2023年北航数学专业复变函数试题答案及评分标准.doc

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1、 复变函数试题答案及评分标准（A卷）(2023)一、 名词解释评分细则：每小题4分，意思只要答对不扣分。（1） 复平面上的点集D，假如满足以下条件称其为区域：l D是开集；l D中任意两个有限点可以用有限个相衔接的线段所构成的折线连接起来，而这些折线上的点完全属于D。（2） 假如函数在区域D内每一点解析，称为D内的解析函数。（3） 设函数在解析，并且。那么，或者在的一个邻域内恒等于零，或者存在的一个邻域，在其中为的唯一零点。（4） 假如函数在区域D内解析，并且在D内任意不同的两点，函数所取的值不同，则称为区域D内的单叶解析函数。（5） 设D是平面C上的任何单连通区域，但不是整个平面；设。那么有

2、一个、并且只有一个在区域D内的单叶函数，满足并且把保形双射成。（6） 设函数在区域D内解析，和D合称为解析函数元素。二、在每个空中填写一个对的答案评分细则：每小题5分。其中第（2）题填对一个支点给1分；其余各题，填错或填两个一对一错答案着，给零分。（1）； （2） 1，2，0；（3）； （4） 1；（5） 8。 三、（1）若在的内部时，应用复连通柯西定理，有原积分=； 这里分别是内认为心、互相外离的小圆周。5分； 若若在的外部时，。 1分（2）若在的内部，在外部时，应用柯西积分导数公式。 2分（3）若在的内部，在外部时，由柯西定理 。 2分四、 3分 = 3分=。 4分五、在实轴上解析，在上半平面上除去为一级极点外解析，并且； 3分于是 3分。 4分六、 先求逆映射，它将上半平面映射到单位圆，由条件知，。3分因此。3分 由，得，于是为所求映射逆映射。2分解出即可得到所求映射 3分七、 由于在区域内解析，在上连续，那么在上达成最大值。2分假如在内不为常数，由最大模原理，的最大模只有在的边界上达成，即；假如在内为常数，则。 于是，不管是否为常数， （1）4分 由于在区域内，由最小模原理，对于 有 （2）2分由（1），（2），从而（是实数）。 从而恒为常数。 2分