2023年幂的知识点.doc

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1、幂的运算（基础）【要点梳理】要点一、同底数幂的乘法性质(其中都是正整数).即同底数幂相乘，底数不变，指数相加.要点诠释：（1）同底数幂是指底数相同的幂，底数可以是任意的实数，也可以是单项式、多项式.（2）三个或三个以上同底数幂相乘时，也具有这一性质， 即（都是正整数）. （3）逆用公式：把一个幂分解成两个或多个同底数幂的积，其中它们的底数与本来的底数相同，它们的指数之和等于本来的幂的指数。即（都是正整数）.要点二、幂的乘方法则 (其中都是正整数).即幂的乘方，底数不变，指数相乘.要点诠释：（1）公式的推广： (，均为正整数)（2）逆用公式： ，根据题目的需要经常逆用幂的乘方运算能将某些幂变形，

2、从而解决问题.要点三、积的乘方法则 (其中是正整数).即积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘.要点诠释：（1）公式的推广： (为正整数). （2）逆用公式：逆用公式适当的变形可简化运算过程，特别是碰到底数互为倒数时，计算更简便.如：要点四、注意事项（1）底数可以是任意实数，也可以是单项式、多项式.（2）同底数幂的乘法时，只有当底数相同时,指数才可以相加.指数为1，计算时不要漏掉.（3）幂的乘方运算时，指数相乘，而同底数幂的乘法中是指数相加.（4）积的乘方运算时须注意，积的乘方要将每一个因式(特别是系数)都要分别乘方.（5）灵活地双向应用运算性质，使运算更加方便、简洁.（6）

3、带有负号的幂的运算，要养成先化简符号的习惯.【典型例题】类型一、同底数幂的乘法性质1、计算：（1）；（2）；（3）【答案与解析】解：（1）原式（2）原式（3）原式【总结升华】（2）（3）小题都是混合运算，计算时要注意运算顺序，还要对的地运用相应的运算法则，并要注意区别同底数幂的乘法与整式的加减法的运算法则在第（2）小题中的指数是1在第（3）小题中把当作一个整体举一反三：【变式】计算：（1）；（2）（为正整数）；（3）（为正整数）【答案】解：（1）原式（2）原式（3）原式2、已知，求的值 【思绪点拨】同底数幂乘法的逆用：【答案与解析】解：由得 【总结升华】（1）本题逆用了同底数幂的乘法法则，培养

4、了逆向思维能力（2）同底数幂的乘法法则的逆运用：类型二、幂的乘方法则3、计算：（1）；（2）；（3）【思绪点拨】此题是幂的乘方运算，（1）题中的底数是，（2）题中的底数是，（3）题中的底数的指数是，乘方以后的指数应是【答案与解析】解：（1）（2）（3） 【总结升华】运用幂的乘方法则进行计算时要注意符号的计算及解决，一定不要将幂的乘方与同底数幂的乘法混淆.幂的乘方法则中的底数仍可认为单个数字、字母，也可以是单项式或多项式.4、已知，求的值【答案与解析】 解： ， 【总结升华】（1）逆用幂的乘方法则：（2）本题培养了学生的整体思想和逆向思维能力举一反三：【变式1】已知，求的值【答案】解：【变式2】

5、已知，求的值【答案】解：由于, .所以.类型三、积的乘方法则5、指出下列各题计算是否对的，指犯错误并说明因素：（1）； （2）； （3）【答案与解析】解：（1）错，这是积的乘方，应为：（2）对（3）错，系数应为9，应为：【总结升华】（1）应用积的乘方时，特别注意观测底数具有几个因式，每个因式都分别乘方（2）注意系数及系数符号，对系数1不可忽略【典型例题】类型一、同底数幂的乘法性质1、计算：(1)；(2) 【答案与解析】解：（1） （2）【总结升华】（1）同底数幂相乘时，底数可以是多项式，也可以是单项式（2）在幂的运算中，经常用到以下变形： 类型二、幂的乘方法则2、计算：（1）； （2）；（3）

6、； （4） 【答案与解析】解：（1）（2）（3）（4）【总结升华】（1）运用幂的乘方法则进行计算时要注意符号的计算及解决，一定不要将幂的乘方与同底数幂的乘法混淆（2）幂的乘方的法则中的底数仍可认为单个数字、字母，也可以是单项式或多项式3、已知，求的值【思绪点拨】由于已知的值，所以逆用同底数幂的乘法和幂的乘方把变成，再代入计算.【答案与解析】解：由于, .所以.【总结升华】运用整体的观念看待数学问题，是一种重要的数学思维方法.把当成一个整体问题就会迎刃而解.同时看到灵活地双向应用运算性质，使运算更加方便、简洁. 举一反三：【变式】已知，则 【答案】5；提醒：原式 原式5.类型三、积的乘方法则4、

7、计算：（1） （2）【思绪点拨】运用积的乘方的运算性质进行计算.【答案与解析】解：（1）（2）【总结升华】（1）应用积的乘方时，特别注意观测底数具有几个因式，每个因式都分别乘方（2）注意系数及系数符号，对系数1不可忽略举一反三：【变式】下列等式对的的个数是( ) A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个【答案】A； 提醒：只有对的；同底数幂的除法【要点梳理】要点一、同底数幂的除法法则同底数幂相除，底数不变，指数相减，即（0，都是正整数，并且）要点诠释：（1）同底数幂乘法与同底数幂的除法是互逆运算. （2）被除式、除式的底数相同，被除式的指数大于除式指数，0不能作除式. （3）当三个或三个

8、以上同底数幂相除时，也具有这一性质. （4）底数可以是一个数，也可以是单项式或多项式.要点二、零指数幂任何不等于0的数的0次幂都等于1.即（0）要点诠释：底数不能为0，无意义.任何一个常数都可以看作与字母0次方的积.因此常数项也叫0次单项式.要点三、负整数指数幂任何不等于零的数的（为正整数）次幂，等于这个数的次幂的倒数，即（0，是正整数）.引进了零指数幂和负整数指数幂后，指数的范围已经扩大到了全体整数，以前所学的幂的运算性质仍然成立.（、为整数，）；（为整数，） （、为整数，）.要点诠释：是的倒数，可以是不等于0的数，也可以是不等于0的代数式.例如（），（）.要点四、科学记数法的一般形式（1）

9、把一个绝对值大于10的数表达成的形式，其中是正整数，（2）运用10的负整数次幂表达一些绝对值较小的数，即的形式，其中是正整数，.用以上两种形式表达数的方法，叫做科学记数法.【典型例题】类型一、同底数幂的除法1、计算：（1）；（2）；（3）；（4）【思绪点拨】运用同底数幂相除的法则计算(2)、(4)两小题要注意符号【答案与解析】解：（1）（2）（3）（4）【总结升华】（1）运用法则进行计算的关键是看底数是否相同（2）运算中单项式的系数涉及它前面的符号2、计算下列各题：（1） （2）（3） （4）【思绪点拨】（1）若被除式、除式的底数互为相反数时，先将底数变为相同底数再计算，尽也许地去变偶次幂的底

10、数，如（2）注意指数为1的多项式如的指数为1，而不是0 【答案与解析】解：（1）（2）（3）（4）【总结升华】底数都是单项式或多项式，把底数作一个整体运用同底数幂的除法法则进行计算3、已知，求的值【答案与解析】解： 当，时，原式【总结升华】逆用同底数除法公式，设法把所求式转化成只含，的式子，再代入求值本题是把除式写成了分数的形式，为了便于观测和计算，我们可以把它再写成除式的形式举一反三：【变式】已知，求的值【答案】解：由得，即， 底数不等于0和1， ，即，类型二、负整数次幂的运算4、计算：（1）；（2）【答案与解析】解：（1）；（2）【总结升华】要对的理解负整数指数幂的意义举一反三：【变式】计

11、算：【答案】解： 5、 已知，则的值_【答案与解析】解： ， ， ， 【总结升华】先将变形为底数为3的幂，然后拟定、的值，最后代值求举一反三：【变式】计算：（1）；（2）；【答案】解：（1）原式（2）原式类型三、科学记数法6、用科学记数法表达下列各数：（1）0.00001；（2）0.；（3）-0.000135；（4）0.00067【答案与解析】 解：（1）0.00001；（2）0.；（3）-0.000135；（4）0.00067.【总结升华】注旨在中的取值是这个数从左边起第一个不是零的数前面零的个数（涉及小数点前边的零）【巩固练习】一.选择题1. 的值是( )A. B. C. D.2的值是(

12、)A. B. C. D. 3下列计算对的的是( )A. B. C. D.4下列各题中，计算结果写成10的幂的形式，其中对的的是( ).A. 100 B. 1000 C. 100 D. 1001000 5下列计算对的的是( )A.B.C.D.6若成立，则( )A. 6，12B. 3，12C. 3，5D. 6，5二.填空题7. 若，则_8. 若，则_9. 已知，那么_10若，则_；若，则_11. _； _； _12.若n 是正整数，且，则_.三.解答题13. 判断下列计算的正误（1） ( ) （2） ( )（3） （ ） （4） ( ) 14.（1） ； （2）；（3）； （4）；（5）； 15.

13、（1）若，求的值（2）若，求、的值【答案与解析】一.选择题1. 【答案】D； 【解析】.2. 【答案】C； 【解析】.3. 【答案】D； 【解析】；.4. 【答案】C；【解析】100；1000；1001000.5. 【答案】D； 【解析】；.6. 【答案】C； 【解析】，解得3，5.二.填空题7. 【答案】30； 【解析】.8. 【答案】6； 【解析】.9. 【答案】25；【解析】.10.【答案】5；1； 【解析】；.11.【答案】64；12.【答案】200； 【解析】.三.解答题13.【解析】解：（1）；（2）；（3）；（4） 14.【解析】解：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）.15.【解析】解：（1） 43358（2）4，3解： 39且33153且4