换：实质上为射影变换：变换后法线向量未改变，可见平移不会改变无穷远直线的方位严格执行突发事件上报制度、校外活动报批制度等相关规章制度。做到及时发现、制止、汇报并处理各类违纪行为或突发事件。IP3中平移对无穷远平面的影响同理，平移不会改变IP3中无穷远平面的方位。此结论可以推广到IPN中，即平移不会改变IPN中的无穷远超平面。严格执行突发事件上报制度、校外活动报批制度等相关规章制度。做到及时发现、制止、汇报并处理

44、各类违纪行为或突发事件。IP2中平移对环点的影响平移前后环点坐标未变，可见平移不改变环点的方位实际上，平移不影响任何无穷远点，由此可以推论，IP3中的平移不影响绝对二次曲线，IPN中的平移不影响绝对二次超曲线 严格执行突发事件上报制度、校外活动报批制度等相关规章制度。做到及时发现、制止、汇报并处理各类违纪行为或突发事件。IP2中旋转对无穷远直线的影响直线上的点与法线向量作对偶变换，对旋转变换则是相同的旋转前后无穷远直线的法线向量未改变，说明旋转不改变无穷远直线的方位严格执行突发事件上报制度、校外活动报批制度等相关规章制度。做到及时发现、制止、汇报并处理各类违纪行为或突发事件。IP3中旋转对无穷

45、远平面的影响同理，旋转不会改变IP3中无穷远平面的方位。此结论可以推广到IPN中，即旋转不会改变IPN中的无穷远超平面。严格执行突发事件上报制度、校外活动报批制度等相关规章制度。做到及时发现、制止、汇报并处理各类违纪行为或突发事件。IP2中旋转对环点的影响旋转前后环点坐标未变，可见旋转不改变环点的方位（复空间内，直线是螺旋形的）IP3中的旋转不影响绝对二次曲线（请自行给出说明），IPN中的旋转不影响绝对二次超曲线 严格执行突发事件上报制度、校外活动报批制度等相关规章制度。做到及时发现、制止、汇报并处理各类违纪行为或突发事件。（3）IPN中的欧氏几何在IPN中，欧氏变换不改变无穷远超平面、绝对二

46、次超曲线。无穷远超平面的改变，意味着透视变形；绝对二次超曲线的改变，意味着仿射变形。在欧氏变换下，几何元素无任何变形，仅存在几何元素的方位改变。严格执行突发事件上报制度、校外活动报批制度等相关规章制度。做到及时发现、制止、汇报并处理各类违纪行为或突发事件。（4）IPN中的同射几何同射变换包含欧氏变换与各向等比放缩。在IPN中，同射变换不改变无穷远超平面、绝对二次超曲线。（自行说明）同射变换下，几何元素的方位、绝对测度可能改变，但相对形状不改变严格执行突发事件上报制度、校外活动报批制度等相关规章制度。做到及时发现、制止、汇报并处理各类违纪行为或突发事件。（5）IPN中的仿射几何仿射变换包括旋转、

47、平移、各向等比或不等比放缩变换。在IPN中，仿射变换是否会影响无穷远超平面、绝对二次超曲线？严格执行突发事件上报制度、校外活动报批制度等相关规章制度。做到及时发现、制止、汇报并处理各类违纪行为或突发事件。IP2中不等比放缩对无穷远直线的影响对直线上的点实施放缩，其法线向量则作对偶变换，实质上为互逆的放缩：变换后法线向量未改变，可见不等比放缩不会改变无穷远直线的方位严格执行突发事件上报制度、校外活动报批制度等相关规章制度。做到及时发现、制止、汇报并处理各类违纪行为或突发事件。IP3中不等比放缩对无穷远平面的影响同理，不等比放缩不会改变IP3中无穷远平面的方位。此结论可以推广到IPN中，即不等比放

48、缩不会改变IPN中的无穷远超平面。严格执行突发事件上报制度、校外活动报批制度等相关规章制度。做到及时发现、制止、汇报并处理各类违纪行为或突发事件。IP2中不等比放缩对环点的影响放缩前后环点坐标改变，可见不等比放缩会改变环点的方位同样的，IP3中的不等比放缩会影响绝对二次曲线，IPN中的不等比放缩会影响绝对二次超曲线 严格执行突发事件上报制度、校外活动报批制度等相关规章制度。做到及时发现、制止、汇报并处理各类违纪行为或突发事件。IPN中不等比放缩对绝对二次超曲线的影响不等比放缩会改变IP2中的环点、IP3中的绝对二次曲线、IPN中的绝对二次超曲线，这意味着圆会变形为椭圆、球面会变形为椭球面、超球

49、面会变形为超椭球面。严格执行突发事件上报制度、校外活动报批制度等相关规章制度。做到及时发现、制止、汇报并处理各类违纪行为或突发事件。IPN中不等比放缩不改变平行性以IP2中的平行直线为例：假设法线向量已标准化，即（,）为单位向量，为IR2中该直线的法线向量与其平行的另一直线可设为：（方向相同，与原点距离不同）严格执行突发事件上报制度、校外活动报批制度等相关规章制度。做到及时发现、制止、汇报并处理各类违纪行为或突发事件。IPN中不等比放缩不改变平行性变换后，两平行直线的方向、相互距离都发生变化；但仍保持平行性严格执行突发事件上报制度、校外活动报批制度等相关规章制度。做到及时发现、制止、汇报并处理

50、各类违纪行为或突发事件。IPN中不等比放缩不改变平行性此结论可以推广到IPN中，即IPN中不等比放缩变换不会改变N-1维平行超平面间的平行性。容易证明，旋转、平移不改变平行性，因此IPN中的仿射变换不改变平行性。严格执行突发事件上报制度、校外活动报批制度等相关规章制度。做到及时发现、制止、汇报并处理各类违纪行为或突发事件。（5）IPN中的仿射几何仿射变换可能改变几何元素的方位、形状，但不会改变几何元素间的平行性。若IPN中的绝对二次超曲线方位发生变化，而无穷远超平面未发生变化，则可以断定IPN中发生的变形为仿射变形。严格执行突发事件上报制度、校外活动报批制度等相关规章制度。做到及时发现、制止、