第5章A 应力莫尔圆(2014).ppt

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1、9.3 应力圆应力圆（Stresses Circle ）为什么叫莫尔圆为什么叫莫尔圆(Mohrs Circle)？首先由首先由Otto Mohr（1835-1918）提出）提出 (又是一位工程师又是一位工程师)来由来由 一点无穷多个微元上的应力一点无穷多个微元上的应力 能否在一张图上表示？能否在一张图上表示？或者说，或者说，s把把 看成参数，看成参数，能否找到能否找到 与与 的函数关系？的函数关系？往下是关键的一步往下是关键的一步-平方和相加，得平方和相加，得一、斜截面应力一、斜截面应力y0 y xy x xtn x xy yxyO在在 -坐标系中，坐标系中，与与落在一个圆上落在一个圆上 （应

2、力圆应力圆 或或 莫尔圆莫尔圆）圆心？圆心？半径？半径？二、应力圆的画法二、应力圆的画法第一种画法第一种画法（1）在）在 轴上作出轴上作出 A0(x,0),B0(y,0)（2）A0,B0的中点为圆心的中点为圆心C（3）过）过A0垂直向上取垂直向上取 xy 得得 A，CA为半径为半径0 CA0B0AB（4）以）以C 为圆心、为圆心、CA为半径为半径 画圆画圆第二种画法第二种画法（1 1）坐标系内画出点坐标系内画出点 A(x，xy)B(y，yx)（2 2）AB与与 轴的轴的 交点交点C是圆心是圆心（3 3）以以 C 为圆心为圆心 以以AC为半径为半径 画画 圆圆 应力圆应力圆 或或 莫尔圆莫尔圆

3、x xy yxyOn A(x,xy)O CB(y,yx)x2 nD(,)以上由单元体公式以上由单元体公式应力圆（原变换）应力圆（原变换）下面寻求：下面寻求：由应力圆由应力圆单元体公式（逆变换）单元体公式（逆变换）只有这样，应力圆才能与公式等价只有这样，应力圆才能与公式等价换句话，单元体与应力圆是否有一一对应关系？换句话，单元体与应力圆是否有一一对应关系？为什么说有这种对应关系？为什么说有这种对应关系？0 CA(x,xy)B(y,yx)x2 n D(,)E2 0 0单元体与应力圆的对应关系单元体与应力圆的对应关系（1 1）单元体的右侧立面）单元体的右侧立面 应力圆的应力圆的 A A 点（点（2

4、2 0）（2 2）斜截）斜截面和面和应力应力(，)应力圆上一点应力圆上一点 D D 点点 和坐标和坐标(，)（3 3）单元体上夹角单元体上夹角 应力圆上应力圆上 CA 与与 CD 夹角夹角 2 且转向一致且转向一致 x xy yxyOn O CA(x,xy)B(y,yx)x2 nD(,)2 0 0（4 4）主）主单元体上单元体上 1所在面法向所在面法向 是由是由x x 轴轴逆时针转逆时针转 0 轴上应力圆最右端轴上应力圆最右端四、应力极值四、应力极值A(x,xy)CO B(y,yx)x2 1 12 0 0 1 2 3五、平面应力状态的分析方法五、平面应力状态的分析方法1 1、解析法、解析法 精

5、确、公式不好记精确、公式不好记 7 7个个 一般公式一般公式2 2个（正、切应力），极值应力个（正、切应力），极值应力5 5个个 （极大与极小正应力，极大与极小切应力，（极大与极小正应力，极大与极小切应力，主单元体方位角）主单元体方位角）2 2、图解法、图解法 不必记公式、数值不精确不必记公式、数值不精确 有没有有没有 集二者优点集二者优点、避二者缺点避二者缺点 的方法的方法？我提出了这种方法我提出了这种方法 3 3、图算法、图算法 前半部前半部 画莫尔圆画莫尔圆 后半部后半部 看图精确计算看图精确计算例例 单元体上应力如图，求出主应力，画出主单元体单元体上应力如图，求出主应力，画出主单元体3

6、080单位：单位：MPa8030OA(-80,30)-80,30)BCD1、取、取 的中点的中点C为圆心为圆心 以以 AC 为半径画莫尔圆为半径画莫尔圆2、算出心标、算出心标 0C=-40，半径，半径3、算出主应力、切应力极值、算出主应力、切应力极值4、算出方位角、算出方位角5、画出主单元体、画出主单元体 （1）A点对应于右垂面点对应于右垂面 （2）右垂面逆时针转）右垂面逆时针转OA(-80,30)-80,30)BCD3080单位：单位：MPa80 得主单元体的最大得主单元体的最大 拉应力所在的面拉应力所在的面 （3）垂直做主单元体的）垂直做主单元体的 另一个面另一个面例例 求图示单元体的主应

7、力及主平面的位置求图示单元体的主应力及主平面的位置(单位：单位：MPa)解：解：(1)(1)主应力坐标系如图主应力坐标系如图(3)(3)AB的垂直平分线与的垂直平分线与 轴的交点轴的交点 C 即即是圆心，是圆心，以以 C 为圆心，以为圆心，以 AC为为 半径画圆半径画圆 应力圆应力圆(2)(2)在在坐标系内画出点坐标系内画出点 1 2 0 3 1 2BAC (MPa)(MPa)O20MPa(4)(4)按按图计算图计算 心标心标 和和 半径半径 OC OC=(=(A A 横坐标横坐标 +B B 横坐标横坐标)/2)/2 =70 =704532532595150 10 2AB(5)(5)计算计算主

8、应力主应力及及方位角方位角 3 1 2BAC (MPa)(MPa)O20MPaEDF(6)(6)在在图上画图上画主单元体主单元体、主应力主应力9.49.4 梁的主应力及其主应力迹线梁的主应力及其主应力迹线梁的主应力及其主应力迹线梁的主应力及其主应力迹线 梁发生横力弯曲，梁发生横力弯曲，M与与Q 0，试确定截面上，试确定截面上各点主应力大小及主平面各点主应力大小及主平面位置位置单元体上：单元体上：q 1 15 5 3 31 1 3 3 1 13 3452 2 1 1 3 30 3 34 4 1 10 A1A2D2D1COA2 D2D1CA1O 20D2 D1CD1O20=90 D2A1O20CD

9、1A2 A2D2D1CA1O 主应力迹线（主应力迹线（Stress Trajectories)主应力方向线的包络线主应力方向线的包络线 曲线上每一点的切线曲线上每一点的切线 都指示着该点的主拉应力（或主压应力）方位都指示着该点的主拉应力（或主压应力）方位实线表示主拉应力迹线实线表示主拉应力迹线虚线表示主压应力迹线虚线表示主压应力迹线主应力迹线的画法主应力迹线的画法xy11截截面面22截截面面33截截面面44截截面面ii截截面面nn截截面面bacdq 1 3 3 19.59.5 三向应力状态三向应力状态三向应力状态三向应力状态应力圆法应力圆法应力圆法应力圆法xyz 2 1 31 1、空间应力状态

10、、空间应力状态2 2、三向应力分析、三向应力分析（1 1）弹性理论证明，图弹性理论证明，图 a 单元体内任意一点任意截面上单元体内任意一点任意截面上 的应力都对应着图的应力都对应着图 b 的应力圆上或阴影区内的一点的应力圆上或阴影区内的一点（2 2）整个单元体内的最大剪应力为整个单元体内的最大剪应力为 1xyz图图a 2 3图图b max例例 求图示单元体的主应力和最大剪应力（求图示单元体的主应力和最大剪应力（MPa）解：解：(1)(1)由上图知由上图知 y z面为主面为主 面之一面之一（2 2）建立应力坐标建立应力坐标 系，画应力圆系，画应力圆xyz504030ABC (M Pa)（M Pa

11、）1 2 3 max9.69.69.6 复杂应力状态下的单元体的变形复杂应力状态下的单元体的变形复杂应力状态下的单元体的变形复杂应力状态下的单元体的变形 （广义广义广义广义广义广义郑玄郑玄郑玄郑玄郑玄郑玄 -虎克定律虎克定律虎克定律虎克定律虎克定律虎克定律）一、单拉下的本构关系一、单拉下的本构关系二、纯剪的本构关系二、纯剪的本构关系xyz xxyz x y三、复杂状态下的本构关系三、复杂状态下的本构关系依叠加原理依叠加原理,得得 xyz z y xy x主单元体本构关系主单元体本构关系四、平面状态下的应力四、平面状态下的应力-应变关系应变关系 1 3 2 用用 应力应力 表示表示 应变应变 的

12、本构关系的本构关系三个弹性常数之间的关系三个弹性常数之间的关系三个弹性常数之间的关系三个弹性常数之间的关系五、体积应变与应力分量间的关系五、体积应变与应力分量间的关系体积应变：体积应变：代入本构关系，得到代入本构关系，得到体积应变与应力分量间的关系体积应变与应力分量间的关系:1 3 2dxdzdy例例 构件表面上某点的两个面内主应变为构件表面上某点的两个面内主应变为 1=240 10-6 2=160 10-6，E=210GPa，=0.3，求该点的求该点的 主应力及另一主应变主应力及另一主应变故为平面应力状态故为平面应力状态 例例 为测量薄壁容器所承受的内压力为测量薄壁容器所承受的内压力，用电阻

13、应变片，用电阻应变片 测得容器表面环向应变测得容器表面环向应变 t =350l06；容器平均直径；容器平均直径 D=500 mm，壁厚，壁厚 =10 mm，E=210GPa，=0.25 求：求：1.1.横截面和纵截面上的正应力表达式横截面和纵截面上的正应力表达式 2.2.内压力内压力pppx 1 1 mlpODxABy1 1、轴向应力、轴向应力(L(Longitudinal stress)解：容器的环向和纵向应力表达式解：容器的环向和纵向应力表达式容器截开后受力如图所示容器截开后受力如图所示,据平衡方程据平衡方程p m mxD纵截面将容器截开后受力纵截面将容器截开后受力2 2、环向应力、环向应

14、力(Hoop stress)3 3、内压（以应力应变关系求之）、内压（以应力应变关系求之）t m外表面外表面yp t tDq qdq qzO9.7 9.7 9.7 9.7 变形位能变形位能变形位能变形位能 2 3 1 3-m 1-m 2-m m m m 为了剖析为了剖析变形位能变形位能同同体积变形体积变形和和形状形状变形变形的关系的关系，引入引入为什么为什么？因因是体积应变是体积应变按迭加原理得左图按迭加原理得左图交互项交互项应力迭加没有交互项，位能迭加有应力迭加没有交互项，位能迭加有因因 故第故第3 3项项 应力状态应力状态同同 体积应变体积应变 无关无关，只与，只与形状变化形状变化有关，称

15、为有关，称为 畸变畸变（或（或偏斜偏斜）应力应力 相应地分成：相应地分成：3-m 1-m 2-m 2 3 1 m m m交互项交互项体积应变体积应变 比能比能 ，畸变畸变 比能比能（形状改变比能）（形状改变比能）体积应变比能体积应变比能 2 3 1 1-m 3-m 2-m m m m交互项交互项畸变比能畸变比能交互项交互项体积应变比能体积应变比能畸形比能畸形比能例例 用能量法证明三个弹性常数间的关系用能量法证明三个弹性常数间的关系（1 1）纯剪单元体的比能为纯剪单元体的比能为（2 2）纯剪单元体比能的主应力表示为纯剪单元体比能的主应力表示为 xyA 1 3自己阅读书自己阅读书 P 281 例例 9.8从变形上的证明从变形上的证明