2023年微积分知识点概要.doc
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1、微 积 分 (知识点概要)第一章 函数、极限与连续11函数定义与符号12极限概念与运算法则13求极限的方法14函数的连续性11函数的定义(P1)1函数的定义1若变量x、y之间存在着拟定的相应关系,即当x的值给定期,唯一y值随之也就拟定,则称y是x的函数,记为y=f(x)。 2拟定函数有两个要素:函数的定义域和相应关系。 例如:y=lgx2 与y =2lgx 就不是相同的函数,由于它们的定义域不同。2函数记号 一旦在问题中设定函数y=f(x),记号“f”就是表达拟定的相应规则,f(3)就是表达按此相应规则在x=3时所相应的函数值y等。3初等函数(P6) 称幂函数xk(k为常数),指数函数ax ,
2、对数函数 logax (a为常数,a0,a1)三角函数及反三角函数为基本初等函数。 凡由基本初等函数经有限次加、减、乘、除及有限次复合且能用一个式子表达的函数,称为初等函数。4函数的简朴性质(1)有界性:(P5) 对于函数f(x),若存在常数M、m对定义域内所有x f(x)M 称f(x)有上界 f(x)m 称f(x)有下界,既有上界又有下界简称有界。(2)奇偶性:(P3) 若函数f(x)的定义域关于x=0的对称区间,又对于定义域内的任意x均有f(-x)=f(x) 则称f(x)为偶函数。f(-x)=-f(x) 则称f(x)为奇函数。(3)单调性:(P4) 若函数f(x)在a、b上有定义 对xa、
3、bx1x2 时f(x1)f(x2) f(x) 在a、b上 f(x1)f(x2) f(x) 在a、b上 (4)周期性:(P5)若存在常数a(a0),使对任意x且有f(x)= f(x+a)则称f(x)为周期函数,称常数a 为f(x)的周期。12极限概念与运算法则1极限的直观定义(P11) 当一个变量f(x)在xa的变化过程中变化趋势是无限地接近于一个常数b,则称变量f(x)在xa的过程中极限存在。称常数b为它的极限,记为 f(x)=b 否则就称极限不存在。 在极限不存在的情形中,若f(x)在xa的过程中,其值无限增大,则规定写成: f(x)= +(相应地 有f(x)= -,f(x)=)在定义中要注
4、意的是:xa的变化过程是指x以任何方式向a靠拢,且在靠拢的过程中始终有 xa。2极限的精拟定义(略) 若对0,点有在0,当0x-a时 有f(x)-b 成立。 则称在xa的过程中,f(x)以b为极限记为:f(x)=b3极限的运算法则:(P16) 若f(x)和g(x) 均存在,则f(x)g(x)= f(x) g(x)f(x).g(x) = f(x) .g(x) = (g(x)0)4极限的性质:(P15) 1唯一性: 若极限f(x)存在,则极限是唯一的。 2有界性: 若极限f(x)存在, 则一定存在a的去心领域即存在0,使f(x)在0x-a内是有界的。3保号性: 设f(x)=b ,f(x)变到后来必
5、有f(x)。 ,f(x)变到后来必f(x) 。13求极限的方法1运用定义:例:求极限详:由于x0,x0,所以在变化过程中始终有定义,显然x0的过程中无限增大,且的符号不定故 =又例:验证e不存在详:因当x0+时x从0的右边向0靠拢,+,于是e+,而当x0-时,-,从而e0所以e不存在。2运用极限运算法则(P16)3运用函数的连续性(P22、P23)由函数在点x0处连续的定义:若已知f(x)在x=a处连续,则必有f(x)= f(a)初等函数在具定义区间内是连续的,所以若f(x)是初等函数又判断出a是在f(x)的定义区间上,则:f(x)= f(a) 即只要将x=a代入f(x)计算f(a)4变形:(
6、P17 例4例7)在向变量变化过程中,把f(x)作某价变形以消除不定性,通常采用消公因子,分子、分母同乘或除一因子,分子(分母)有理化手段。5运用两个重要极限公式:(P18-P20) 两个重要极限: =1 (=1)(1+)x=e (1+)=e=e =e6应用洛必达法则(P66)设f(x) 、g(x)可导 且f(x) =g(x)=0 (或) 若=b (或) 则=b (或)7等阶无穷小(大)的替换: x0时 xsinxtanxex-1ln(1+x).1-cosx (只能替换因子) 8夹逼定理(P16) 若在a的邻域内有g(x)f(x)h(x) 且g(x)= h(x)=b (或)f(x)=b (或)
7、 9运用泰勒公式(略)10化为定积分(略)11运用单调有界数列必有极限(略)14函数的连续性(P22、P23)1 定义:y=f(x)在x0的邻域内有定义 且 f(x)=f(x0 )则称f(x)在x0处是连续的,否则就称为是间断的。注意:初等函数在其定义区间内是连续的。2 间断点分类(P23) 3 闭区间上连续函数的性质: f(x)在a、b上必有界。 f(x)在a、b上必有最大(小)值。 f(a).f(b) f()=0f()=0第二章 导数与微分 21 函数的可导性与导数(P43) 22 函数的可微性与微分21函数的可导性与导数(P43)1导数的定义 设函数y=f(X)在x0的邻域内有定义若=b
8、存在称f(x)在点x0处可导。称其极限值b 为f(x)在点x0处的导数。记为: 3详:(1)导数的物理意义:若y表达质点作直线运动时的位置, x表达时刻,则为质点在x时刻的瞬时速度。(2)导数的几何意义:若y=f(x)为平面直角坐标系中的曲线方程 则即为曲线上相应于x点处切线的斜率。(3)导数的经济意义:若y=f(x)表达总产量达成x时所付出的总费用,则即为总产量在x水平上的边际成本。(4)导数的数量意义:即为因变量y相对于向变量的x变化率。2导数的记号 (1)在点x处的导数记为,或简记为:或 (2)在x=3处的导数记为或或简记为(3) 或. (3)导数又称微商 , ,(每个记号都故意义的前提
9、下)3导数的计算 (1)运用定义:(一般只用于求分段函数在分界点的导数时,才需要用定义计算)P43 例3例8 (2)运用导数公式和求导法则; (3)隐函数求导;复合函数求导;反函数求导。(P4951) (4)对数求导法;(P52) (5)高阶导数求导法(逐次计算,其他方法)(P54)22函数的可微性与微分(P55)1定义:若f(x)在x0 邻域内有定义,若对x有关系式 f(x0+x)-f(x0)=ax+0(x)其中a为常数,则称f(x)在 x0处可微,并称函数值之差中的线性主部 ax为f(x) 在x0处的微分,记为d f(x0)=ax2可微的充要条件 f(x)在x处可微 f(x)在x处可导且a
10、= f(x)在x处的微分即为df(x)=x=dx (x为自变量x= dx)3微分的计算(P56) (1)转化为导数的计算 (2)运用微分不变性即无论u 是中间变量还是自变量均有df(u)= (3)近似计算 如:计算e 例:e=e+( e-e) e-e=x=1.(0.1)=0.1 e1+0.1=1.1 (4)函数在处的三个局部性质之间的关系 连续可导 可微第三章 导数的应用3.1运用导数研究函数的性态3.2中值定理(略)3.3函数图形绘制3 .4导数在经济上的应用3.1运用导数研究函数的性态(P70-P77)(1)若在(a、b)内f(x)=0则在(a、b)内f(x)=c(常数)(2)若在(a、b
11、)内f(x)0则在(a、b)内f(x)严格单调增长()(3)若在(a、b)内f(x)0则在(a、b)内f(x)严格单调减小()(4)若在(a、b)内f(x)0则在(a、b)内f(x)向下凸()(5)若在(a、b)内f(x)0则在(a、b)内f(x)向上凸()(6)若f(xo)=0或f(xo)不存在,f(x)在xo的两侧变号则xo f(xo)为曲线y= f(x)的拐点,拐点的定义为曲线上凹凸的分界点。(7)若f(xo)=0(称xo为驻点)或f(xo)不存在,且f(x)在xo左右变号,则xo为f(x)的极点,若从左到右f(x)由(-)变(+)则xo为极小点。若从左至右,f(x)由(+)变(-),则
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