2023年数列极限数学归纳法.doc

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1、第二章数列、极限、数学归纳法（2）等比数列【例题精选】:例1：“b 2 = ac”是a ，b ，c成等比数列A充足非必要条件B必要非充足条件C充足且必要条件D既不充足又不必要条件分析：由a ，b ，c成等比数列；若a ，b ，c中有等于零者，a ，b ，c不成等比数列，故选（B）阐明：只有当a ，b ，c均不为零时， a ，b ，c成等比数列。例2：已知数列前n次和，那么下述结论对的是A为任意实数时，是等比数列 B= 1时，是等比数列C= 0时，是等比数列D不也许是等比数列分析：给出 ，可由求出通项来进行判断： 当当是等比数列，故选（B）。小结：解好本题要精确掌握数列前n项和Sn与通项an关系

2、式例3：在等比数列中，已知解：设等比数列公比为，依题意：例4：（1）在等比数列6，1458，13122，中，1458是第n项， 13122是第2n4项，求公比q。 （2）已知等比数列前10项和是10，前20项和是30，求前30项和。解：（1）依题意由（2）等比数列记为 例5：试求一种正数，使它小数某些，整数某些及这个正数自身依次成等比数列。 解：设整数某些为n，小数某些为t，则所求正数为n+t 例6：若有四个数，前三个数成等差数列，后三个数成等比数列，并且第一种数与第四个数和为37，第二个数与第三个数和是36，求这四个数。分析：前三个数成等差数列，可没有ad，a，a+d，那么第四个数用等比中项

3、得；若光考虑后三个数成等比数列，可设后三个数依次为，a，aq，那么第一种数为a，下面用第一种设法给出解答过程，第二种解题过程读者自己完毕。 解：设前三个数为ad，a ，ad，则第四个数为，依题意得 由（2）得d=362a 代入（1）得 4a2145a362=0 解得 a=16或a= d=4或d= - 所求四个数为12，16，20，25或 例7：已知f(x)是一次函数，f(10)=21 ，且f(2)，f(7)，f(22)成等比数列，求f(1)f(2)f(3)f(n)后来式子表达式 解：设f(x)=kxb(k0) 由已知 将（2）化简整顿得 因此 由（1）（3）解得f(x)=2x + 1 小结：数

4、列是一类以自然数集或它有限子集为自变量函数，运用函数观点结识数列十分有益。例8：设一种等比数列前项和Sn，前n项积为Pn，前n项倒数和为Tn,求证： 证明：设等比数列首项为a1，公比为q 当时， 因此故 当时， 因此小结：为了写出表达式，由等比数列求和公式，必要对q与否为1作出分类讨论。例9：在等比数列值。分析：若通过通项公式求，必要先拟定首项和公式，这就需要二个条件。解：设等比数列公比为，则解上方程组必要降次、消元。若孤立看（1）得，若联系（2），则有，故，从而可得 (3)（2）（3）得即 至此先求，再求可以，但从（3）可有则可免去求环节。于是当，当时，例10：若是各项都为正数等比数列，并且

5、，求值。分析：根据方程思想，这里为拟定通项公式应选拟定首项和公比q，但只给出一种条件，使，q都被确立不也许，由于由已知可得：即，故有（1）而又由，于是由（1）得，从而得到。小结：设而不求，整体代入，即设元，列式后不去直接求所设各未知数值，而在已知式和求值式之间寻找联系，从中求得所需。例11：在一段时期内，若某工厂产值月平均增长率为p，那么该厂产值年平均增长率是多少？若该厂产值年平均增长率为q，那么其月平均增长率是多少？分析：由某厂产值月平均增长率为p，那么该厂连续二年中24个月产值为，2，3，12，13，24。于是在这段时期内，后一年总产值，前一年总产值，于是其年平均增长率。若该厂产值年平均增

6、长率是q，设这段时期内，月平均增长率为r，由本题上述推理有于是可解得。小结：上述第二问运用了方程思想和第一问推导成果。例12：某公司在年度之初借款A元，从该年度末开始，每年度末偿还一定金额，恰在n年间还清，年利率为r，试问每次须支付金额是多少？解法1：设每次偿还a元，则n年度末本利共计为：另一方面年度之初借款A元，到第n年末，本利和是元。解法2：设每次偿还a元，第K年末偿还a元之后债务为元，则：【专项训练】：一、选取题：1、等比数列中，已知，则n为A3B4C5D62、等比数列中，则 等于A3BC D43、等差数列首项，公差，假如成等比数列，那么等于A3B2C2D4、设等于ABCD5、设由正数构成等比数列，公比q=2，且，则A210B220C216D215二、填空题：6、等比数列满足，则。7、已知是等比数列，且，那么。8、在等比数列中，则，。9、等比数列公比为2，前4项之和等于10，则前8项之和等于。三、解答题：10、一种等比数列中，求这个数列通项公式。11、数列满足，该数列满足，求证是等比数列，并求前n项之和。【答 案】：一、选取题：1、B2、D3、B4、B5、B二、填空题：6、或27、58、2，109、170三、解答题：10、两式相除得，代入，可求得或8，11、由两边同减得： 即为等比数列