弹性力学-第五章弹性力学问题的建立和一般原理ppt课件.ppt

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1、资金是运动的价值，资金的价值是随时间变化而变化的，是时间的函数，随时间的推移而增值，其增值的这部分资金就是原有资金的时间价值弹性力学问题的建立和一般原理弹性力学问题的建立和一般原理第五章资金是运动的价值，资金的价值是随时间变化而变化的，是时间的函数，随时间的推移而增值，其增值的这部分资金就是原有资金的时间价值51 弹性力学问题的基本方程及其边值问题弹性力学问题的基本方程及其边值问题平衡微分方程平衡微分方程平衡微分方程平衡微分方程几何方程几何方程几何方程几何方程资金是运动的价值，资金的价值是随时间变化而变化的，是时间的函数，随时间的推移而增值，其增值的这部分资金就是原有资金的时间价值物理物理物理

2、物理方程（方程（方程（方程（广义虎克定律广义虎克定律广义虎克定律广义虎克定律）资金是运动的价值，资金的价值是随时间变化而变化的，是时间的函数，随时间的推移而增值，其增值的这部分资金就是原有资金的时间价值应力边界条件应力边界条件位移边界条件位移边界条件边界条件边界条件边界条件边界条件混合边界条件混合边界条件在S上在Su上在部分S上和部分Su上边值条件边值条件边值条件边值条件初始条件初始条件初始条件初始条件资金是运动的价值，资金的价值是随时间变化而变化的，是时间的函数，随时间的推移而增值，其增值的这部分资金就是原有资金的时间价值弹性力学问题的解法弹性力学问题的解法弹性力学问题的解法弹性力学问题的解

3、法1.位移解法位移解法以位移分量为基以位移分量为基本未知量本未知量用位移表示应用位移表示应力和应变力和应变求出位移求出位移分量分量求出应变求出应变分量分量求出应力求出应力分量分量2.应力解法应力解法几何几何几何几何方程方程方程方程物理物理物理物理方程方程方程方程以应力分量为基以应力分量为基本未知量本未知量消去位移和应消去位移和应变分量变分量求出应力求出应力分量分量求出应变求出应变分量分量求出位移求出位移分量分量物理物理物理物理方程方程方程方程几何几何几何几何方程方程方程方程变形协调变形协调条件条件资金是运动的价值，资金的价值是随时间变化而变化的，是时间的函数，随时间的推移而增值，其增值的这部分

4、资金就是原有资金的时间价值52 按位移求解弹性力学问题按位移求解弹性力学问题基本方程基本方程基本方程基本方程资金是运动的价值，资金的价值是随时间变化而变化的，是时间的函数，随时间的推移而增值，其增值的这部分资金就是原有资金的时间价值Laplace算子算子 位移分量表示位移分量表示位移分量表示位移分量表示的平衡微分方程的平衡微分方程的平衡微分方程的平衡微分方程Lame方程方程资金是运动的价值，资金的价值是随时间变化而变化的，是时间的函数，随时间的推移而增值，其增值的这部分资金就是原有资金的时间价值体力为常量：体力为常量：体力为常量：体力为常量：将上面三式分别对x,y,z求偏导数，然后相加得资金是

5、运动的价值，资金的价值是随时间变化而变化的，是时间的函数，随时间的推移而增值，其增值的这部分资金就是原有资金的时间价值将上面三式分别作 ，并注意到资金是运动的价值，资金的价值是随时间变化而变化的，是时间的函数，随时间的推移而增值，其增值的这部分资金就是原有资金的时间价值边界条件：边界条件：边界条件：边界条件：应力边界条件应力边界条件位移边界条件位移边界条件资金是运动的价值，资金的价值是随时间变化而变化的，是时间的函数，随时间的推移而增值，其增值的这部分资金就是原有资金的时间价值解题思路：解题思路：解题思路：解题思路：几何几何方程方程物理物理方程方程优点：优点：优点：优点：缺点：缺点：缺点：缺点

6、：适用范围广，在数值解法中得到广泛应用（有限元）。适用范围广，在数值解法中得到广泛应用（有限元）。适用范围广，在数值解法中得到广泛应用（有限元）。适用范围广，在数值解法中得到广泛应用（有限元）。求解三个联立的偏微分方程组，求解析解困难。求解三个联立的偏微分方程组，求解析解困难。求解三个联立的偏微分方程组，求解析解困难。求解三个联立的偏微分方程组，求解析解困难。资金是运动的价值，资金的价值是随时间变化而变化的，是时间的函数，随时间的推移而增值，其增值的这部分资金就是原有资金的时间价值 53 按应力求解弹性力学问题按应力求解弹性力学问题基本方程基本方程基本方程基本方程相容方程（应变协调方程）：相容

7、方程（应变协调方程）：相容方程（应变协调方程）：相容方程（应变协调方程）：资金是运动的价值，资金的价值是随时间变化而变化的，是时间的函数，随时间的推移而增值，其增值的这部分资金就是原有资金的时间价值 用应力表示的相容方程：用应力表示的相容方程：用应力表示的相容方程：用应力表示的相容方程：贝尔特拉米米歇尔方程资金是运动的价值，资金的价值是随时间变化而变化的，是时间的函数，随时间的推移而增值，其增值的这部分资金就是原有资金的时间价值体力为常量：体力为常量：体力为常量：体力为常量：应力张量第一不变应力张量第一不变应力张量第一不变应力张量第一不变量为调和函数。量为调和函数。量为调和函数。量为调和函数。

8、所有应力、应变分所有应力、应变分量均为双调和函数。量均为双调和函数。将前面三式相加对每一式进行 运算由本构关系可得资金是运动的价值，资金的价值是随时间变化而变化的，是时间的函数，随时间的推移而增值，其增值的这部分资金就是原有资金的时间价值解题思路：解题思路：解题思路：解题思路：几何几何方程方程物理物理方程方程优点：优点：优点：优点：缺点：缺点：缺点：缺点：（1 1）当应力分量为坐标的线性函数时，相容方程自）当应力分量为坐标的线性函数时，相容方程自）当应力分量为坐标的线性函数时，相容方程自）当应力分量为坐标的线性函数时，相容方程自然满足，可得到精确解答。然满足，可得到精确解答。然满足，可得到精确

9、解答。然满足，可得到精确解答。（2 2）边界条件简单，容易求出解析解，且应力表达）边界条件简单，容易求出解析解，且应力表达）边界条件简单，容易求出解析解，且应力表达）边界条件简单，容易求出解析解，且应力表达式较简单。式较简单。式较简单。式较简单。不能求解位移边值问题。不能求解位移边值问题。不能求解位移边值问题。不能求解位移边值问题。位移单值条件：位移单值条件：vv 对于多连体，物体中任意一点的位移必对于多连体，物体中任意一点的位移必对于多连体，物体中任意一点的位移必对于多连体，物体中任意一点的位移必须是单值的。须是单值的。须是单值的。须是单值的。资金是运动的价值，资金的价值是随时间变化而变化的

10、，是时间的函数，随时间的推移而增值，其增值的这部分资金就是原有资金的时间价值 54 弹性力学的一般原理弹性力学的一般原理（一）解的叠加原理 小变形线弹性条件下，作用于物体的若干组载荷产生的总效应（应力和变形等），等于每组载荷单独作用效应的总和。本节介绍三个具有普遍意义的原理，分别是：叠加原理、解的唯一性定理和圣维南原理。必须要说明的是：叠加原理成立的条件除了小变形线弹性条件外，还要求一种载荷的作用不会引起另一种载荷的作用发生性质的改变。否则此原理不成立。资金是运动的价值，资金的价值是随时间变化而变化的，是时间的函数，随时间的推移而增值，其增值的这部分资金就是原有资金的时间价值（二）解的唯一性原

11、理 在小变形线弹性情况下，弹性体受已知体力作用。在物体的边界上，或者面力已知；或者位移已知；或者一部分面力已知，另一部分位移已知。则弹性体平衡时，体内各点的应力和应变是唯一的，对于后两种情况，位移也是唯一的。反证法：假设在同一体力 作用下，并在同一边界条件下有两种不同的解答，即资金是运动的价值，资金的价值是随时间变化而变化的，是时间的函数，随时间的推移而增值，其增值的这部分资金就是原有资金的时间价值第一种解答第二种解答和 现在如果能够说明了这两组解答相等，我们就得到了唯一性的证明。为此做这两组解答的差，而得到一组新的变量。资金是运动的价值，资金的价值是随时间变化而变化的，是时间的函数，随时间的

12、推移而增值，其增值的这部分资金就是原有资金的时间价值 由于带 的量和带 的量满足完全相同的方程，例如对于应力分量，满足平衡方程资金是运动的价值，资金的价值是随时间变化而变化的，是时间的函数，随时间的推移而增值，其增值的这部分资金就是原有资金的时间价值和将以上方程对应相减，得到不带 的应力分量所应满足的方程：资金是运动的价值，资金的价值是随时间变化而变化的，是时间的函数，随时间的推移而增值，其增值的这部分资金就是原有资金的时间价值 又由于两组量还完全满足相同的边界条件，故按同样的方法，可得到不带 的量所满足的边界条件，分下列三种情况：（1）对于应力边界条件在S上（2）对于位移边界条件在S上资金是

13、运动的价值，资金的价值是随时间变化而变化的，是时间的函数，随时间的推移而增值，其增值的这部分资金就是原有资金的时间价值（3）对于混合边界条件在S上在Su上 不带 的量所满足的方程和边界条件表明：他们应该是不受体力作用，并在物体的表面处，或者面力为0，或者位移是0，或者一部分边界上面力为0另一部分边界上位移为0的弹性体的解。资金是运动的价值，资金的价值是随时间变化而变化的，是时间的函数，随时间的推移而增值，其增值的这部分资金就是原有资金的时间价值于是外力功为：将平衡方程和应力边界条件代入资金是运动的价值，资金的价值是随时间变化而变化的，是时间的函数，随时间的推移而增值，其增值的这部分资金就是原有

14、资金的时间价值由高斯公式得资金是运动的价值，资金的价值是随时间变化而变化的，是时间的函数，随时间的推移而增值，其增值的这部分资金就是原有资金的时间价值消去同类项，并利用几何方程，得由于所以要使得当且仅当于是得资金是运动的价值，资金的价值是随时间变化而变化的，是时间的函数，随时间的推移而增值，其增值的这部分资金就是原有资金的时间价值由本构关系可得也即说明 弹性力学解的唯一性定理的证明是以当物体不受外力作用时，体内的应变能为零，应力分量和应变分量也全为零为前提的。当涉及初应力问题时，这一前提条件不再成立，因此不能简单地套用这里的唯一性定理。于是应力、应变分量是唯一的，位移可以由应变积分得到。但对于

15、应力边界条件问题，位移可以相差一个线性函数，也就是相差刚体位移。资金是运动的价值，资金的价值是随时间变化而变化的，是时间的函数，随时间的推移而增值，其增值的这部分资金就是原有资金的时间价值 弹性力学解的唯一性定理为以后常用的逆解法和半逆解法提供了一个理论依据。半逆解法：半逆解法：对于给定的弹性力学问题，根据弹性体的几何形状，受力特征和变形特点，或已知简单结论，如材料力学解，假设部分应力分量或者部分位移分量的函数形式为已知，由基本方程确定其他的未知量，然后根据边界条件确定未知函数中的待定系数。逆解法：逆解法：根据问题的性质，确定基本未知量和相应的基本方程，并且假设一组满足全部基本方程的应力函数或

16、位移函数。然后在确定的坐标系下，考察具有确定的几何尺寸和形状的物体，其表面将受什么样的面力作用或者将有什么样的位移。资金是运动的价值，资金的价值是随时间变化而变化的，是时间的函数，随时间的推移而增值，其增值的这部分资金就是原有资金的时间价值（三）圣维南原理 从前面分析我们知道，求解弹性力学问题时，只有知道作用于边界上的面力的详细分析情况，才能精确地写出他的边界条件。但在实际问题中往往会遇到两种情况。其一，虽然在大部分边界上面力分布是清楚的，但在其局部边界上面力分布并不清楚，而只知道它的静力效应，即它的主矢量和主矩。在这种情况下，无法精确地写出这局部边界上的边界条件，而只能从静力等效原则出发，让

17、作用于这局部边界上应力的主矢量和主矩，分别地同所给面力的主矢量和主矩相等。这种形式的边界条件，实际上是一种放松边界条件。其二，在全部边界上的面力分布是清楚的，但我们所求的解答，虽然能精确地满足大部分边界上的边界条件，而在其局部，只能满足放松边界条件。资金是运动的价值，资金的价值是随时间变化而变化的，是时间的函数，随时间的推移而增值，其增值的这部分资金就是原有资金的时间价值 圣维南原理物体任意一个小部分作用一个平衡力系，则该平衡力系在物体内部所产生的应力分布，仅局限于力系作用的附近区域。在距离该区域相当远处，这种影响便急剧减小。资金是运动的价值，资金的价值是随时间变化而变化的，是时间的函数，随时

18、间的推移而增值，其增值的这部分资金就是原有资金的时间价值资金是运动的价值，资金的价值是随时间变化而变化的，是时间的函数，随时间的推移而增值，其增值的这部分资金就是原有资金的时间价值资金是运动的价值，资金的价值是随时间变化而变化的，是时间的函数，随时间的推移而增值，其增值的这部分资金就是原有资金的时间价值 圣维南原理如果把物体的一小部分上的面力，变换为分布不同但静力等效的面力（主向量相同，对同一点的主矩也相同），那么近处的应力分布将有显著的改变，但远处所受到的影响可以不计。资金是运动的价值，资金的价值是随时间变化而变化的，是时间的函数，随时间的推移而增值，其增值的这部分资金就是原有资金的时间价值

19、 力作用点局部区域应力变化梯度大；远离力作用点区域，应力分布趋于均匀。资金是运动的价值，资金的价值是随时间变化而变化的，是时间的函数，随时间的推移而增值，其增值的这部分资金就是原有资金的时间价值 将集中力分解为两个载荷，应力分布梯度明显下降，明显接近均匀。将集中力分解为均布载荷，均布载荷与远离集中力作用点的应力分布近似，材料力学拉伸应力公式就是圣维南原理的应用结果。资金是运动的价值，资金的价值是随时间变化而变化的，是时间的函数，随时间的推移而增值，其增值的这部分资金就是原有资金的时间价值不适用的情况：不适用适用 圣维南原理放宽了边界条件，扩大弹性力学的求解范围。但至今无法从理论上证明，却为无数

20、算例和实验证实。薄壁杆件要求力的作用区域必须与壁厚尺寸大致相当，否则会引起严重错误。资金是运动的价值，资金的价值是随时间变化而变化的，是时间的函数，随时间的推移而增值，其增值的这部分资金就是原有资金的时间价值 55 弹性力学的简单问题弹性力学的简单问题（一）圆柱体的扭转（一）圆柱体的扭转单位长度扭转角将 向Ox轴和Oy轴方向分解，得并假设其余应力分量都为零yxoxy t tzyt tzxt tR 资金是运动的价值，资金的价值是随时间变化而变化的，是时间的函数，随时间的推移而增值，其增值的这部分资金就是原有资金的时间价值半逆解法：半逆解法：1.应力分量：应力分量：平衡微分方程平衡微分方程平衡微分

21、方程平衡微分方程应力边界条件：应力边界条件：在S上资金是运动的价值，资金的价值是随时间变化而变化的，是时间的函数，随时间的推移而增值，其增值的这部分资金就是原有资金的时间价值侧面：侧面：端面：端面：满足！圣维南原理端面面力：上端面：yxoxy t tzyt tzxt tR M资金是运动的价值，资金的价值是随时间变化而变化的，是时间的函数，随时间的推移而增值，其增值的这部分资金就是原有资金的时间价值端面面力：下端面：由于坐标原点位于横截面的形心。自然成立！与上端面一样！第三式为 于是证明了，对于圆柱体的扭转，用材料力学方法所求出的应力也是弹性力学的解答。资金是运动的价值，资金的价值是随时间变化而

22、变化的，是时间的函数，随时间的推移而增值，其增值的这部分资金就是原有资金的时间价值 用应力表示的相容方程：用应力表示的相容方程：用应力表示的相容方程：用应力表示的相容方程：满足！资金是运动的价值，资金的价值是随时间变化而变化的，是时间的函数，随时间的推移而增值，其增值的这部分资金就是原有资金的时间价值2.应变分量：应变分量：资金是运动的价值，资金的价值是随时间变化而变化的，是时间的函数，随时间的推移而增值，其增值的这部分资金就是原有资金的时间价值3.位移分量：位移分量：资金是运动的价值，资金的价值是随时间变化而变化的，是时间的函数，随时间的推移而增值，其增值的这部分资金就是原有资金的时间价值资

23、金是运动的价值，资金的价值是随时间变化而变化的，是时间的函数，随时间的推移而增值，其增值的这部分资金就是原有资金的时间价值位移分量：位移分量：位移条件：位移条件：（1）坐标原点固定：）坐标原点固定：（2）原点的单元固定：）原点的单元固定：资金是运动的价值，资金的价值是随时间变化而变化的，是时间的函数，随时间的推移而增值，其增值的这部分资金就是原有资金的时间价值xyzoMt tr位移分量：位移分量：（1）坐标原点固定：）坐标原点固定：（2）原点的单元固定：）原点的单元固定：v过原点沿过原点沿 z 向的线段在向的线段在 xoz、zoy 面面内不转动：内不转动：v过原点沿过原点沿 x 向的线段在向的

24、线段在 xoy面内不转动：面内不转动：刚体位移为零。刚体位移为零。资金是运动的价值，资金的价值是随时间变化而变化的，是时间的函数，随时间的推移而增值，其增值的这部分资金就是原有资金的时间价值平截面平截面假设假设xyuvuq q rxyAur资金是运动的价值，资金的价值是随时间变化而变化的，是时间的函数，随时间的推移而增值，其增值的这部分资金就是原有资金的时间价值（二）（二）等截面直杆的纯弯曲 设有等截面直杆，体力可以不计，在某一纵向的主平面内受有大小相等而方向相反的弯矩M。取左端截面的形心为坐标点，弯矩所在的主平面为xz 面，杆的形心轴为z轴，按照材料力学，应力分量的解答是其中R是梁弯曲后梁轴

25、线的半径，现在来考察，这个解答是否能满足弹性力学的一切条件。资金是运动的价值，资金的价值是随时间变化而变化的，是时间的函数，随时间的推移而增值，其增值的这部分资金就是原有资金的时间价值由于 ，可见平衡微分方程是满足的，相容方程也是满足的。在杆的侧面上，所以边界条件是满足的。因为面力 必须合成为弯矩M，所以要求 因为y轴是形心轴，我们有 ，可见这一条件是满足的。在杆的右端，边界条件成为资金是运动的价值，资金的价值是随时间变化而变化的，是时间的函数，随时间的推移而增值，其增值的这部分资金就是原有资金的时间价值 因为xz面和xy面是主平面，我们有 ，可见这一条件是满足的。因为 ，可见这一条件是满足的

26、。同样在杆的左端，边界条件也是满足的。于是可见，应力分量能满足所有一切条件，因而是正确的解答。但是，必须指出，如果杆端的面力虽然合成为弯矩M，而分布方式却与式中的 不相同，那么，对于靠近杆端的部分，表达式将有显著的误差。资金是运动的价值，资金的价值是随时间变化而变化的，是时间的函数，随时间的推移而增值，其增值的这部分资金就是原有资金的时间价值由前面的材料力学公式我们可得现在来求出位移分量，代入物理方程，得形变分量再将这些表达式代入几何方程，得资金是运动的价值，资金的价值是随时间变化而变化的，是时间的函数，随时间的推移而增值，其增值的这部分资金就是原有资金的时间价值由前三式即得位移分量代入后三式

27、资金是运动的价值，资金的价值是随时间变化而变化的，是时间的函数，随时间的推移而增值，其增值的这部分资金就是原有资金的时间价值通过阶数增高由此得回代，可得资金是运动的价值，资金的价值是随时间变化而变化的，是时间的函数，随时间的推移而增值，其增值的这部分资金就是原有资金的时间价值即得位移分量 现在，假定左端截面的形心O不移动，经过O点的z方向的线段不转动，经过O点的沿x方向的线段在xoy面内也不转动。这样，约束条件将为资金是运动的价值，资金的价值是随时间变化而变化的，是时间的函数，随时间的推移而增值，其增值的这部分资金就是原有资金的时间价值得故对于轴线上的各点（x=y=0），得这就是梁轴线弯曲后的

28、方程。资金是运动的价值，资金的价值是随时间变化而变化的，是时间的函数，随时间的推移而增值，其增值的这部分资金就是原有资金的时间价值 现任取一个梁的截面 ，此截面上的各点在梁变形以后的新坐标为：这里 表示w在 处的值，有于是这是一个与Oy轴平行的平面方程，截面 上的各点在梁变形以后都落在这个平面上。因此，梁的横截面在梁变形后仍保持为平面。资金是运动的价值，资金的价值是随时间变化而变化的，是时间的函数，随时间的推移而增值，其增值的这部分资金就是原有资金的时间价值把变形后的横截面方程写成则横截面与Oz轴夹角的正切，即斜率为另外，变形后的轴线在 处的斜率为由于 故弯曲后的横截面仍然和变形后梁的轴线垂直

29、。即是材料力学的平截面假设。资金是运动的价值，资金的价值是随时间变化而变化的，是时间的函数，随时间的推移而增值，其增值的这部分资金就是原有资金的时间价值 现在，考察矩形截面的形状改变。在梁弯曲前，矩形截面的两侧边的方程为在梁弯曲后，其方程为因此两侧边仍保持为直线。梁弯曲前，在 处，矩形截面上下两边的方程为资金是运动的价值，资金的价值是随时间变化而变化的，是时间的函数，随时间的推移而增值，其增值的这部分资金就是原有资金的时间价值在梁弯曲后，其方程为 上面的第一个方程是x的一次式，第二个方程是y的二次式，因此，上下两边都变为抛物线。资金是运动的价值，资金的价值是随时间变化而变化的，是时间的函数，随

30、时间的推移而增值，其增值的这部分资金就是原有资金的时间价值（三）柱体在自重影响下的变形 现在，我们来研究一个任意横截面的柱体在自重作用下的变形情况。设柱体的长度为L，其上端面是悬挂的，坐标的选择如图。在这种情况下，体力的三个分量为这里，是柱体的密度，g是重力加速度。柱体每个截面上的应力是由这界面以下部分的柱体重量产生的，假如其分布是均匀的，则可得资金是运动的价值，资金的价值是随时间变化而变化的，是时间的函数，随时间的推移而增值，其增值的这部分资金就是原有资金的时间价值 这组应力分量显然满足平衡微分方程并满足侧面处和下端面的边界条件。在上端面，由于得下面来求位移分量 这表明，柱体悬挂面的面力分布

31、一定是要均匀的，这样，在截面上的应力分布均匀的假定才符合实际。资金是运动的价值，资金的价值是随时间变化而变化的，是时间的函数，随时间的推移而增值，其增值的这部分资金就是原有资金的时间价值由前三式即得位移分量代入后三式资金是运动的价值，资金的价值是随时间变化而变化的，是时间的函数，随时间的推移而增值，其增值的这部分资金就是原有资金的时间价值通过阶数增高由此得回代，可得资金是运动的价值，资金的价值是随时间变化而变化的，是时间的函数，随时间的推移而增值，其增值的这部分资金就是原有资金的时间价值即得位移分量 现在，假定上端截面的形心O不移动，经过O点的z方向的线段不转动，经过O点的沿x方向的线段在面内也不转动。这样，约束条件将为资金是运动的价值，资金的价值是随时间变化而变化的，是时间的函数，随时间的推移而增值，其增值的这部分资金就是原有资金的时间价值得故柱体轴线上的各点（x=y=0）的位移为z=c截面的变形情况 这个方程代表一个向下凹的抛物面，变形前的平面经变形后变成一个抛物面。资金是运动的价值，资金的价值是随时间变化而变化的，是时间的函数，随时间的推移而增值，其增值的这部分资金就是原有资金的时间价值 将集中力分解为分布载荷，均布载荷与远离集中力作用点的应力分布近似，材料力学拉伸应力公式就是圣维南原理的应用结果。