第六章习题6.4答案.docx

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1、6.4函数的单调性与曲线的凹凸性 习题6.4.判定函数x) = arctanx-x的单调性。解：10,只在 =。处为零，所以函数单调下降。1 .判定函数x) = x+cosx(00,只在x =处为零，所以函数单调上升。2 .求下列函数的单调性区间与极值点：(1) /(x) = 3x2 x3解：f x) = 6x-3x2 =3x(2-x),在(一cc,O)上，/ (x)0;(2,+oo)上，/(%)0,所以(8,0),(2,48)为单减区间，(0,2)为单增区间；x = 0为极小值点, x = 2为极大值点。(2) /(x) = x-ln(l + x)1 丫解:f (x) = 1-=，在(1,0

2、)上，/(x)0;所以(1,0)+ X 1 + X为单减区间，(0,+o。)为单增区间；x = 0为极小值点。2(3) /(x) - a-bx-cy ( 0,Z? 0),9_1,解：f (x)=Z?(jc-c) 3 ,在x = c处导数不存在。(一oo,c)上，f (x) 0； (c,+oo)上,/(X)0；(0,+oo)上,/(X)0;所以(一8,0)为单增区间，(0,+o。)为单减区间；x = 0为极大值点。(5) fX)= yxnx(0,0一2)上，/(X)O ;(6一2,+00)上,(0,0一2)上，/(X)O ;(6一2,+00)上,解：f (x) = -nx + -= = -j=(

3、nx+2)2,尤yjx 20;所以(0,2)为单减区间，(e-2,+8)为单增区间；x = 2为极小值点。4.求下列函数的极值点与极值：8匕-8Z ，所以法线为y-4k = -(x + l),y-4Z: = -(%-1)，八“8k)8,要通过原点即要求9 132V=1,即左=. 4V215.设y = /（x）在x = x的某邻域内具有三阶连续导数，如果/（毛）=0,且/”西卜0,试问（%，/（%）是否为拐点？为什么？/（X）在玉）左解：/（/） = lim于（刈/ =limw0,由极限的局部保号性, Xf与X-Xox-文。X-Xo右两边附近异号，所以（天,/（毛）是拐点。解:y =1一冬，(0

4、0,-问)上y 0,(一时,0)上y 0,所以 = 一时为极大值点,极大 值为一 2同。(。，上y 0,所以 =问为极小值点，极小值为2问。(2) y = xex解:y = ex - xex = (1 - %) ex , (-ooj) y 0, (1,+oc)上0,所以 x = l 为极大值点,极大值为e o 1 7(3) In2 xx1 2Inx In x lnx(2 Inx) / 1 . n /i 2 r 1八 / 2 r解：y =2= 2-，(0,1)上 y 0, (e-,+oo)上4y 0 , (一1,3)上 y 0,所以(00,1),(3,+O。)为单增区间，(1,3)为单减区间。Q

5、y - 2x + (x 0) XQ解：y=2 -。在(0,2)上 y 0,(2,+00)上 y。，所以(0,2)为单减区间，(2,+oo) 为单增区间。(3) y=4x3 - 9x2 + 6x,-10(12x2-18x + 6) y -5(41 -9x2 +6x)o 在(一oo,0)上 y 0 ,1 0,一上y 0, 2 7-a为单增区间。(2 )( S(l,+oo)上y 0 ,所以121 、,+8为单增区间。2?(6) y = y(2x-4)(-x)2( 0)解:.1y =- 3-6Z)(6Z-X)222(6/-x) +2(2x-q)(x-qx-a)(3x-2)7,7,父上y 0 , 2ja

6、,+oo)上 y 0 ,所以2a,(d+CO)为单增区间,为单减区间。3 )解：y =nxn-xex-e-x=-x-v(n0,x0)n-x)eTx o(0,n) y 0 ,(几,+oo)上 y 0 ,所以(0,)为单增区间，(七+0。)为单减区间。(8) y = x+ sin2x|( 九、解：设攵为整数，则在k7i,k7i + 上，y = x + sin2x , y =l + 2cos2x。所以k7i + ,k7i + y 0y 0,51K71 + 6兀+兀上y 0时，l + x 2+ X.设 /(x) = l + gx - J1 + %则 /=0在(0,+oo)上/(x) = - 1=xlz

7、l0,所以0,+oo)上x)单增，(0,+00)上/(工)0,2 2yjl + x 2，l + x原式得证。(2)当 x0 时，1 + xln (x +Jl + d) a/1+ %2.证明：设/(x) = l + xln(x +Jl + %2 )一函+ x2.,则/=0 ,在(0,+oo)上/ (x) = ln(x +Jl + f)/ (x) = ln(x +Jl + f)1 x1+ 1 +YXx + Jl +a/1 +nx + J + x20，所以0,+00)上则 /(o) = o ,在所以0,引上/(x)单增，|o，勺上设 x) = tanx-x-%3.则0) = 0单增，(0,+oo)/

8、(x)0,原式得证。冗(3) 当0x2x 2证明： 设 / (x) = sin x+tan x - 2x ，/(x) = sec2x_i-x2 =tan2x-%2 0,所以 0; 上%)单增,0,上/(x)0, LV 2 7原式得证。(5)当x4时，T %2.证明：设%) = 2则4) = 0,在(4,y)上/a)= 2ln22%。设 g(九) = 2ln2 2尤, 则 g(4)= 161n280, 在 (4,+oo) 上g (x) = 2A ln2 2 2 161n2 2-20 0 所以4, +oo)上g(x)单增,4, +oo)上g(x) 0， 即在(4,+x)上/(力0,在4,”)上%)

9、单增,(4,+oo)上力0进而原式得证。(6)当0% 0。x V 2 Jx-x- cos x单增，故也三咽上.进而原式得证。x2 x/_、“ 八一1 arctan x(7)当x0时，ln(l + x).l )1 + x证明：设 /(x) = (l + x)ln(l + x)-arctanx ,则 /(0)= 0 ,在(0,+oo)上,1x2f (x) = ln(l + x) + l- = ln(l + x) +0,所以0,4w)上/(x)单增，(0,+oc)1 I X1 + JC/(x)0,即(l + x)ln(l + x)arctanx.进而原式得证。(8) 当evavbc/时，In?Z?

10、In?a证明：设小)=11?%与.，则在(6合)上/=网j ejc e设g(x) = 3,则 g (x) = ：学,所以上g (x)0, /(x)单增，所以“0 万人石.进而原jc eee式得证。(9) 当x0时，x ln(l + A：) X- %2.证明:设x) = xln(l + x),则0) = 0,在(0,+oo)上f(x) = l - = 0, 1 + X 1 + JC所以0,+o。)上外力单增,(0,+oo)上/(%)0,即xln(l + x),原式得证。设 g(%) = ln(l + %) -%+g%2 / 1 x2 ( X) =1 + X =FXV 7 1 + x1 + x即l

11、n(l + x) x-x2.原式得证。， 则g(O)= O在(0,+oo)上0,所以0,+oo)上单增，(0,+oo)上 g(x)0,e工 + e xr2(10)当 xwO 时，1 + .22e工 + e xr2(10)当 xwO 时，1 + .22证明：设尤)=-x2X Y1一5,则/(0) = 0, /(x)= _X。X _ -xX . -x设g(x) = =x,则g(o) = o, g(x) =10,只在x = 0处为零，所以g(x)在整个实轴上单增,故(一8,0)上/ (x) = g(x)0o所以xwO时，/(x)0,即所以xwO时，/(x)0,即C：i+E(ji(11)当xw 0,一

12、时，2xcosx +/ = cosx + sec2x-2cosx +COSX7T-20,所以 0,一 2jr 上x)单增，0,1上1 a(12)当 x0 时，sinx x x3.6证明：TS/(x) = sinx-x +x3.,则 /=0,在(0,+oo)上 / (%) = cosx-l + L。设 g(x) = COSX 1+ 一工262，则 g(0)= 0 ,在(0,+oo)上 g (x) = -sinx+x0 ,所以0, +cc)上 g(x)单增，(0,+oc)上 f (%) = g(x)0 ,所以0,y)上 /(%)单增,/(x)0,进而原式得证。7 .讨论方程lnx = 6(40)有

13、几个实根。解: 设 x) = lnx0,单增,在,+oo上/(x)0 ，/(x)单减。所以/ 一= n-1为最大值。又有 a/(0+) = 00,/(48)= 00,所以当时没有实根，当时有一个实根，当。0)解：y解：yi 2=1 - -7,y，所以函数是凹的。(4) = xarctanxyi X22解：y = arctanx + ,y1 =7 + -y 入所以函数是凹的。i+x i+x (i+x2y (i+x2)9.求下列函数图形的拐点及凹或凸的区间:(1) y =- 5x2 +3x + 5解： =3f10x + 3,y=6x 10,所以解： =3f10x + 3,y=6x 10,所以(5、

14、00 I 3 J(5为凸区间，一,+8是凹区间,(3 J5型、5列为拐点。(2 解：比炉=(%2)e：所以(-oo,2)为凸区间，(2,一)是凹区间，2, 为 e 7拐点。(3) y = (x + l)4 +eA解:丁 =4(x + iy+/,炉=12(% + 1+，,所以(fo,4w)为凹区间没有拐点。2xx2 +1%2+iV，所以(-OO,1)为凸区间，(1,1)为凹区间，(l,+oo)为凸区间，(I/n2),(l/n2)为拐点。ii _9 v解：y = /tan工，y = rctanx1 + x(1 + x2(n，所以一巩一为凹区间,I 2)1 、一,+8为凸区间, 2)(6)1、 ar

15、ctan2为拐点。y = d( nx7)解：y =4d(121nx4),y=144fnx,所以(0/)为凸区间，(1,+8)为凹区间，(1,7)为拐点。(7) y = 3x2 - %3Xx2-l%2 +1 :x 1)Xx2-l%2 +1 :x 1)解：y =6x 3%2,y=6 6x,所以(8,1)为凹区间，(1,+8)为凸区间，(1,2)为拐点。+ 3)x2-lx2-l一,所以(8,1)为凸区间，(一1,0)为凹区间，(0,1)为凸区间，(l,+o。)为凹区间，(0,0)为拐点。(9) y = Vl + x2. JC ”解：y = I=y/i + X. JC ”解：y = I=y/i + X

16、内一舟1 + x2+ x2二,所以(t。”)为凹区间，没有拐点。 210.利用函数图形的凹凸性，证明下列不等式:n(x0, y0/0 y,1)证明：设%) = %，则 /(X)= ZI7(X)= (九一 I)1-?,所以力在(0,+00)上为凹函数，原式得证。ex + 虫(2)e 2 ()证明：设八%) = ,则/(x) = J() = ,所以力在(YO,)上为凹函数,原式得证。(3) xlnx+ylny (x+y)ln(x0, y0,xw y)证明：设%) = ilnx,则，() = l + ln%J(x) = L 所以工)在(O,4w)上为凹函数,JC原式得证。Y 1.试证明：曲线丁二二一

17、有三个拐点位于同一直线上。 r+1证明：y =l + 2一：2 (J+fr 2(x+1)(x2-4x + 1)x2 +1)3，所以(8,1)为凸区间，(1,2 6)为凹区间，为凹区间，(2 J5,2 + 6)为为凸区间，(2 + G,+oo)为凹区间，有三个拐点(-1, -1)，2-6(-1, -1)，2-613、 8-8 + 473 )可以验证它们位于同一条直线上。11 .问。，。为何值时，点(1,3)为曲线丁二以3+2的拐点？证明：y =3以2+2区,y” =6+ 2。,若(1,3)为拐点，则6a + 2b = 0, 解得4a + b = 3，3a =, 2b， 2反之易验证确实点(1,3)为曲线y =加+小 的拐点。12 .试决定曲线y = ax3 +2 +M + d中的a/,c,d,使得光=一2处曲线有水平切线,(1,10)为拐点，且点(2,44)在曲线上。解:=3。r + 2bx + c, y12 一 4。+ c = 0,a + Z? + c + d 10,=6ax + 2b,所以 cosx + 2 0 ,cosx/(%)0,原式得证。兀(4)当0cxx + %3.