2023年山东春考数学知识点汇总于老师.doc

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1、第一章 集合与简易逻辑1.1-1.2 集合及其运算1.集合定义：把一些拟定的元素当作一个整体，这个整体就是由这些元素构成的集合.2.元素的特性：拟定性、互异性、无序性.3.元素与集合关系：有属于和不属于两种，表达符号为 和 .4.常见集合字母表达：集合自然数集正整数集整数集有理数集实数集表达NN+或 N*ZQR5集合分类：按元素个数可分:有限集、无限集；按元素特性分：数集、点集、坐标集等.6. 集合表达法：列表法、性质描述法、图像法（wenn 图像、数轴表达、区间表达）7. 集合关系：描述关系文字语言符号语言集合相等集合 A 与集合 B 中的所有元素都相同A=B间的子集A 中任意一元素均为 B

2、 中的元素AB 或 B A基本真子集A 中任意一元素均为 B 中的元素，且 B 中至少有一个元素 A 中没A B或 BA关系有空集空集是任何集合的子集空集是任何非空集合的真子集8.集合运算：集合运算集合的并集集合的交集集合的补集符号表达ABAB若全集为 U，则集合 A 的补集为CUA.图形表达意义集合 A 与 B 的所有集合 A 与 B 的公共元全集 U 中所有元素，元素，A 或 B.素，A 且 B.除去集合 A 中元素的部分.性质A B = B A；A B = B A；A CUA.=U；A CUA.=；CU（CUA）=A；A A = A；A A = A；A = A = A；A = A = A

3、；CUACUB=CU（A B）；CUACUB=CU（A B）；A B A B = BA B A B = A【注意】1任何一个集合是它自身的子集；2假如 AB，同时 BA，那么 A = B；假如 AB，BC, 那么 AC；3n 元素集合，有子集2n个；n 元素集合，有真子集有2n 1 个；n 元素集合，有非空真子集有2n 2个.1.3-1.4 逻辑用语充要条件1命题概念:可判断真假的文字或符号的，陈述性语句不具有判断性 例：2x + 1 = 5不是命题 疑问、感慨、祈使等非陈述句命题真命题：不符合客观事实判断是命题 假命题：符合客观事实判断2、四种命题关系1命题联系：2真假关系：互为逆否命题，有

4、相同的真假性；互逆命题或互否命题，真假性不可判断3、逻辑连接词：且、或、非，符号“、”.1且p q：一假则假 2或p q：一真则真 3非p：与原命题真值相反4原命题变非命题简朴命题：直接否认判断词单一命题 命题 量词命题：互换和，否认判断词p q p q 复合命题 2p q p q【注】A、 p：非命题(命题的否认)，只否结论，与原命题真值相反。B、 否命题：条件结论都否认，真值不具有判断性。C、 常用的量词有全称量词和存在量词，用符号表达为和. D、具有全称量词的命题，叫做全称命题，具有存在量词的命题，叫做存在命题。常用判断词否认判 断= 0】2.2-2.3 不等式性质与绝对值不等式1不等式

5、基本性质：a b a b 0；a b a b b b a2传递性：a b、b c a c3加法法则a b a c b d移项法则：a + b c a c b4同向可加性：a b、c d a + c b + d乘法法则：a b、c 0 ac bd；a b、c 0 56ac b 0，且 c d 0 ac bd 乘方法则：若a b 0 ann b .n N 且 n 1/789nn1011b.n N 且 n 1/ b 0 a 取倒数法则：a b，ab 0 a4一元一次不等式解法：将一元一次不等式变形为标准形式：例：ax b1时，ax b的解集为2 3，用区间表达为.， + /当a 02当a b的解集为

6、2 0 开口向上a 000二次函数ax2bxc = 0(a0)的图象来一元二次方程有两个相异实根有两个相等实根ax2bxc0没有实数根x ，x (x x)x x (a0)的根1212122 ax2bxc02 | 23* | 0+R(a0)的解集ax2bxc0* | 1 0; 0. 2不等式ax2bxc 0 ( 0)恒成立的条件: a 0; 0：大于取两边，小于取中间 例：a.| | m m x m 或 x 0：大于取两边，小于取中间 例：a. |+ | + 【答案写集合或区间】4假如c b. |+ | + 0b. |+ | 0且 a1），定义域 x02分式函数y = f（x） ，定义域 g（x

7、）0.g（x）4函数y = 2n+1f（x）(n N+)，定义域 R.6指数函数 y=ax (a 0且 a1) ，定义域 R8正切函数y = tanx . 2 + 2 ， /2.4 一元二次不等式1. 一元二次不等式：ax2bxc0 或 ax2bxc 0 ( 0)ax2bxc 0 或 ax2bxc 0 ( 0)2. 解法：开口、画图3. 复合函数1复合函数：假如函数 y=f（t）的定义域为 A,且 t=g（x）的定义域 D、值域为 C，则当C A时，称函数y = f,g(x)-为f( )与 g( )在 D 上的复合函数，t 叫做中间变量，t=g（x）叫内函数，y=f（t）叫外函数。2复合函数求

8、定义域：已知f, ( )-定义域，求f( )定义域；已知f( )定义域，求f, ( )-定义域。2山东春考数学于文军奇偶性定 义图象特点偶函数假如对于函数 f(x)的定义域内任意一个 x，都有关于 y 轴对称f(x) = f(x)，那么函数 f(x)是偶函数奇函数假如对于函数f(x)的定义域内任意一个 x，都有关于原点对称f(x) = f(x)，那么函数 f(x)是奇函数4. 求值域：直接发、常数分离、配方法、换元法、图像（单调、奇偶、反函数）5. 求函数值 ：直接代入、代换、整体、赋值、配凑、换元、待定系数6. 分段函数：在函数定义域内，对于自变量 x 的不同区间，有着不同的相应法则，这样的

9、函数通常叫做分段函数。（分段函数为一个函数）3.2 函数的单调性1定义：1y = f( )定义域的子区间 I 内任意两个值x1，x2，当时x1 x2 时，有f（x1） f（x2），那么就说I称为y = f（x）的增区间，当整个定义域都符合以上条件时，称为增函数。2y = f( )定义域的子区间 I 内任意两个值x1，x2，当时x1 f（x2），那么就说I称为y = f（x）的增区间，当整个定义域都符合以上条件时，称为增函数。2. 单调性证明1函数的单调区间,必须先求函数的定义域；2判断函数单调性的方法环节：运用定义证明函数 f(x)在给定的区间 D 上的单调性的一般环节：a 任取x1，x2 M

10、，且x1 0，a 1，m 0/maxax3f(x) = |x|3f(x)=.a 0，a 1，m 0/4f(x) = cosnxm4f(x) =ax+1.a 0，a 1/ax15f(x) = loga1+x.a 0，a 1， 1 x 0定义域xR(个别题目有限制的，由解析式拟定)开口a0a0值域y 4ac b2， + )y .，4ac b24a4aa 0D = 0D 0y = ax2 + bx + ca0（ ，x1） （x2， + ）（ ，x1） （x1， + ）Rax2 + bx + c 0a0（x1，x2）ax2 + bx + c 0的解集a1，且n ），这个数称 a 的 n 次方根（若=

11、，则 x 称 a 的 n 次方根）.当 n 为奇数时，a 的 n 次方根记作；= .当 n 为偶数时，a0，n 次方根两个且互为相反数，记作 ( 0)； ( 0) = | | = ( 0)2. 实数幂运算)，n 个；0= 1( 0).= ( 12111 ( );1且 1/= . 0, 341 + =. 0, 、 且 1/=. 0， ， /56= . 0， ， /( . 0， ， /( ) )=77【注】上述性质对r、s R均合用42 指数函数1. 定义：形如y = ax(a 0 且 a 1)的函数叫指数函数，ax前的系数为 1.2. 图像与性质两种情况0 a 1图像定义域：R值域：y 0性质图

12、像都过定点（0，1）即 x = 0，y = 1在 R 上单调递减在 R 上单调递增x 1；x 0时，0 y 1x 0时，0 y 0时，y 1对称性1xy = ax与y = ./ 的图像关于 y 轴对称3.不同底：底数的大小决定了图像相对位置的高低:不管是a 1还是 0 a b 1 c d 04山东春考数学于文军4.3 对数及其运算1.定义：假如a的b次幂等于N，就是=，那么数b称以a为底 N 的对数，记作log= ，其中a称对数的底，N 称真数. 0，且 1/。以 10 为底的对数称常用对数，log10 记作lgN；以欧拉常数e( = 2.71828 )为底的对数称自然对数，log ，记作ln

13、N；2.运算：负数和零无对数（真数 N 为正数）；log 1 = 0；log= 1；123log= , log= N； log ( ) = log+ log ；log= log log ；456log= loglog=log. 0， 0， 0. /log log = 1；7810log11log=log4.4 对数函数1. 定义：形如y = logax(a 0 且 a 1)的函数称为对数函数2. 图像和性质底数0 a 1图像定义域：.0， + /值域：R性质图像都过定点（1,0），即，x=1 时，y=0在.0， + /上单调递减在.0， + /上单调递增0 x 0；x 1时，y 00 x 1时，y 1时，y 0对称性函数y = log 与y = log1 的图像关于 x 轴对称y = loga|x|的图像关于 y 轴对称【注意】底数大小决定了图像相对位置的高低：不管是 1还是0 a 1，在第一象限内，自左向右，图像相应的对数函数的底数逐渐变大。第五章 数列5.1 数列的概念及简朴表达方法1数列的定义1按一定顺序排列的一列数叫做数列，数列中的每一个数叫做数列的项。其中数列的第一项a1也称首项；an是数列的第n项，也叫数列的末项。 1 = 。例： 1， 2， 3，2数列具有顺序性（按程序排列，顺序变了数列也许就变了）；数列具有反复性（数列里的项可以相同）