2018届高三数学二轮复习第一篇专题突破专题二函数与导数刺第3讲导数及其应用第1课时导数与函数性质ppt课件文.ppt

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1、第第1 1课时导数与函数性质课时导数与函数性质考情分析考情分析总纲目录考点一 导数的几何意义考点二 利用导数研究函数的单调性考点三 利用导数研究函数的极值(最值)1.导数的几何意义函数f(x)在x0处的导数是曲线f(x)在点P(x0,f(x0)处的切线的斜率,曲线f(x)在点P处的切线的斜率k=f(x0),相应的切线方程为y-f(x0)=f(x0)(x-x0).第第1 1课时导数与函数性质课时导数与函数性质考点一导数的几何意义2.四个易错导数公式(1)(sinx)=cosx;(2)(cosx)=-sinx;(3)(ax)=axlna(a0且a1);(4)(logax)=(a0且a1).典型例题

2、典型例题(1)(2017课标全国,14,5分)曲线y=x2+在点(1,2)处的切线方程为.(2)(2017云南第一次统考)已知函数f(x)=axlnx+b(a,bR),若f(x)的图象在x=1处的切线方程为2x-y=0,则a+b=.答案答案(1)x-y+1=0(2)4解析解析(1)y=x2+,y=2x-,y|x=1=2-1=1,所求切线方程为y-2=x-1,即x-y+1=0.(2)由题意,得f(x)=alnx+a,所以f(1)=a,因为函数f(x)的图象在x=1处的切线方程为2x-y=0,所以a=2,又f(1)=b,则21-b=0,所以b=2,故a+b=4.方法归纳方法归纳求曲线y=f(x)的

3、切线方程的三种类型及方法(1)已知切点P(x0,y0),求切线方程求出切线的斜率f(x0),由点斜式写出方程;(2)已知切线的斜率k,求切线方程设切点P(x0,y0),通过方程k=f(x0)解得x0,再由点斜式写出方程;(3)已知切线上一点(非切点),求切线方程设切点P(x0,y0),利用导数求得切线斜率f(x0),再由斜率公式求得切线斜率,列方程(组)解得x0,再由点斜式或两点式写出方程.跟踪集训跟踪集训1.(2017广东广州综合测试(一)设函数f(x)=x3+ax2,若曲线y=f(x)在点P(x0,f(x0)处的切线方程为x+y=0,则点P的坐标为()A.(0,0)B.(1,-1)C.(-

4、1,1)D.(1,-1)或(-1,1)答案答案D由题意知,f(x)=3x2+2ax,所以曲线y=f(x)在点P(x0,f(x0)处的切线的斜率为f(x0)=3+2ax0,又切线方程为x+y=0,所以x00,且解得或所以当时,点P的坐标为(1,-1);当时,点P的坐标为(-1,1),故选D.2.(2017四川成都第二次检测)若曲线y=f(x)=lnx+ax2(a为常数)不存在斜率为负数的切线,则实数a的取值范围是()A.B.C.(0,+)D.0,+)答案答案Df(x)=+2ax=(x0),根据题意有f(x)0(x0)恒成立,所以2ax2+10(x0)恒成立,即2a-(x0)恒成立,所以a0,故实

5、数a的取值范围为0,+).故选D.3.(2017四川成都第一次检测)已知曲线C1:y2=tx(y0,t0)在点M处的切线与曲线C2:y=ex+1+1也相切,则t的值为()A.4e2B.4eC.D.答案答案A由y=,得y=,则切线斜率为k=,所以切线方程为y-2=.即y=x+1.设切线与曲线y=ex+1+1的切点为(x0,y0).由y=ex+1+1,得y=ex+1,则由=,得切点坐标为,故切线方程又可表示为y-1=,即y=x-ln+1,所以由题意,得-ln+1=1,即ln=2,解得t=4e2,故选A.考点二利用导数研究函数的单调性导数与函数单调性的关系(1)f(x)0是f(x)为增函数的充分不必

6、要条件,如函数f(x)=x3在(-,+)上单调递增,但f(x)0.(2)f(x)0是f(x)为增函数的必要不充分条件,当函数在某个区间内恒有f(x)=0时,则f(x)为常数函数,函数不具有单调性.典型例题典型例题(2017课标全国,21,12分)已知函数f(x)=ex(ex-a)-a2x.(1)讨论f(x)的单调性;(2)若f(x)0,求a的取值范围.解析解析(1)函数f(x)的定义域为(-,+),f(x)=2e2x-aex-a2=(2ex+a)(ex-a).若a=0,则f(x)=e2x,在(-,+)单调递增.若a0,则由f(x)=0得x=lna.当x(-,lna)时,f(x)0.故f(x)在

7、(-,lna)单调递减,在(lna,+)单调递增.若a0,则由f(x)=0得x=ln.当x时,f(x)0.故f(x)在单调递减,在单调递增.(2)若a=0,则f(x)=e2x,所以f(x)0.若a0,则由(1)得,当x=lna时,f(x)取得最小值,最小值为f(lna)=-a2lna,从而当且仅当-a2lna0,即a1时,f(x)0.若a0).(1)当m=1时,求曲线y=f(x)g(x)在x=1处的切线方程;(2)讨论函数F(x)=f(x)-g(x)在(0,+)上的单调性.解析解析(1)当m=1时,y=f(x)g(x)=,y=,x=1时,切线的斜率k=y|x=1=,又切线过点(1,0),所以切

8、线方程为y=(x-1),即x-2y-1=0.(2)由已知得,F(x)=mlnx-,所以F(x)=-=,当m0时,F(x)0时,令k(x)=mx2+(2m-1)x+m,=(2m-1)2-4m2=1-4m,当0,即m时,k(x)0恒成立,此时F(x)0,函数F(x)在(0,+)上单调递增,当0,即0m时,方程mx2+(2m-1)x+m=0有两个不相等的实数根,设为x1,x2,并令x1x2,则所以0 x11x2,其中x1=,x2=,此时,函数F(x)在(0,x1),(x2,+)上单调递增;在(x1,x2)上单调递减.综上所述,当m0时,F(x)在(0,+)上单调递减;当0m0,右侧f(x)0,则f(

9、x0)为函数f(x)的极大值;若在x0附近左侧f(x)0,则f(x0)为函数f(x)的极小值.(2)设函数y=f(x)在a,b上连续,在(a,b)内可导,则f(x)在a,b上必有最大值和最小值且在极值点或端点处取得.典型例题典型例题(2017山东,20,13分)已知函数f(x)=x3-ax2,aR.(1)当a=2时,求曲线y=f(x)在点(3,f(3)处的切线方程;(2)设函数g(x)=f(x)+(x-a)cosx-sinx,讨论g(x)的单调性并判断有无极值,有极值时求出极值.解析(1)由题意f(x)=x2-ax,所以当a=2时,f(3)=0,f(x)=x2-2x,所以f(3)=3,因此,曲

10、线y=f(x)在点(3,f(3)处的切线方程是y=3(x-3),即3x-y-9=0.(2)因为g(x)=f(x)+(x-a)cosx-sinx,所以g(x)=f(x)+cosx-(x-a)sinx-cosx=x(x-a)-(x-a)sinx=(x-a)(x-sinx),令h(x)=x-sinx,则h(x)=1-cosx0,所以h(x)在R上单调递增.因为h(0)=0,所以当x0时,h(x)0;当x0时,h(x)0.当a0时,g(x)=(x-a)(x-sinx),当x(-,a)时,x-a0,g(x)单调递增;当x(a,0)时,x-a0,g(x)0,g(x)0,g(x)单调递增.所以当x=a时g(

11、x)取到极大值,极大值是g(a)=-a3-sina,当x=0时g(x)取到极小值,极小值是g(0)=-a.当a=0时,g(x)=x(x-sinx),当x(-,+)时,g(x)0,g(x)单调递增;所以g(x)在(-,+)上单调递增,g(x)无极大值也无极小值.当a0时,g(x)=(x-a)(x-sinx),当x(-,0)时,x-a0,g(x)单调递增;当x(0,a)时,x-a0,g(x)0,g(x)0,g(x)单调递增.所以当x=0时g(x)取到极大值,极大值是g(0)=-a;当x=a时g(x)取到极小值,极小值是g(a)=-a3-sina.综上所述:当a0时,函数g(x)在(-,0)和(a,

12、+)上单调递增,在(0,a)上单调递减,函数既有极大值,又有极小值,极大值是g(0)=-a,极小值是g(a)=-a3-sina.方法归纳方法归纳利用导数研究函数极值、最值的方法(1)若求极值,则先求方程f(x)=0的全部实根,再检验f(x)在方程根的左右两侧值的符号.(2)若已知极值大小或存在情况,则转化为已知方程f(x)=0的根的大小或存在情况,从而求解.(3)求函数f(x)在闭区间a,b的最值时,在得到极值的基础上,结合区间端点的函数值f(a),f(b)与f(x)的各极值进行比较得到函数的最值.跟踪集训跟踪集训(2017北京,20,13分)已知函数f(x)=excosx-x.(1)求曲线y

13、=f(x)在点(0,f(0)处的切线方程;(2)求函数f(x)在区间上的最大值和最小值.解析(1)因为f(x)=excosx-x,所以f(x)=ex(cosx-sinx)-1,f(0)=0.又因为f(0)=1,所以曲线y=f(x)在点(0,f(0)处的切线方程为y=1.(2)设h(x)=ex(cosx-sinx)-1,则h(x)=ex(cosx-sinx-sinx-cosx)=-2exsinx.当x时,h(x)0,所以h(x)在区间上单调递减.所以对任意x有h(x)h(0)=0,即f(x)0且x1,f(x)=-+=,记g(x)=x2-(m+2)x+1,x0,且x1,要使函数f(x)在(e,+)

14、上有极值点,则方程x2-(m+2)x+1=0有两个不同的实根x1,x2,=-(m+2)2-40,解得m0或me,所以0 x1e0,所以只需即解得me+-2.答案答案3.函数f(x)=x3+x2-3x-4在0,2上的最小值是.答案答案-解析解析f(x)=x2+2x-3,令f(x)=0,得x=1(x=-3舍去),又f(0)=-4,f(1)=-,f(2)=-,故f(x)在0,2上的最小值是f(1)=-.4.若函数f(x)=-x3+x2+2ax在上存在单调递增区间,则a的取值范围是.答案答案解析解析对f(x)求导,得f(x)=-x2+x+2a=-+2a.当x时,f(x)的最大值为f=+2a,令+2a0,解得a-.所以a的取值范围是.