第六讲代数学的新生.ppt

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1、uu序言序言序言序言uu代数方程的可解性与群的发现代数方程的可解性与群的发现代数方程的可解性与群的发现代数方程的可解性与群的发现uu从四元数到超复数从四元数到超复数从四元数到超复数从四元数到超复数uu布尔代数布尔代数布尔代数布尔代数uu代数数论代数数论代数数论代数数论代数学的新生（十九世纪数学之一）序言序言(一一)、1818世纪的数学悲观主义世纪的数学悲观主义 从17世纪初开始，数学经历了近两个世纪的开拓，在18世纪行将结束的时候，数学家们对自己从事的这门科学却奇怪地存在着一种普遍的悲观情绪。拉格朗日于1781年在写给达朗贝尔的信中说：“在我看来似乎（数学的）矿井已经挖掘很深了，除非发现新的矿

2、脉，否则迟早势必放弃它，科学院中几何学（指数学）的处境将会有一天变成目前大学里阿拉伯语的处境一样，那也不是不可能的。”n欧拉和达朗贝尔都同意拉格朗日的观点。法国法兰西学院一份关于1789年以来数学科学进展的历史及其现状的报告更是预测在数学的“几乎所有的分支里，人们都被不可克服的困难阻挡住了；把细枝末节完善化看来是剩下来惟一可做的事情了，所有这些困难好象是宣告我们的分析的力量实际上是已经穷竭了”。这种世纪末悲观主义的由来，可能是因为17、18世纪数学与天文力学的紧密结合，使部分数学家把天文与力学看成是数学发展的几乎惟一源泉，而一旦这种结合变得相对滞缓和暂时进入低谷，就会使人感到迷失方向。18世纪

3、末出现的数学悲观主义具有深刻的认识论背景。(二)、数学发展的动力 从根本上说，数学的发展与人类的生产实践和社会需求密切相关，对自然的探索是数学研究最丰富的源泉。但是，数学的发展对于现实世界又表现出相对的独立性。一种数学理论一经建立，便可基于逻辑思维向前推进，并由此导致新理论与新思想的产生。因此，内在的逻辑需要也是数学进步的重要动力之一。过于看重数学进展对现实需要的依赖，而忽视数学发展的内在动力，难免产生对数学发展前景的悲观预见.生产实践的需要 数学发展的动力 数学内部的矛盾 数学家的求知欲(三三)、1818世纪末数学悲观内部遗留的问题世纪末数学悲观内部遗留的问题 实际上，就在18世纪后半叶，数

4、学内部悄悄积累的矛盾已经开始酝酿新的变革。当时的数学家们面临着一系列数学自身产生的、长期悬而未决的问题，其中最突出的是：（1）高于四次的代数方程的根式求解问题；（2）欧几里得几何中平行公理的证明问题；（3）牛顿、莱布尼兹微积分算法的逻辑基础问题。在19世纪初，这些问题已变得越发尖锐而不可回避。8.18.1 代数方程的可解性与群的发现发现者：发现者：发现者：发现者：阿贝尔阿贝尔 伽罗瓦伽罗瓦发展者：发展者：发展者：发展者：凯莱凯莱 若尔当若尔当 F.F.克莱因克莱因 李李 中世纪的阿拉伯数学家把代数学看成是解代数方程的学问。直到19世纪初，代数研究仍未超出这个范围。不过这时数学家们的注意力集中在

5、了五次和高于五次的代数方程上。二次方程的解法古巴比伦人就已掌握。中世纪，阿拉伯数学家将二次方程的理论系统化。三、四次方程的求解在文艺复兴时期获得解决。接下来，让人关心的自然是一般的五次或更高次的方程求解。在解出三、四次方程后的整整两个半世纪内，很少有人怀疑五次代数方程根式解法的存在性。但是寻求这种解法的努力却都以失败而告终。Niels Henrik Abel(18021829）挪威数学家。1802年8月5日生于芬岛一个牧师家庭,1829年4月6日卒于弗鲁兰。13岁入奥斯陆一所教会学校学习,年轻的数学教师B.M.霍尔姆博发现了阿贝尔的数学天才,对他给予指导。少年时,阿贝尔就已经开始考虑一些数学问

6、题。1821年在一些教授资助下,入奥斯陆大学。在学校里,他几乎全是自学,同时花大量时间作研究。1824年,他解决了用根式求解五次方程的不可能性问题。为了能有更多的读者,他的论文以法文写成,也送给了C.F.高斯,可是在外国数学家中没有任何反响。8.1.18.1.1 阿贝尔 1825年,他去拍林,结识了A.L.克雷尔,并成为好友。他鼓励克雷尔创办了著名的数学刊物纯粹与应用数学杂志。第1卷（1826）刊登了7篇阿贝尔的文章,其中有一般五次方程用根式不能求解的证明。以后各卷也有很多他的文章。1826年阿贝尔到巴黎,遇见了A.M.勒让德和A.L.柯西等著名数学家。他写了一篇关于椭圆积分的论文,提交给法国

7、科学院,不幸未得到重视,他只好又回到拍林。克雷尔为他谋求教授职位,没有成功。1827年阿贝尔贫病交迫地回到了挪威,靠作家庭教师维生。直到阿贝尔去世前不久,人们才认识到他的价值。8.1.18.1.1 阿贝尔 1828年,四名法国科学院院士上书给挪威国王,请他为阿贝尔提供合适的科学研究位置,勒让德也在科学院会议上对阿贝尔大加称赞。次年4月6日,不到27岁的阿贝尔就病逝。柏林大学邀请他担任教师的信件在他去世后的第二天才送出。此后荣誉和褒奖接踵而来,1830年他和C.G.J.雅可比共同获得法国科学院大奖。阿贝尔在数学方面的成就是多方面的。除了五次方程之外,他还研究了更广的一类代数方程,后人发现这是具有

8、交换的伽罗瓦群的方程。为了纪念他,后人称交换群为阿贝尔群。阿贝尔还研究过无穷级数,得到了一些判别准则以及关于幂级数求和的定理。这些工作使他成为分析学严格化的推动者。8.1.18.1.1 阿贝尔 阿贝尔和雅可比是公认的椭圆函数论的奠基者。阿贝尔发现了椭圆函数的加法定理、双周期性、并引进了椭圆积分的反演。他研究了形如R(x,y)dx的积分(现称阿尔贝积分)，其中R（x,y）是x 和y 的有理函数,且存在二元多项式f,使 f(x,y)=0。他还证明了关于上述积分之和的定理,现称阿贝尔定理,它断言:若干个这种积分之和可以用g个这种积分之和加上一些代数的与对数的项表示出来,其中g只依赖于f,就是f的亏格

9、。阿贝尔这一系列工作为椭圆函数论的研究开拓了道路,并深刻地影响着其他数学分支。C.埃尔米特曾说:阿贝尔留下的思想可供数学家们工作150年。阿贝尔铜像阿贝尔中学时代的笔记Evariste Galois (18111832）8.1.28.1.2 伽罗瓦 尽管1824年阿贝尔完全证实了拉格朗日的命题：“不可能用根式解四次以上方程”，粉粹了人们对根式求解五次以上代数方程的奢望，而且没有忘记给出一些特殊的能用根式求解的方程，其中的一类现在被称为“阿贝尔方程”。在此过程中，阿贝尔已在实际上引进了“域”这一重要的近世代数思想。然而数学家们并不满足，他们又开始追问：究竟什么样的特殊方程能够用根式来求解？在其1

10、829-1831年间完成的几篇论文中，一位同样年青的法国数学家伽罗瓦对此做出了解答。n伽罗华最主要的成就是提出了群的概念，并用群论彻底解决了根式求解代数方程的问题，而且由此发展了一整套关于群和域的理论，称之为伽罗华理论。正是这套理论创立了抽象代数学，把代数学的研究推向了一个新的里程。为数学研究工作提供了新的数学工具群论。它对数学分析、几何学的发展有很大影响，并标志着数学发展现代阶段的开始。群论开辟了全新的研究领域，以结构研究代替计算，把从偏重计算研究的思维方式转变为用结构观念研究的思维方式，并把数学运算归类，使群论迅速发展成为一门崭新的数学分支，对近世代数的形成和发展产生了巨大影响。伽罗瓦群理

11、论被公认为十九世纪最杰出的数学成就之一。阿贝尔阿贝尔 伽罗伽罗 瓦瓦旷世奇才旷世奇才16岁阅读牛顿、欧拉、拉格朗岁阅读牛顿、欧拉、拉格朗日、高斯的著作，并开始研究日、高斯的著作，并开始研究五次方程的问题五次方程的问题15岁研究高等数学如勒让德的岁研究高等数学如勒让德的几何原理几何原理和拉格朗日的和拉格朗日的代代数方程的解法数方程的解法、解析函数论解析函数论、微积分学教程微积分学教程19岁，阿贝尔进入奥斯陆大岁，阿贝尔进入奥斯陆大学学习学学习,22岁，阿贝尔证明了岁，阿贝尔证明了五次或五次以上的代数问题五次或五次以上的代数问题17岁在法国第一个专业数学杂志岁在法国第一个专业数学杂志发论文发论文.

12、18岁，把他研究的初步结岁，把他研究的初步结果的论文提交给法国科学院果的论文提交给法国科学院阿贝尔 一般的一般的5次或次或5次以上次以上的方程不能公式求解的方程不能公式求解伽罗伽罗 瓦瓦遗留问题：判定一个具遗留问题：判定一个具体数字系数的高次代数体数字系数的高次代数方程能否用根号求解的方程能否用根号求解的准则问题？准则问题？彻底解决了代数方程公式可彻底解决了代数方程公式可 解性的判断。解性的判断。群论群论的开山祖师群论的开山祖师阿贝尔阿贝尔 伽罗伽罗 瓦瓦旷世奇才旷世奇才命运多舛命运多舛18岁，报考巴黎综合技术落选。岁，报考巴黎综合技术落选。二次把二次把群论群论交给法国科学院，交给法国科学院，

13、分别被分别被柯西、傅立叶遗失，第三傅立叶遗失，第三次上交被泊松所拒绝。次上交被泊松所拒绝。父亲自杀。开除出大学，多次由于政治原因被捕入狱，20岁悲惨的死于与无赖的决斗中。一直怀才不遇，失业，受数一直怀才不遇，失业，受数学大师的冷落，病魔缠生，学大师的冷落，病魔缠生，27岁，最后抑郁而死。岁，最后抑郁而死。名垂千古名垂千古在挪威皇宫有一尊阿贝尔的雕像，这是一个大无畏的青年的形象，在挪威皇宫有一尊阿贝尔的雕像，这是一个大无畏的青年的形象，他的脚下踩着两个怪物他的脚下踩着两个怪物分别代表五次方程和椭圆函数分别代表五次方程和椭圆函数 2003年挪威政府于设立了一项数学奖年挪威政府于设立了一项数学奖阿贝

14、尔奖阿贝尔奖。阿贝尔阿贝尔 对伽罗瓦评价对伽罗瓦评价评价评价1：犹如划破黑夜长空的一颗瞬间即逝的彗星犹如划破黑夜长空的一颗瞬间即逝的彗星 评价评价2：十九世纪数学家中最悲惨的英雄十九世纪数学家中最悲惨的英雄 评价评价3：他的死至少使得数学的发展推迟了几十年他的死至少使得数学的发展推迟了几十年 由伽罗瓦得到的启由伽罗瓦得到的启 示：示：启示一：启示一：由于他年轻，他才敢于并能够以崭新的方式去思由于他年轻，他才敢于并能够以崭新的方式去思 考，考，去描述他的数学世界去描述他的数学世界 启示二：启示二：数学表达过分地追求简洁是导致这一缺憾的原因数学表达过分地追求简洁是导致这一缺憾的原因 公元1811年

15、1832年 n罗华短短的一生写的文章不多，总共只有5篇数学论文，但他的数学思想和观点非常深刻、鲜明。他的5篇论文归纳起来主要是下列几方面的内容。n1在代数方面，他主要改进了数学大师拉格朗日的思想和观点，建立了用代数方程确定不可解性分类的理论。当伽罗华只有17岁时就写出了五次方程的代数解法的论文。后来他进一步探讨高次方程的解法，最后终于得出了许多解高次方程的方法n2伽罗华创立了自己的一套新理论，后来称为“伽罗华理论”，并建立了许多新的数学概念，如群、子群、同构等，从而把代数的研究推向了一个崭新的历程和高峰。n3他为几何作图问题提供了可作图的一个判别法，利用他的判别法解决了很多著名的数学问题。利用

16、伽罗华的理论还可以证明三等分任意角或倍立方体问题是不可解的。由于伽罗华研究数学问题的深刻性，这就为群论的建立奠定了基础，他的成果在许多数学问题和物理问题中得到了应用。n伽罗华是性子非常急躁的人，在学校里从来不安分守己，对老师不尊重，甚至有时打骂老师，在校外集众“闹事”，“惹事生非，热衷于政治活动。伽罗华短暂的一生不仅对数学有特殊的爱好，而且积极参加法国当时的政治活动。他对法国的考试制度极为不满。在一次升学考试中他拒绝回答问题，原因是对数方面的考题太简单了。伽罗华敢于对政治上的动摇分子和两面派进行顽强的斗争，即便是学校的校长也不怕。由于他揭发了校长：对法国七月革命(1830年)政变的两面派行为，

17、被学校宣布开除。学校对他的处罚并没有使他改变主意和做法，而是更加积极参加政洽活动，宣传他的一些主张。伽罗华还参加了秘密组织梯人民之友协会，并发誓：“如果为了唤起人民需要我死，我愿意牺牲自己的生命”。他经常参加一些会议，并大胆地发表自己的见解。他的行动受到了不少有正义感的人的支持和拥护。伽罗华性格倔强，刚正不阿，他被捕后在监牢里镇定自若，谈笑风生，与官方一面进行不妥协的斗争，一面还抓紧时间刻苦钻研数学。尽管牢房里条件很差，生活艰苦，他仍能静下心来在数学王国里思考。伽罗华不仅有数学才能，而且很有政治头脑，善于讲究斗争方式和策略。n伽罗华对数学问题的思考方法和处理方法改变了人们处理数学问题的习惯方法

18、和观点。他在数学探索过程中所走过的路是不平坦的，他的研究成果曾两次呈报法国科学院，但都因主管人的疏忽而遗失了手稿。当他第三次呈报时，竟被审稿的权威人士给否定了。这一连串的打击并没有使伽罗华失去信心，相反，他更加倍努力了，利用一切可以利用的时间思考他认为合理的数学法则或原理，并随时动笔写他的想法和新的发现!在他决斗前的短暂时间里，写了一封长信交给他的朋友。伽罗华在信中详细地阐明了对分析问题研究的新观点。他决斗死后14年，经著名数学家刘维尔的认真研究，他的著作和新观点才被承认，并在数学刊物上发表，一直到1870年前后，伽罗华的观点和伟大成就才被世界公认。伽罗华短暂一生的最大特点是勇往直前，追求真理

19、，深信自己的事业和理论是正确的。8.1.28.1.2 伽罗瓦 伽罗瓦的思想是将一个n次方程 的n个根（由代数基本定理可知）x1、x2、xn作为一个整体来考察，并研究它们之间的排列或称“置换”。为了容易理解起见，我们以四次方程的四个根x1、x2、x3、x4为例，在包含这些 xi 的任何表达式中交换 x1和 x2 就是一个置换，用来表示。另一个置换用表示。第一个置换后再实行第二个置换，等价于实行第三个置换 我们说头两个置换按上述顺序作成的“乘积”就是第三个置换，即P1 P2=P3 .对于四次方程的情形，易知共有4！=24个可能的置换。这些置换的全体构成一个集合，而其中任意两个置换的乘积仍是原来集合

20、中的一个置换，伽罗瓦称之为“群”。这是历史上最早的“群”的定义，不过它只是针对一个具体的群（置换群）所作的定义，还不是抽象群的一般定义。但伽罗瓦正是利用他提出的群的概念来解决方程根式可解性问题的。进一步考虑一个方程根的置换群中某些置换组成的“子群”。这个群，伽罗瓦称之为“方程的群”，也就是我们今天所说的“伽罗瓦群”。它的含义如下：考虑由方程系数的 有限次加、减、乘、除运算可能得到的一切表达式的集合。这个集合，现在叫方程的“基本域”，并记为 F=Q(a1,a2,an)，Q为有理数域，a1,a2,an 是方程的系数，但伽罗瓦没有用“域”这个名称。伽罗瓦群就是由方程的根的置换群中这样一些置换构成的子

21、群，这些置换保持方程的根以 F 的元素为系数的全部代数关系不变。我们以四次方程为例来说明这个重要的概念。设方程 ,其中 p、q 是独立的，令F 是 p,q的有理表达式形成的域，如就是这样一个表达式。这个方程的四个根：是我们已经知道的，并且容易看出这些根的系数在F中的下列两个关系成立：x1 +x2 =0,x3 +x4 =0,可以验证，在方程根的所有24个可能置换中，下面8个置换 都能使上述两个关系在 F 中保持成立，并且这8个置换是24个置换中，使根之间在域F中的全部代数关系都保持不变的仅有的置换。这8个置换就是方程在域F中的群，即伽罗瓦群。需要指出，保持根的代数关系不变，就意味着在此关系中根的

22、地位是对称的。因此，伽罗瓦群刻画了方程的根的对称性。伽罗瓦于是指出，方程的群（即伽罗瓦群）与它是否根式可解存在着本质联系，对方程的群的认识，是解决全部根式可解问题的关键。伽罗瓦证明，当且仅当方程的群满足一定的条件（即方程的群是可解群）时，方程才是根式可解的，也就是他找到了方程根式可解的充分必要条件。伽罗瓦攻克的难题虽然是三百年前的老问题,但他的思想却远远超出了他的时代。他的工作可以看成是近世代数的发端。这不只是因为它解决了方程根式可解性这样一个难题，更重要的是群概念的引进导致了代数学在对象、内容和方法上的深刻变革。伽罗瓦之后，数学家们逐渐认识到“群”可以是一个更加普遍的概念，而不必仅限于置换群

23、。凯莱（A.Cayley）在1849-1854年间指出了矩阵在乘法下、四元数在加法下都构成群，人们还发现高斯在数论中研究过的具有同一判别式的二次型类 f=ax2+2bxy+cy2 (a,b,c 为整数，x,y 取整数值，D=b2 ac 取固定值)对于型的合成运算也构成群。1868-1869年间，若尔当（C.Jordan）在物理学家布拉维斯(A.Bravais)关于运动群的理论的启发下开展了无限群（即有无限多个元素的群）的系统研究。若尔当的工作影响克莱因(F.Klein)关于几何分类中的无限变换群的研究。1874-1883年间,挪威数学家李(S.Lie,1842-1899)又研究了无限连续变换群

24、（李群）。Arthur CayleyCamille JordanFelix Christian Klein 1849-1925Sophus Lie到19世纪80年代，关于各种不同类型的群的研究使数学家们有了足够的积累来形成抽象群的概念：（A）封闭性：封闭性：对于运算*,a,b R，则a*b=c R；（B）结合性：结合性：对于运算*，a，b，c R，则（a*b）*c=a*（b*c）；（C）存在单位元：存在单位元：I R，使 I*a =a*I =a ;（D）存在逆元：存在逆元：a R，则 a-1 R，使 a*a-1=a-1*a =I .在抽象的群概念中，其元素本身的具体内容已无关紧要，关键是联系这

25、些元素的运算关系。这样建立起来的一般群论也就成了描写其他各种数学和物理现象的对称性质的普遍工具。在19世纪末，群论已被应用于晶体结构的研究，在现代物理中，群论更成为研究基本粒子、量子力学的有力武器。代数学由于群的概念的引进和发展而获得新生，它不再仅仅是研究代数方程，而更多地是研究各种抽象对象的运算关系，从而为20世纪代数结构观念的产生奠定了基础。一个群的简单实例：n n平面上（或空间中）的正交变换（也称保距变换），如果把平面（空间）图形变成与它自己重合的图形，则称这个正交变换叫做图形的对称（性）变换。n n如图，等边三角形的对称变换有6个。l1l3l2O12I记记G=I,l1,l2,l3,1,

26、2,则集合则集合G是一个群。是一个群。8.28.2 从四元数到超复数8.2.18.2.18.2.18.2.1 19 19世纪初复数的几何表示世纪初复数的几何表示 四元数的发现是继伽罗瓦提出群的概念后，19世纪代数学最重大的事件。四元数是推广平面复数系结构的产物。18末19世纪初，韦韦塞塞尔尔、阿阿尔尔冈冈和高高斯斯等人给出了复数 a+bi(a，b 为实数)的几何表示，这样复数才有了合法地位。在稍微熟悉了复数的几何表示之后，数学家们认识到复数能用来表示和研究平面上的向量。ayObx 8.2.28.2.28.2.28.2.2 空间向量及其运算空间向量及其运算 向量概念在物理学上十分重要，力、速度或

27、加速度这些有大小和方向的量都是向量，而人们很早就已知道向量的合成服从平行四边形法则。数学家们发现两个复数相加的结果正好对应于平行四边形法则相加的向量和。用复数来表示向量及其运算有一个很大的优点，那就是，人们从此不必几何地作出向量运算，就能通过代数的方法研究它们。这就像方程能用来表示和研究曲线而带给人们方便一样。然而事实却使数学家们很快发觉，他们无法在三维情况下找到复数的一个类似物。OSir William Rowan Hamilton8.2.38.2.38.2.38.2.3 哈密顿对复数的推广哈密顿对复数的推广 在寻找复数三维推广的数学家中，爱尔兰数学家哈密顿哈密顿也是其中一员。他在1837年

28、曾把复数处理成实数的有序数偶，并希望通过推广这种有序数偶的思想，来达到自己的目的。如此结过15年的努力，他终于发现自己所要找的新数组应包含四个分量，而且必须放弃乘法的交换性。他把这种新数组命名为四元数。哈密顿的四元数形如 a +b i +c j +d k，其中a ,b,c,d为实数，i，j，k满足 i 2=j 2=k 2=-1 ;ij=-ji=k,jk=-kj=i,ki=-ik=j 两个四元数相乘可以根据上面的规则仿照复数乘法那样去做，例如，设 p=1+2i+3j+4k ,q=4+3i+2j+k,则 pq=(1+2i+3j+4k)(4+3i+2j+k)=-12+6i+24j+12k qp=(4

29、+3i+2j+k)(1+2i+3j+4k)=-12+16i+4j+22k 可见，但哈密顿证明了四元数乘法具有“结合性”，这是第一次使用这个术语。四元数也是历史上第一次构造的不满足乘法交换律的数系。四元数本身虽然没有广泛的应用，但它对于代数学的发展来说是革命性的。哈密顿的作法启示了数学家们，他们从此可以更加自由地构造新的数系，通过减弱、放弃或替换普通代数中的不同定律和公理，就为众多代数系的研究开辟了道路。在哈密顿之后，各种新的超复数像雨后春笋般涌现出来。事实上，就在哈密顿建立四元数的同时，一位德国数学家格拉斯曼格拉斯曼也在试图对复数作出推广。8.2.48.2.4 格拉斯曼Hermann Gras

30、smann 与哈密顿相比，格拉斯曼的推广更为大胆。他实际上涉及的是n维向量空间。他的“扩张的量”就是一种有n个分量的超复数。例如：当 n=3 时，考虑两个超复数 =a1e1+a2e2+a3e3,=b1e1+b2e2+b3e3 其中，ai 和 bi 是实数，ei 是基元素，格拉斯曼定义它们的加减法为 =(a1 b1)e1+(a2 b2)e2+(a3 b3)e3,而对于乘法则定义了两种，一种称为内积，另一种称为外积。对于内积，他假设 ei ei=1,ei ej=0,i j,所以 =a1b1+a2 b2 +a3 b3,并且有 =.对于外积，他假设 eiei =0,eiej =-ej ei,i j,所

31、以 =(a2 b3 a3 b2 )e2e3 +(a3 b1 a1 b3)e3e1+(a1 b2 a2 b21)e1e2,显然 .格拉斯曼还讨论了超复数之间的混合积。在1855年的一篇文章中，格拉斯曼对超复数给出了16种不同类型的乘积。他对这些乘积作了几何解释，并给出了它们在力学、磁学和结晶学等方面的应用。麦克斯韦 将复数推广到超复数的一个重要动力原本来源于物理中力学计算的需要。格拉斯曼的超复数在一定程度上满足了这种需要，但他的工作在相当长的一段时间里被人忽视了。四元数倒是很快吸引了人们的注意力，但它却不适合物理学家的需要。将四元数改造成物理学家所需要的工具的第一步，是由英国数学物理学家麦克斯韦

32、麦克斯韦迈出的。他将四元数结构区分为数量部分和向量部分，并在此基础上创造了大量的向量分析，不过他还是没有把向量与四元数完全分开，仍然经常把四元数作为基本的数学实体。8.2.58.2.5 吉布斯与亥维赛 独立于四元数的三维向量代数和向量分析，是在19世纪80年代初由美国数学物理学家吉布斯和英国数学物理学家亥维赛创立的。他们两人对这个课题的发展结果，除了记法外本质上是一致的。根据他们提出的思想，一个向量只是四元数的向量部分，但独立于任何四元数。因此，向量 v=ai i+bj j+ck k 其中i i，j j，k k 是分别沿轴x,y,z的单位向量，a,b,c是三个实数，称为向量的分量。两个向量的和

33、仍是一个向量，它的分量就是相加的两个向量相应分量的和。向量的乘法有两种，一种是数量乘法，用“”表示，也称为“点乘”，在这种情形中，i i，j j，k k满足 i i i i=j j j j=k k k k=1 ,=1 ,i i j j=j j i i=i i k k=k k i i=j j k k =k k j j=0=0 J Willard Gibbs 因此，把 v 和 v=ai+bj+ck 点乘就得到 v v=aa+bb+cc 点 这个乘积不再是向量而是一个数量，称为数量积。所以。两个向量的数量乘法与两个实数或复数或四元数的乘法都不同，它不满足封闭性。向量的另一种乘法是向量积，用“”表示，

34、也称为“叉乘”，在这种情形中，i，j，k 满足i i=j j=k k=0 ,i j=k,j i=k,j k =i,k j=i,k i=j,i k=j,因此，把 v 和 v叉乘就得到 v v=(bc bc)i+(ca ac)j+(ab ba)k 它也可写成行列式的形式:两个向量的向量积是一个向量，它的方向垂直于和所决定的平面，且指向通过较小的角度转到时右手螺旋所指的方向。有趣的是，魏尔斯特拉斯在1861年证明：有有限个基元素的实系数或复系数线性结合代数，如果要服从乘积定律和乘法交换律，就只有实数代数和复数代数。这才使人们了解到为什么寻求“三维复数”的努力是徒劳的。8.38.3 布尔代数8.3.1

35、8.3.18.3.18.3.1 前奏前奏-莱布尼茨的工作莱布尼茨的工作8.3.28.3.28.3.28.3.2 布尔及布尔代数布尔及布尔代数8.3.38.3.38.3.38.3.3 杰文斯杰文斯 皮尔斯皮尔斯 施罗德施罗德 弗雷格弗雷格 皮亚诺皮亚诺 怀特海怀特海 罗素罗素 19世纪中后叶，代数学还开拓了另一个完全不同的领域，即布尔代数。8.3.18.3.1 前奏-莱布尼茨的工作 早在17世纪，莱布尼兹就试图建立一种推理代数，通过演算完成一切正确的推理过程。但是莱布尼兹并没有完成这项工作。8.3.28.3.2 布尔及布尔代数 莱布尼兹提出的逻辑数学化的思想在两个世纪后才获得实质性进展。英国数学

36、家布布尔尔的逻辑代数即现今所称的“布尔代数”基本上完成了逻辑的演算工作。布尔的逻辑代数建立于“谓词量化”的基础上。传统的亚里士多德逻辑所讨论的命题是一种具有“主-谓”形式的命题，在其三段论的各种基本形式中，只有主词是被量化的。19世纪上半叶，一些逻辑学家在对逻辑形式做出新的分析后，发现实际判断不但要考虑主词的量，而且也要考虑谓词的量。将谓词量化的努力使人们想到可以用等式来处理命题，从而为布尔的逻辑代数作了技术上的准备。George BooleAugustus De Morgan 1835年，20岁的乔治布尔开办了一所私人授课学校。为了给学生们开设必要的数学课程，他兴趣浓厚地读起了当时一些介绍数

37、学知识的教科书。不久，他就感到惊讶，这些东西就是数学吗？实在令人难以置信。于是，这位只学过初级数学的青年自学了艰深的天体力学和很抽象的分析力学。由于他对代数关系的对称和美有很强的感觉，在孤独的研究中，他首先发现了不变量，并把这一成果写成论文发表。这篇高质量的论文发表后，布尔仍然留在小学教书,是他开始和许多第一流的英国数学家交往或通信，其中有数学家、逻辑学家德摩根。德摩根在19世纪前半叶卷入了一场著名的争论，布尔知道摩根是对的，于是在1848年出版了一本薄薄的小册子来为朋友辩护。这本书是他6年后更伟大的东西的预告，它一问世，立即激起了摩根的赞扬，肯定他开辟了新的、棘手的研究科目。布尔此时已经在研

38、究逻辑代数，即布尔代数。他把逻辑简化成极为容易和简单的一种代数。在这种代数中，适当的材料上的“推理”，成了公式的初等运算的事情，这些公式比过去在中学代数第二年级课程中所运用的大多数公式要简单得多。这样，就使逻辑本身受数学的支配。为了使自己的研究工作趋于完善，布尔在此后6年的漫长时间里，又付出了不同寻常的努力。1854年，他发表了思维规律这部杰作，当时他已39岁，布尔代数问世了，数学史上树起了一座新的里程碑。几乎像所有的新生事物一样，布尔代数发明后没有受到人们的重视。欧洲大陆著名的数学家蔑视地称它为没有数学意义的哲学上稀奇古怪的东西，他们怀疑英伦岛国的数学家能在数学上做出独特贡献。布尔在他的杰作

39、出版后不久就去世了。20世纪初，罗素在数学原理中认为，纯数学是布尔在一部他称之为思维规律的著作中发现的。此说一出，立刻引起世人对布尔代数的注意。今天，布尔发明的逻辑代数已经发展成为纯数学的一个主要分支。1、0-1律A*0=0A+1=12、自等律A*1=AA+0=A3、等幂律A*A=AA+A=A4、互补律A*=0A+=15、交换律A*B=B*AA+B=B+A6、结合律A*（B*C）=（A*B）*CA+（B+C）=（A+B）+C7、分配律A（B+C）=AB+ACA+BC=（A+B）（A+C）8、吸收律1（A+B）（A+B）=AAB+AB=A9、吸收律2A（A+B）=AA+AB=A10、吸收律3A（

40、+B）=ABA+B=A+B11、多余项定律(A+B)(+C)（B+C）=（A+B）（A+C）AB+AC+BC=AB+AC12、否否律（）=A13、求反律AB=+BA+B=*B布尔代数的基本公式布尔代数的基本公式 在布尔之后，一些逻辑学家和数学家又对他的逻辑演算作了改进和发展。其中比较重要的如：杰文斯改进了相加的类必须不相交的限制；皮尔斯则区分了命题和命题函数，并引入了两个变量的命题函数；在施罗德的三大卷逻辑代数讲义（1890-1905）中，布尔代数更是发展到了顶峰。William Jevons 1835-1882Charles S Peirce 1839-1914Ernst Schrder 1

41、841-1902 1879年，德国数学家弗雷格开创了数理逻辑研究的另一种传统，即数学基础传统。他的目标不是把数学应用于逻辑以实现逻辑规律和逻辑推理的数学化，而是利用精密化的逻辑为数学建立一个可靠的基础。以后，通过佩亚诺（G.Peano）、怀特海(A.Whitehead)和罗素（B.Russell）等人的工作，就将数理逻辑研究中的逻辑代数传统和数学基础传统汇合在一起。Gottlob Frege 1848-1925Giuseppe Peano 1858-1932Alfred Whitehead 1861-1947Bertrand Russell 1872-19708.4.18.4.18.4.18.

42、4.1 高斯的高斯的算术研究算术研究8.48.4 代数数论 在19世纪以前，数论只是一系列孤立的结果，但自从高高斯斯在1801年发表了他的算术研究后，数论作为现代数学的一个重要分支得到了系统的发展。Gauss 算术研究中有三个主要思想：同余理论，复整数理论和型的理论。其中复整数理论正是代数数论的开端，而这个理论又是从高斯对同余理论的研究中派生出来的。如果 a,b,m 是整数，并且ab 能被m 整除，那么这时就说 a 和 b 关于模 m是同余的，高斯将这一事实记为 a b(mod m),它也称为同余式。对于模相同的同余式，可以像等式那样来处理。例如，从a b(mod m)和 a b(mod m)

43、,可以得出 a a b b(mod m)。高斯特别研究了二次剩余。而关于二次剩余和二次非剩余，有一个著名的定理与之相联系，高斯称之为二次互反律：如果 x2 q(mod p)有解如果 x2 q(mod p)无解Adrien-Marie Legendre 设 p 和 q 是两个相异的奇素数，如果乘积 是偶数，则当且仅当x2 p(mod q)有解时，x2 q(mod p)有解；如果上述乘积是奇数，则当且仅当 x2 p(mod q)无解时，x2 q(mod p)有解。利用勒让德后来引入的一个记号（q/p）：还可以把二次互反律表达成如下优美的形式：它最先由欧拉所发现，但缺少证明。高斯非常欣赏这个定律，把

44、它誉为“算术中的宝石”，算术研究中就有该定律的一个完全证明。高斯在证明了二次互反律之后，试图将它推广到三次或四次互反律，但他发现为使三次和四次剩余的理论简单、优美，就必须超出通常的整数范围，引进复整数，即实部和虚部皆为整数的复数。对于复整数可以像处理普通整数那样讨论它的数论性质。从而开辟了数论的一个新天地。8.4.28.4.28.4.28.4.2 库默尔与理想数库默尔与理想数Eduard Kummer 在高斯之后对代数数论作出重要贡献的是德国数学家库默尔库默尔。他引进了一种新的代数数，从而推广了高斯的复整数理论。库默尔原本打算基于这种代数数来证明费马大定理。然而不久，他的设想便因狄利克雷对这种

45、代数数唯一分解性的否定而被否定。因为对于一般的代数整数，唯一分解定理并不成立。例如考虑形如 的代数整数，这里 a,b 是整数。我们有 容易证明这四个因子都是素整数，可见唯一分解定理不成立。为了重建唯一分解定理，使得普通数论的一些结果在推广到代数数论时仍能成立，为了使普通数论的一些结果在推广到代数数论时仍能成立，库默尔在1844-1847年间又创立了理想数理论。如针对上面的例子，在引入理想数 后，6 就可以唯一地表示成四个因子的乘积：6=212。后来德国数学家戴德金戴德金又把库默尔的工作系统化并推广到一般的代数数域，从而创立了现代代数数的理论。戴德金戴德金将代数数的概念一般化之后，遂开始重建代数

46、数域中的唯一因子分析定理，他引进了代数数类来代替理想数，为了纪念库默尔的理想数，他把它们称为理想。代数数域中整数环的除子半群中的元素。理想数的概念是由德国数学家库默尔在研究分圆域上的算术时提出来的。在19世纪中叶，很多数学家还不清楚在代数整数环中是否和整数环一样有素因子唯一分解定理，就连大数学家柯西也认为唯一分解是对的。库默尔就此问题与狄利克雷展开讨论，在1844年他认识到分解是不唯一的。于是，在18451847年库默尔提出了理想数的概念。理想数（理想数（ideal number）如果从理想数的观点看，整数环的分解是唯一的。库默尔的理想数就是现今理想的雏形。在库默尔理想数理论的基础上，戴德金和

47、克罗内克创立了一般理想理论。戴德金将每个理想数与环中的理想一一对应起来，这个理想被他定义为环中由0及能被这个理想数整除的所有元素组成的子集。若al，an是理想 I 的生成元，则对应于I的理想数是理想数(a1)，(an)的最大公因子。后来，理想的概念推广到任意环上，那些理想概念与除子概念相一致的环，现称之为戴德金环。8.4.38.4.3 戴德金的理想论Richard Dedekind 1831年生于德国不伦瑞克;1916年2月12日卒于不伦瑞克。戴德金的父亲是一位法学教授，母亲是一位教授的女儿。1848年戴德金进入了卡罗琳学院，这也是高斯的母校。在那里他学到了解析几何，代数分析，微积分以及力学和

48、自然科学。8.4.38.4.3 戴德金的理想论 1850年复活节，戴德金进入哥廷根大学学习。当时哥廷根刚刚建立起数学和物理学讨论班，在那里他跟斯特恩学到数论基础知识，跟韦伯学习物理。1851年黎曼也参加讨论班，他们很快结下了深厚的友谊。戴德金还学习了物理和天文，并听过高斯的最小二乘法和高等测量学。他只上了四个学期就在高斯指导下准备博士论文,题目是关于欧拉积分的理论。对此，高斯写了如下评语：戴德金先生准备的论文是关于积分学的一项研究，它决不是一般的。作者不仅显示出对有关领域具有充分的知识而且这种独创性也预示出他未来的成就。作为批准考试的试验论文，我对这篇论文完全满意。1855年高斯去世后，狄里赫

49、利来到哥廷根。戴德金听到狄里赫利的数论，位势理论，定积分和偏微分方程等内容，获益匪浅。他很快与狄里赫利有了密切的交往，并进入了狄里赫利和他的朋友们的社交活动。1855年冬到1856年，戴德金听黎曼讲授了阿贝尔函数和椭圆函数的课程。他自己也在1856到1858年先后讲授两个学期的伽罗瓦理论。他可能是第一个开伽罗瓦理论讲授班的人。在讲课中，他引进了域的概念，并且把置换群的概念用抽象群的概念来取代。1858年戴德金被任命为瑞士苏黎世综合工业学院教授。在讲授微积分的课程中深感分析基础的薄弱，从此开始实数理论基础的研究。他在11月24日得出了自己的连续性和无理数理论，并在几天后告诉了他的朋友杜瑞热。18

50、72年以连续性与无理数出版。这本书的问世连同魏尔斯特拉斯分析基础的传播以及康托尔集合论的诞生，标志着现代数学新时期的来临。1888年他出版了数是什么？数应当是什么？。这本书有很大的影响，特别是影响皮亚诺得出其著名的算术公理。戴德金无理数理论的核心是他的分割的概念。一个分割把所有有理数分成两类，使得第一类中每一个数都小于第二类中每一个，每一个分割对应于一个实数。这样在有理数之外，就引进了无理数的概念。这是建立在有理数已经存在的基础之上。再进一步，如何建立自然数，有理数，就直接导致了皮亚诺的自然数公理。在哥廷根和瑞士期间，戴德金致力于狄里赫利1856到1857年的数论讲义和黎曼全集的编辑工作。在1