2023年经济数学基础线性代数之行列式.doc

《2023年经济数学基础线性代数之行列式.doc》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2023年经济数学基础线性代数之行列式.doc（17页珍藏版）》请在淘文阁 - 分享文档赚钱的网站上搜索。

1、第一单元 行列式的定义一、学习目的通过本节课学习，理解行列式的递归定义，掌握代数余子式的计算，知道任何一个行列式就是代表一个数值，是可以通过特定的运算得到其结果的二、内容讲解行列式行列式的概念什么叫做行列式呢？譬如，有4个数排列成一个行方块，在左右两边加竖线。即称为二阶行列式；有几个概念要清楚，即上式中，横向称行，共有两行；竖向称列，共有两列；一般用表达第行第列的元素，如上例中的元素，再看一个算式称为三阶行列式，其中第三行为5，-7，0；第二列为1，2，-7；元素，又如，是一个四阶行列式而的代数余子式为代数余子式就是在余子式前适当加正负号，正负号的规律是-1的指数是该元素的行数加列数问题思考：

2、元素的代数余子式是如何定义的？代数余子式由符号因子与元素的余子式构成，即三、例题讲解例题1：计算三阶行列式分析：按照行列式的递归定义，将行列式的第一行展开，使它成为几个二阶行列式之和， 二阶行列式可以运用对角相乘法，计算出结果解：四、课堂练习计算行列式 运用阶行列式的定义选择答案将行列式中的字母作为数字对待，运用递归定义计算注旨在该行列式的第一行中，有两个零元素，因此展开式中相应的两项不用写出来了=+五、课后作业1.求下列行列式的第二行第三列元素的代数余子式（1） （2）2计算下列行列式（1） （2） 3设（1）由定义计算；（2）计算，即按第二行展开；（3）计算，即按第三行展开；（4）按第四行

3、展开1（1） （2） 2（1）20（2）24 3（1）1 （2）1 （3）1 （4）1第二单元 行列式的性质一、学习目的通过本节课的学习，掌握行列式的性质，并会运用这些性质计算行列式的值二、内容讲解行列式的性质用定义计算行列式的值有时是比较麻烦的，运用行列式的性质可以使计算变的比较容易了行列式的性质有七条，下面讲一讲几条常用的性质在讲这些性质前，先给出一个概念：把行列式D中的行与列按原顺序互换以后得到的行列式，称为D的转置行列式，记为如,1行列式的行、列互换，其值不变如这条性质说明行列式中，行与列的地位是同样的2行列式的两行互换，其值变号如3若行列式的某一行有公因子，则可提出如注意：一个行列式

4、与一个数相乘，等于该数与行列式的某行（列）的元素相乘+24行列式对行的倍加运算，其值不变如倍加运算就是把一行的常数倍加到另一行上注意：符号“+2”放在等号上面，表达行变换，放在等号下面表达列变换问题1：将n阶行列式的最后一行轮换到第一行， 这两个行列式的值有什么关系？答案设n阶行列式，若将的最后一行轮换到第一行，得另一个n阶行列式，那么这两个行列式的值的关系为： =问题2：假如行列式有两行或两行以上的行都有公因子，那么按性质3应如何提取？ 答案按顺序将公因子提出.三、例题讲解例1计算行列式.分析：运用性质6，行列式可以按任一行（列）展开本题按第一行逐步展开，计算出结果 解：=我们将行列式中由左

5、上角至右下角的对角线， 称为主对角线如例1中，行列式在主对角线以上的元素全为零，则称为下三角行列式 由例1的计算过程，可得这样规律：下三角行列式就等于主对角线元素的积 同理，主对角线以下元素全为零的行列式，则称为上三角行列式，且上三角行列式也等于主对角线元素之积此后，上、下三角行列式统称为三角行列式例2 计算行列式分析：原行列式中第三行的元素是第一行的2倍，因此，运用行列式的倍加运算（性质5），使第三行的元素都变为0，得到行列式的值 解： = 0例3 计算行列式分析：运用行列式的倍加运算（性质5），一方面将某行（列）的元素尽也许化为0，再运用行列式可以按任一行（列）展开的性质（性质6），逐步将

6、原行列式化为二阶行列式，计算出结果 解： +=+=通过此例可知，行列式两行成比例，则行列式为零三、课堂练习练习1 若，求行列式运用行列式的性质3，将第一行的公因子3、第二行的公因子（-1）、第三行的公因子2提出运用行列式的性质3和性质2，将所要计算的行列式化为已知的行列式，再求其值练习2 计算行列式由性质4，若行列式中某列的元素均为两项之和，则可将其拆写成两个行列式之和在着手具体计算前，先观测一下此行列式有否特点？有，其第三列的数字较大，但又都分别接近100、200、300和400，故将第三列的元素分别写成两项之和， 再运用行列式的性质4将其写成两个行列式之和注意，将第三列的元素分别写成两项之

7、和时，还要考虑到结论“行列式中两列元素相同（或成比例），则该行列式的值为0”的运用五、课后作业1计算下列行列式 （1） （2） （3） () （4）2证明 （1） （2）1（1）0 （2） -2 （3） （4）02. （1）提醒：运用性质5，将第一行化成零行 （2）提醒：运用性质5，将第三行的元素化成“0 0 1”，再按第三行展开，并推出等号右边结果第三单元 行列式的计算一、学习目的通过本节课的学习，掌握行列式的计算方法二、内容讲解行列式的计算行列式=按任何一行（列）展开下面用品体例子说明=一个具体的行列式就是代表具体的一个数再看一个三阶行列式可以按任何一行（列）展开按第一行展开=8按第三列展

8、开=8注意：1行列式计算一般按零元素较多的行（列）展开2代数余子式的正负号是有规律的，一正一负相间隔问题：试证 答案左边=右边三、例题讲解例 计算行列式分析：由性质6可知，行列式可以按任何一行（列）展开来求值由于第二、三行，第四列的零元素都较多，所以可选择其一展开，再进一步将其展成二阶行列式，并计算结果 解：按第三行展开= =四、课堂练习练习1 计算行列式根据定义，按第一行展开，使其成为两个三阶行列式之和由于行列式第一行有较多的零元素，所以可采用“降阶法”，即先按第一行展开，使其成为两个三阶行列式之和，然后再计算两个三阶行列式降阶，最后求出结果 =练习2 计算行列式为了避免分数运算，先作变换“

9、第一行加上第二行的2倍，即+ 2；第三行加上第二行的-2倍，即+(-2)；第四行加上第二行的-2倍，即+(-2)”该行列式没有明显特点，采用哪种方法计算都可以，这里用“化三角行列式”的方法进行计算注意尽量避免分数运算+2+(-2)+(-2) 五、课后作业1计算下列行列式：（1） （2） （3） （4）2计算阶行列式 1（1）48 （2）4 （3）-3 （4）-3402. 第四单元 克拉默法则一、学习目的克拉默法则是行列式在解线性方程组中的一个应用，通过本节课的学习，要知道克拉默法则求线性方程组解的条件，了解克拉默法则的结论二、内容讲解克拉默法则设个未知数的线性方程组为 （1）记行列式称为方程组

10、（1）的系数行列式将中第列的元素分别换成常数而得到的行列式记作克拉默法则 假如线性方程组（1）的系数行列式，那么它有惟一解 （2）证将（2）式分别代入方程组（1）的第个方程的左端的中，有（3）将（3）中的按第列展开， 再注意到中第列元素的代数余子式和中第列元素的代数余子式是相同的， 因此有 （4）把（4）代入（3），有+把小括弧打开重新组合得因由性质6和性质7故上式等于，即下面再证明方程组（1）的解是惟一的设为方程组（1）的任意一组解于是 （5）用，分别乘以（5）式的第一、第二、第n个等式，再把n个等式两边相加，得根据性质6和性质7，上式即为由于，所以 克拉默法则有以下两个推论：推论1 假如齐

11、次线性方程组的系数行列式， 那么它只有零解推论2 齐次线性方程组有非零解的必要条件是系数行列式问题：对任一线性方程组都可用克拉默法则求解吗？答案 不对当线性方程组中的未知量个数与方程个数不同样；或未知量个数与方程个数相同，但其系数行列式等于零时，不能使用克拉默法则三、例题讲解例 运用克拉默法则解下列方程组分析：这是一个两个变量、两个方程的方程组，它满足了克拉默法则一个条件克拉默法则的另一个条件是规定系数行列式的值不等于零因此，先求出方程组的系数行列式的值，若它的值不等于零，说明该方程组有惟一解，然后求常数项替代后的行列式的值，再用克拉默法则给出的公式求出解 解：由于系数行列式且，所以，四、课堂练习取什么值时，下列方程组有唯一解？有唯一解时求出解对行列式作变换“第二行加上第一行的1倍，即+；第三行加上第一行的-1倍，即+(-1)”这是三个未知量三个方程的线性方程组，由克拉默法则知，当系数行列式D 0时，方程组有唯一解所以，先求系数行列式的值 五、课后作业用克莱姆法则解下列方程组1. 21，2. ，