2023年微积分初步形成性考核册答案.doc

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1、微积分初步形成性考核册作业（一）解答函数，极限和连续一、填空题（每小题2分，共20分）1函数的定义域是解：， 所以函数的定义域是2函数的定义域是 解：， 所以函数的定义域是3函数的定义域是解： ， 所以函数的定义域是4函数，则 解： 所以5函数，则 解：6函数，则 解：，7函数的间断点是 解：由于当，即时函数无意义 所以函数的间断点是8解：9若，则解： 由于 所以10若，则解：由于 所以二、单项选择题（每小题2分，共24分）1设函数，则该函数是（）A奇函数 B偶函数C非奇非偶函数 D既奇又偶函数解：由于 所以函数是偶函数。故应选B2设函数，则该函数是（）A奇函数 B偶函数C非奇非偶函数 D既奇

2、又偶函数解：由于 所以函数是奇函数。故应选A3函数的图形是关于（）对称A B轴C轴 D坐标原点解：由于 所以函数是奇函数 从而函数的图形是关于坐标原点对称的 因此应选D4下列函数中为奇函数是（）A B C D解：应选C5函数的定义域为（）A B C且 D且解：，所以应选D 6函数的定义域是（）A BC D解：，函数的定义域是，故应选D 7设，则（ ）A B C D 解： ，故应选C8下列各函数对中，（）中的两个函数相等 A， B， C， D， 解：两个函数相等必须满足定义域相同函数表达式相同 所以应选D9当时，下列变量中为无穷小量的是（ ）.A B C D解：由于，所以当时，为无穷小量 所以应

3、选C10当（ ）时，函数，在处连续.A0 B1 C D 解：由于， 若函数，在处连续 则，因此。故应选B11当（ ）时，函数在处连续.A0 B1 C D 解：，所以应选D12函数的间断点是（ ）A B C D无间断点解：当时分母为零，因此是间断点，故应选A三、解答题（每小题7分，共56分）计算极限 解：2计算极限解：3 解： 4计算极限 解：5计算极限解：6计算极限 解： 7计算极限解： 8计算极限 解： 微积分初步形成性考核册作业（二）解答导数、微分及应用一、填空题（每小题2分，共20分）1曲线在点的斜率是 解：，斜率2曲线在点的切线方程是 解： ，斜率 所以曲线在点的切线方程是：3曲线在点

4、处的切线方程是解：，斜率 所以曲线在点处的切线方程是： 即：4 解：5若y = x (x 1)(x 2)(x 3)，则(0) = 解：6已知，则=解：，7已知，则=解：，8若，则 解：， 9函数的单调增长区间是 解：， 所以函数的单调增长区间是10函数在区间内单调增长，则a应满足 解：，而，所以二、单项选择题（每小题2分，共24分）1函数在区间是（ D ）A单调增长 B单调减少C先增后减 D先减后增2满足方程的点一定是函数的（ C ）.A极值点B最值点 C驻点D 间断点3若，则=（C ） A. 2 B. 1 C. -1 D. -24设，则（B ） A B C D5设是可微函数，则（ D ） A

5、 B C D 6曲线在处切线的斜率是（ C ） A B C D 7若，则（ C ） A B C D 8若，其中是常数，则（ C ） A B C D9下列结论中（ A ）不对的 A在处连续，则一定在处可微. B在处不连续，则一定在处不可导. C可导函数的极值点一定发生在其驻点上. D若在a，b内恒有，则在a，b内函数是单调下降的.10若函数f (x)在点x0处可导，则( B )是错误的 A函数f (x)在点x0处有定义 B，但 C函数f (x)在点x0处连续 D函数f (x)在点x0处可微 11下列函数在指定区间上单调增长的是（ B ） Asinx Be x Cx 2 D3 - x12.下列结论

6、对的的有（ A ） Ax0是f (x)的极值点，且(x0)存在，则必有(x0) = 0 Bx0是f (x)的极值点，则x0必是f (x)的驻点 C若(x0) = 0，则x0必是f (x)的极值点 D使不存在的点x0，一定是f (x)的极值点三、解答题（每小题7分，共56分）设，求 解：2设，求.解：3设，求.解：4设，求. 解：5设是由方程拟定的隐函数，求.解：两边微分： 6设是由方程拟定的隐函数，求. 解：两边对求导，得： ， 7设是由方程拟定的隐函数，求.解：两边微分，得： ，8设，求解：两边对求导，得： 微积分初步形成性考核册作业（三）解答不定积分，极值应用问题一、填空题（每小题2分，共

7、20分）1若的一个原函数为，则。2若的一个原函数为，则。3若，则4若，则= 5若，则6若，则789若，则10若，则二、单项选择题（每小题2分，共16分）1下列等式成立的是（）A BC D解：应选A2若，则（ ）. A. B. C. D. 解：两边同时求导，得： 所以应选A3若，则（ ）. A. B. C. D. 解：应选A4以下计算对的的是（ ）A B C D 解：应选A5（ ）A. B. C. D. 解： 所以应选A6=（ ） A B C D 解：应选C7假如等式，则（ ）A. B. C. D. 解：两边求导，得： 所以，故应选B三、计算题（每小题7分，共35分）1解： 2 解： 3解：4解

8、： 5解：四、极值应用题（每小题12分，共24分）1 设矩形的周长为120厘米，以矩形的一边为轴旋转一周得一圆柱体。试求矩形的边长为多少时，才干使圆柱体的体积最大。 解：设矩形的一边长为厘米，则另一边长为厘米，以厘米的边为轴旋转一周得一圆柱体，则体积为：，即：，令，得：（不合题意，舍去），这时由于根据实际问题，有最大体积，故当矩形的一边长为厘米、另一边长为厘米时，才干使圆柱体的体积最大。2 欲用围墙围成面积为216平方米的一成矩形的土地，并在正中用一堵墙将其隔成两块，问这块土地的长和宽选取多大尺寸，才干使所用建筑材料最省？ 解：设矩形的长为米，则矩形的宽为米，从而所用建筑材料为：，即：，令得：

9、（取正值），这时由于根据实际问题，的确有最小值，故当矩形的长为米，宽为米时，才干使所用建筑材料最省五、证明题（本题5分）函数在（是单调增长的证明：由于，当（时， 所以函数在（是单调增长的微积分初步形成性考核册作业（四）解答定积分及应用、微分方程一、填空题（每小题2分，共20分）1 解： 这里用到了性质： 若是奇函数，则 若是偶函数，则2解： 3已知曲线在任意点处切线的斜率为，且曲线过，则该曲线的方程是 。解：由得所求的曲线方程由拟定 由于曲线过，所以，解得： 因此所求的曲线方程为4若 解：5由定积分的几何意义知，= 。解：由定积分的几何意义知，就等于圆在第象限的面积，即 圆面积的，因此6 .解

10、：07= 解： 8微分方程的特解为 . 解：由得， 两边同时积分，得 由于，所以，所以 从而，因此微分方程的特解为9微分方程的通解为 .解：， ，即 所以微分方程的通解为10微分方程的阶数为 解：微分方程的阶数为阶二、单项选择题（每小题2分，共20分）1在切线斜率为2x的积分曲线族中，通过点（1, 4）的曲线为（ A ）Ay = x2 + 3 By = x2 + 4 C D 2若= 2，则k =（A ） A1 B-1 C0 D 3下列定积分中积分值为0的是（ A ） A B C D 4设是连续的奇函数，则定积分（D ）AB CD 05（ D ）A0 B C D6下列无穷积分收敛的是（B ）A BC D 7下列无穷积分收敛的是（B ）A BC D8下列微分方程中，（D ）是线性微分方程 A B C D9微分方程的通解为（ C ） A B C D10下列微分方程中为可分离变量方程的是（B）A. ； B. ； C. ； D. 三、计算题（每小题7分，共56分）1解：2 解： 3解：4解： 5解： 6求微分方程满足初始条件的特解解：微分方程的通解为 这里 ， 代入得微分方程的通解为 将初始条件代入上式，解得 所以微分方程的特解为 7求微分方程的通解。解：微分方程的通解为 这里， 代入得微分方程的通解为四、证明题（本题4分）证明等式。证明： 考虑积分，令，则，从而 所以