有关折叠的初中数学综合体.ppt

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1、有关折叠的有关折叠的综合合题透过现象看本质透过现象看本质长兴实验初中长兴实验初中 宋煜滨宋煜滨(2009年江苏省年江苏省)（1）观察与发现小明将三角形纸片）观察与发现小明将三角形纸片ABC沿过点沿过点A的直线折叠，使得的直线折叠，使得AC落在落在AB边上，折痕为边上，折痕为AD，展开纸片（如图，展开纸片（如图）；再次折叠该三角形纸片，使点）；再次折叠该三角形纸片，使点A和点和点D重合，折痕为重合，折痕为EF，展，展平纸片后得到平纸片后得到AEF（如图（如图）小明认为是）小明认为是AEF等腰三角形，等腰三角形，你同意吗？请说明理由你同意吗？请说明理由（2）实践与运用）实践与运用将矩形纸片将矩形纸

2、片ABCD沿过点沿过点B的直线折叠，使点的直线折叠，使点A落在落在BC边边上的点上的点F处，折痕为处，折痕为BE（如图（如图）；再沿过点）；再沿过点E的直线折的直线折叠，使点叠，使点D落在落在BE上的点上的点 处，折痕为处，折痕为EG（如图（如图）；）；再展平纸片（如图再展平纸片（如图）求图）求图中中 的大小的大小（2009年义乌）年义乌）如图，在矩形如图，在矩形ABCD中，中，AB=3,AD=1,点点P在线段在线段AB上运动，设上运动，设AP=x，现将纸片折叠，使点，现将纸片折叠，使点D与点与点P重合，得折痕重合，得折痕EF（点（点E、F为折痕与矩形边的交点），再将纸片还原。为折痕与矩形边的

3、交点），再将纸片还原。（1）当时）当时x=0，折痕，折痕EF的长为的长为_；当点；当点E与点与点A重合时，折痕重合时，折痕EF的长为的长为_；（2）请写出使四边形）请写出使四边形EPFD为菱形的为菱形的x的取值范围，并求出当的取值范围，并求出当x=2时菱形的边长；时菱形的边长；（3）令）令 ，当点，当点E在在AD、点、点F在在BC上时，写出上时，写出y与与x的函数的函数关系式。当关系式。当y取最大值时，判断取最大值时，判断 EAP与与 PBF是否相似？若相似，是否相似？若相似，求出求出x的值；若不相似，请说明理由。的值；若不相似，请说明理由。ABCD图（1）ABCDEFMN1.翻折后得到关键点

4、重合翻折后得到关键点重合 2.翻折后得到图形重合翻折后得到图形重合我们把翻折问题分为两类：我们把翻折问题分为两类：ABCDFE透过现象看本质透过现象看本质:折折叠叠轴轴对对称称实质实质轴对称性质：轴对称性质：ADEF1.图形的全等性：图形的全等性：2.点的对称性：对称点连线被对称轴（折痕）垂直平分点的对称性：对称点连线被对称轴（折痕）垂直平分.由折叠可得：由折叠可得：1.AFEAFE ADEADE2.AEAE是是DFDF的中垂的中垂线线角度角度线段长线段长翻折翻折全等全等相等的边，相等的角相等的边，相等的角求角：求角：(2009年江苏省年江苏省)（1）观察与发现小明将三角形纸片）观察与发现小明

5、将三角形纸片ABC沿过点沿过点A的直线折叠，使得的直线折叠，使得AC落在落在AB边上，折痕为边上，折痕为AD，展开纸片（如图，展开纸片（如图）；再次折叠该三角形纸片，使点）；再次折叠该三角形纸片，使点A和点和点D重合，折痕为重合，折痕为EF，展，展平纸片后得到平纸片后得到AEF（如图（如图）小明认为是）小明认为是AEF等腰三角形，等腰三角形，你同意吗？请说明理由你同意吗？请说明理由 求角：求角：关键是找出折痕，得到关系。关键是找出折痕，得到关系。（2）实践与运用）实践与运用将矩形纸片将矩形纸片ABCD沿过点沿过点B的直线折叠，使点的直线折叠，使点A落在落在BC边边上的点上的点F处，折痕为处，折

6、痕为BE（如图（如图）；再沿过点）；再沿过点E的直线折的直线折叠，使点叠，使点D落在落在BE上的点上的点 处，折痕为处，折痕为EG（如图（如图）；）；再展平纸片（如图再展平纸片（如图）求图）求图中中 的大小的大小求角：求角：关键是找出折痕，得到关系。关键是找出折痕，得到关系。求角：求角：关键是找出折痕，得到关系。关键是找出折痕，得到关系。06湖州中考湖州中考已知如图，矩形已知如图，矩形OABC的长为的长为 ，宽，宽OC为为1，将将AOC沿沿AC翻折得翻折得 APC（1）填空：）填空：PCB=_度，度，P点坐标为（点坐标为（，）；）；（2）若）若P，A两点在抛物线两点在抛物线y=x2+bx+c上

7、，求上，求b，c的值，并的值，并说明点说明点C在此抛物线上；在此抛物线上；（3）在（）在（2）中的抛物线）中的抛物线CP段（不包括段（不包括C，P点）上，是否存在点）上，是否存在一点一点M，使得四边形，使得四边形MCAP的面积最大？若存在，求出这个最大的面积最大？若存在，求出这个最大值及此时值及此时M点的坐标；若不存在，请说明理由点的坐标；若不存在，请说明理由.求角：求角：关键是找出折痕，得到关系。关键是找出折痕，得到关系。EF如图，折叠长方形的一边如图，折叠长方形的一边ADAD，点，点D D落在落在BCBC边的点边的点F F处，已知处，已知AB=8cmAB=8cm，AD=10cmAD=10c

8、m，求，求ECEC的长的长.ABCDFE810106x48-x折叠问题中构造方程的方法：折叠问题中构造方程的方法：(1)(1)用相似等到方程用相似等到方程(2)(2)把条件集中到一把条件集中到一RtRt中，中，根据勾股定理得方程根据勾股定理得方程求线段长求线段长0808湖州湖州2424（3 3）：）：已知：在矩形已知：在矩形AOBCAOBC中，中，OB=4,OA=3OB=4,OA=3分别以分别以OB,OAOB,OA所在直线所在直线为为x x轴和轴和y y轴，建立如图所示的平面直角坐标系轴，建立如图所示的平面直角坐标系F F是边是边BCBC上的一个动点（不与上的一个动点（不与B,CB,C重合），

9、过重合），过F F点的反比例函数点的反比例函数 的图象与的图象与ACAC边交于点边交于点E E请探索：是否存在这样的点请探索：是否存在这样的点F F，使得将，使得将CEFCEF沿沿EFEF对折对折后，后，C C点恰好落在点恰好落在OBOB上？上？若存在，求出点若存在，求出点F F的坐标；的坐标；若不存在，请说明理由若不存在，请说明理由NM(4,)（,3）求线段长：求线段长：折叠问题中构造方程的方法折叠问题中构造方程的方法（1）相似相似（2）勾股定理）勾股定理折叠问题折叠问题利用利用RtRt利用利用方程思想方程思想轴对称称全等性全等性对称称性性本质本质数学思想数学思想相等的边相等的边相等的角相等

10、的角对称轴的对称轴的垂直平分垂直平分性性求求角角 线线 段段 长长 溯本求源溯本求源（2009年浙江省绍兴市）年浙江省绍兴市）浙教版七年级上册浙教版七年级上册1.1认识三角形的合作学习认识三角形的合作学习溯本求源溯本求源(浙教版八年级上册浙教版八年级上册P36页第页第3题题)将一张长方形纸片按图示方法将一张长方形纸片按图示方法折叠，得到的折叠，得到的ABC是等腰三角是等腰三角形形.请说明理由请说明理由 ABC在一张长方形在一张长方形ABCDABCD纸片中，纸片中，ADAD25cm,AB25cm,AB20cm20cm现将这张纸片现将这张纸片按如图示方式折叠，按如图示方式折叠，P P，Q Q分别为

11、分别为ABAB，CDCD的中点，折痕为的中点，折痕为AEAE，求折，求折痕痕AEAE的长。的长。（浙教版九下（浙教版九下P26P26题题3 3）EF 06湖州中考湖州中考已知如图，已知如图，矩形矩形OABC的长为的长为 ，宽宽OC为为1，将，将AOC沿沿AC翻折得翻折得 APC溯本求源溯本求源ABCDEcc勾股定理的证明勾股定理的证明08湖州湖州24（3）：）：溯本求源溯本求源2 2、关键：、关键：（2 2）根据相似比得方程。）根据相似比得方程。（1 1）根据勾股定理得方程。）根据勾股定理得方程。3 3、数学方法：、数学方法：构造方程：构造方程：折叠问题折叠问题1 1、本质：轴对称（全等性，对

12、称性）、本质：轴对称（全等性，对称性）翻折翻折全等全等相等的边，相等的角相等的边，相等的角 如图，在如图，在RtABC中，中，C90，AC12，BC16，动点，动点P从点从点A出发沿出发沿AC边向点边向点C以每秒以每秒3个单位长的速度运动，动点个单位长的速度运动，动点Q从点从点C出发沿出发沿CB边向点边向点B以每秒以每秒4个单位长的速度运动个单位长的速度运动P，Q分别从点分别从点A，C同时出发，当其中一点到达端点时，同时出发，当其中一点到达端点时，另一点也随之停止运动在运动过程中，另一点也随之停止运动在运动过程中，PCQ关于直线关于直线PQ对称的图形是对称的图形是PDQ设运动时间为设运动时间为

13、t（秒）（秒）（1）设四边形）设四边形PCQD的面积为的面积为y，求，求y与与t的函数关系式及自变量的函数关系式及自变量t的取值范围；的取值范围；（2）是否存在时刻）是否存在时刻t，使得，使得PDAB？若存在，求出？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理的值；若不存在，请说明理由；第由；第25题图题图APQBDCCAB（备用图）（备用图）（3）通过观察、画图或折纸等方法，猜想是否存在时刻）通过观察、画图或折纸等方法，猜想是否存在时刻t，使得，使得PDAB？若存？若存在，请估计在，请估计t的值在括号中的哪个时间段内（的值在括号中的哪个时间段内（0t1；1t2；2t3；3t4）；）；若不存在，请简要说明理由若不存在，请简要说明理由第25题图APQBDC07奉贤 09绍兴绍兴