2022年高中数学函数知识点经典总结.docx

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1、精选学习资料-学习必备欢迎下载高中数学函数学问点总结1.对于集合,肯定要抓住集合的代表元素,及元素的“确定性、互异性、无序性”x,A；C如：集合 Ax|ylg x,By|ylg x,Cx,y|ylg、B、中元素各表示什么？A 表示函数 y=lgx 的定义域,B 表示的是值域,而C 表示的却是函数上的点的轨迹2 进行集合的交、并、补运算时,不要遗忘集合本身和空集的特殊情形留意借助于数轴和文氏图解集合问题；空集是一切集合的子集,是一切非空集合的真子集；如：集合 Ax x22x30,Bx ax1a=-1,a=1/3.但如BA,就实数 的值构成的集合为（答：1,1）3明显,这里很简洁解出A=-1,3.

2、而 B 最多只有一个元素；故B 只能是-1 或者 3；依据条件,可以得到是,这里千万当心,仍有一个B 为空集的情形,也就是a=0,不要把它搞遗忘了；3.留意以下性质：（）集合a1,a2,an的全部子集的个数是2n；要知道它的来历：如B 为 A 的子集,就对于元素a1来说,有2 种挑选（在或者不在）；同样,对于元素a2,a3,an,都有 2 种挑选,所以,总共有2n种挑选,即集合 A 有2n个子集；当然,我们也要留意到,这2n种情形之中,包含了这n 个元素全部在何全部不在的情形,故真子集个数为2n1,非空真子集个数为2n2（）如 ABABA,ABB；（3）德摩根定律：CUABCUACUB,CUA

3、BCUACUB有些版本可能是这种写法,遇到后要能够看懂4.你会用补集思想解决问题吗？（排除法、间接法）如：已知关于x的不等式ax50的解集为 M,如 3M且5M,求实数ax2a的取值范畴；（3M,a350a1,59,25）如告知你函数fx=ax2+bx+ca0 在,1上单23a5M,a550352a留意,有时候由集合本身就可以得到大量信息,做题时不要错过；名师归纳总结第 1 页,共 17 页-精选学习资料-调递减,在1,学习必备欢迎下载,也应当立刻可以想到m,n 实上单调递增,就应当立刻知道函数对称轴是x=1.或者,我说在上际上就是方程的 2 个根5、熟识命题的几种形式、可以判定真假的语句叫做

4、命题,规律连接词有“或”,“且”和“非”.如pq 为真,当且仅当p、均为真如pq 为真,当且仅当p、至少有一个为真如p 为真,当且仅当p 为假命题的四种形式及其相互关系是什么？（互为逆否关系的命题是等价命题；）原命题与逆否命题同真、同假；逆命题与否命题同真同假；6、熟识充要条件的性质（高考常常考）A x|x满意条件p,B x|x满意条件q,如；就p是q的充分非必要条件A _ B；如；就p是q的必要非充分条件A _ B；如；就p是q的充要条件A _ B；如；就p是q的既非充分又非必要条件_；7.对映射的概念明白吗？映射f：A B,是否留意到A 中元素的任意性和B 中与之对应元素的唯独性,哪几种对

5、应能构成映射？（一对一,多对一,答应B 中有元素无原象；）留意映射个数的求法；如集合A 中有 m 个元素,集合B 中有 n 个元素,就从A 到 B 的映射个数有nm个；如：如A,1 2 3,4,B a,b,c；问：A到B的映射有个,B到A的映射有个；A到B的函数有个,如A,1 2 3,就A到B的一一映射有个；函数yx 的图象与直线xa交点的个数为 个；8.函数的三要素是什么？如何比较两个函数是否相同？（定义域、对应法就、值域）相同函数的判定方法：表达式相同；定义域一样两点必需同时具备9.求函数的定义域有哪些常见类型？例：函数yx 4x2的定义域是（答：0,22,33,4）lg x3函数定义域求

6、法：分式中的分母不为零；偶次方根下的数（或式）大于或等于零；指数式的底数大于零且不等于一；对数式的底数大于零且不等于一,真数大于零；名师归纳总结正切函数ytanxxR,且xk2,k第 2 页,共 17 页-精选学习资料-余切函数ycot xxR,且xk,学习必备欢迎下载k反三角函数的定义域函数 yarcsinx 的定义域是1,1,值域是,函数 yarccosx 的定义域是1,1,值域是0,函数 yarctgx 的定义域是R,值域是.,函数 yarcctgx 的定义域是R,值域是0,.当以上几个方面有两个或两个以上同时显现时,先分别求出满意每一个条件的自变量的范畴,再取他们的交集,就得到函数的定

7、义域；10.如何求复合函数的定义域？如：函数 f x的定义域是a,b,ba0,就函数Fx f x f x 的定mg xn解出 x 的义域是 _；（答：a,a）复合函数定义域的求法：已知yfx的定义域为m,n,求yf g x的定义域,可由范畴,即为yf gx的定义域；1log2x2；例如函数yf x的定义域为1,2,就flog2x的定义域为；2分析：由函数yf x的定义域为1,2可知：1x2；所以yflog2x中有222解：依题意知：1log2x22解之,得2x4flog2x的定义域为x|2x411、函数值域的求法1、直接观看法对于一些比较简洁的函数,其值域可通过观看得到；例 求函数 y=2、配

8、方法1的值域x配方法是求二次函数值域最基本的方法之一；例、求函数y=2x-2x+5,x-1,2 的值域；3、判别式法对二次函数或者分式函数（分子或分母中有一个是二次）都可通用,但这类题型有时也可以用其他方法进行化简,不必拘泥在判别式上面下面,我把这一类型的具体写出来,期望大家能够看懂名师归纳总结-第 3 页,共 17 页精选学习资料-学习必备欢迎下载ayb2型：直接用不等式性质k+xb.yx2bx型,先化简,再用均值不等式mx n例：yx21111+xx+2xcyx2mxn型 通常用判别式x2mxnd.yx2xmxn型n法一：用判别式法二：用换元法,把分母替换掉例：yx2xx21（x+1）（x

9、+1）+1（x+1）x1112111x14、反函数法直接求函数的值域困难时,可以通过求其原函数的定义域来确定原函数的值域；例 求函数 y=3x4值域；5x65、函数有界性法直接求函数的值域困难时,可以利用已学过函数的有界性,来确定函数的值域；我们所说的单调性,最常用的就是三 角函数的单调性；例 求函数 y=ex1,y2sin1,y2sin1的值域；ex11sin1cosyxe1xe1y0 xe11yy2sin1|sin|1y|1,1sin2yy2sin12sin1y1 cos 1cos2sinycos1y4y2sinx1y,即sinx1y42y又由 sin x 1 知1y214y解不等式,求出

10、y,就是要求的答案6、函数单调性法通常和导数结合,是最近高考考的较多的一个内容x例求函数 y=25log3x1（2x10）的值域7、换元法通过简洁的换元把一个函数变为简洁函数,其题型特点是函数解析式含有根式或三角名师归纳总结-第 4 页,共 17 页精选学习资料-学习必备欢迎下载函数公式模型；换元法是数学方法中几种最主要方法之一,在求函数的值域中同样发挥作用；例 求函数 y=x+x1的值域；8 数形结合法其题型是函数解析式具有明显的某种几何意义,如两点的距离公式直线斜率等等,这类题目如运用数形结合法,往往会更加简洁,一目了然,赏心悦目；例：已知点P（x.y）在圆 x2+y2=1 上,1y 的取

11、值范畴x22y-2x 的取值范畴解:1 令 yk,就 y k x2,是一条过-2,0的直线.x2dR d 为圆心到直线的距离,R为半径 2令y-2 xb,即 y 2 xb 0,也是直线 d d R22例求函数 y=x 2+x8 的值域；解：原函数可化简得：y=x-2 +x+8上式可以看成数轴上点P（x）到定点 A（2）,B（-8）间的距离之和；由上图可知：当点P 在线段 AB上时,y=x-2 +x+8=AB=10当点 P在线段 AB的延长线或反向延长线上时,y=x-2 +x+8 AB=10故所求函数的值域为：10,+）22例求函数 y=x6 x 13+x4 x5的值域2222解：原函数可变形为

12、：y=x3 0 2+x2 01上式可看成x 轴上的点 P（x,0）到两定点A（3,2）,B（-2,-1）的距离之和,由图可知当点P为线段与 x 轴的交点时,ym in=AB=322 221=43,故所求函数的值域为43,+）；注：求两距离之和时,要将函数名师归纳总结-第 5 页,共 17 页精选学习资料-学习必备欢迎下载9、不等式法利用基本不等式a+b2ab,a+b+c 33 abc（a,b,cR）,求函数的最值,其题型特点解析式是和式时要求积为定值,解析式是积时要求和为定值,不过有时必要用到拆项、添项和两边平方等技巧；例：x22xx0313xx+3-2x3abc3时,留意使13者的乘积变成常

13、数）=x2x 3-2x0 x1.533x1应用公式=xxx 3-2xxa+b+cx3x 应用公式abcabc3时,应留意使3者之和变成常数）3倒数法有时,直接看不出函数的值域时,把它倒过来之后,你会发觉另一番境况例求函数 y=x2的值域21220y1x3yx2x3x20 时,1x21xyx2x2x20 时,=00y12多种方法综合运用总之,在具体求某个函数的值域时,第一要认真、认真观看其题型特点,然后再挑选恰当的方法,一般优先考虑 直接法,函数单调性法和基本不等式法,然后才考虑用其他各种特殊方法；12.求一个函数的解析式或一个函数的反函数时,注明函数的定义域了吗？切记：做题,特殊是做大题时,肯

14、定要留意附加条件,如定义域、单位等东西要记得协商,不要犯我当年的错误,与到手的满分失之交臂如：fx1exx,求 f x .令tx0 x1,就txt2110et21t2f t x21x2 f x e113.反函数存在的条件是什么？（一一对应函数）求反函数的步骤把握了吗？（反解 x；互换 x、y；注明定义域）名师归纳总结-第 6 页,共 17 页精选学习资料-如：求函数f x 1xx0 x0的反函数学习必备欢迎下载2x0（答：f1 x1xx1）x在更多时候,反函数的求法只是在挑选题中显现,这就为我们这些喜爱偷懒的人供应了大便利；请看这个例题：2004.全国理 函数yx1 1 x1 的反函数是（B）

15、A y=x2 2x+2x1By=x22x+2x1Cy=x22xx=1.排除选项 C,D.现在看值域；原函数至于为y=1,就反函数定义域为x=1,答案为 B.我题目已经做完了,似乎没有动笔（除非你拿来写*书）；思路能不能明白呢？14.反函数的性质有哪些？反函数性质：1、反函数的定义域是原函数的值域（可扩展为反函数中的x 对应原函数中的y）y=x 对称2、反函数的值域是原函数的定义域（可扩展为反函数中的y 对应原函数中的x）3、反函数的图像和原函数关于直线=x 对称（难怪点（x,y）和点（y,x）关于直线互为反函数的图象关于直线yx 对称；储存了原先函数的单调性、奇函数性；设 yfx的定义域为 A

16、,值域为 C,abA,bC,就 fa=bf1 af1f a f1a,f f1 f a由反函数的性质,可以快速的解出许多比较麻烦的题目,如（04.上海春季高考）已知函数f x log342,就方程f1x 4的解 x_.x15.如何用定义证明函数的单调性？（取值、作差、判正负）判定函数单调性的方法有三种：1 定义法：依据定义,设任意得x1,x2,找出 fx1,fx2 之间的大小关系可以变形为求f x1f x2的正负号或者f x1与 1 的关系x1x2f x22 参照图象：如函数fx的图象关于点 a,b 对称,函数fx 在关于点 a,0 的对称区间具有相同的单调性；（特例：奇函数）如函数 fx 的图

17、象关于直线 xa 对称,就函数 fx 在关于点 a,0 的对称区间里具有相反的单调性；（特例：偶函数）3 利用单调函数的性质：函数 fx 与 fx cc 是常数 是同向变化的函数 fx 与 cfxc是常数 ,当 c0 时,它们是同向变化的；当c0 时,它们是反向变化的；假如函数f1x,f2x 同向变化,就函数 f1x f2x和它们同向变化；（函数相加）假如正值函数f1x,f2x同向变化,就函数f1xf2x和它们同向变化；假如负值函数f12 与 f2x 同向变化,就函数f1xf2x 和它们反向变化；（函数相乘）名师归纳总结第 7 页,共 17 页-精选学习资料-函数 fx与f1 x在 fx的同号

18、区间里反向变化；学习必备欢迎下载如函数 u x,x ,与函数 yFu,u ,或 u ,同向变化,就在 ,上复合函数yF x是递增的；如函数u x,x ,与函数 yFu,u ,或 u ,反向变化,就在 ,上复合函数yF x是递减的；（同增异减）如函数 yfx 是严格单调的,就其反函数xf1y 也是严格单调的,而且,它们的增减性相同；fggxfgxfx+gxfx*gx都 是 正数如：求 ylog1x22 x的单调区间增增增增增2增减减/减增减/减减增减减（设 ux22 x,由 u0 就 0 x2且log1u,u x11,如图：2uO12x当x0,1 时,u,又log1u,y2当x 1,2时,u,又

19、log1u,y2）16.如何利用导数判定函数的单调性？在区间 a,b内,如总有f 0 就 f x 为增函数；（在个别点上导数等于零,不影响函数的单调性）,反之也对,如f 0 呢？3如：已知a0,函数 f x xax 在1,上是单调增函数,就a 的最大值是（）A.0（令 f x 3x2a3 xaxa033就xa或xa33f x在3名师归纳总结-精选学习资料-a 的最大值为3）学习必备欢迎下载17.函数 fx 具有奇偶性的必要（非充分）条件是什么？（fx 定义域关于原点对称）如fxf x 总成立f x 为奇函数函数图象关于原点对称如fx f x总成立f x 为偶函数函数图象关于 y轴对称留意如下结

20、论：（1）在公共定义域内：两个奇函数的乘积是偶函数；两个偶函数的乘积是偶函数；一个偶函数与奇函数的乘积是奇函数；求（）如fx是奇函数且定义域中有原点,就f00；f x 42x1,如：如f x a2xa2为奇函数,就实数a2x1,1时,（f x为奇函数,xR,又 0R,f 0即a20a20,a1）021又如：f x为定义在 1,1上的奇函数,当x 0 xf x在1,1上的解析式；（令 x1,0,就x0,1,f x42x1x又 f x为奇函数,f x 42x112xxx42xx 1,0又f0,f x 44x11x0,1）2xx0 x判定函数奇偶性的方法一、定义域法一个函数是奇（偶）函数,其定义域必

21、关于原点对称,它是函数为奇（偶）函数的必要条件.如函数的定义域不关于原点对称,就函数为非奇非偶函数.二、奇偶函数定义法在给定函数的定义域关于原点对称的前提下,运算f x,然后依据函数的奇偶性的定义判定其奇偶性.名师归纳总结第 9 页,共 17 页-精选学习资料-学习必备欢迎下载这种方法可以做如下变形三、fx+f-x=0奇函数fx+gxfx*gxfx-f-x=0偶函数fxf-x1偶函数fxf-x1奇函数复合函数奇偶性fggxfgx奇奇奇奇偶奇偶偶非 奇 非奇偶偶奇偶非 奇 非奇偶偶偶T（T偶偶f xT偶f x18.你熟识周期函数的定义（如存在实数0）,在定义域内总有f x,就吗？为周期函数,T

22、是一个周期；）如：如 f xaf x ,就（答：f x 是周期函数,T 2 a 为 f x 的一个周期）我们在做题的时候,常常会遇到这样的情形：告知你fx+fx+t=0,我们要立刻反应过来,这时说这个函数周期2t.推f x f xt 0导：f xt f x2 0f x f x 2,同时可能也会遇到这种样子：fx=f2a-x,或者说 fa-x=fa+x.其实这都是说同样一个意思：函数fx 关于直线对称,对称轴可以由括号内的2 个数字相加再除以2 得到；比如,fx=f2a-x,或者说 fa-x=fa+x 就都表示函数关于直线x=a对称；又如：如 f x 图象有两条对称轴xa,xb,即f axf a

23、x,f bxf bx f x f 2axf 2ax f 2bxf x f 2bx令t2 a x,就 2bxt2 b 2,a f t f t 2 b2 即f xf x 2 b2 所以 函数 f x 以 2|ba|为周期 因不知道a b 的大小关系为保守起见 我加了一个肯定值如：19.你把握常用的图象变换了吗？名师归纳总结-第 10 页,共 17 页精选学习资料-学习必备欢迎下载f x 与 f x 的图象关于y 轴 对称联想点（x,y）,-x,yf x 与f x 的图象关于x 轴 对称联想点（x,y）,x,-yf x 与 f x 的图象关于 原点 对称联想点（x,y）,-x,-y1f x 与 f

24、的图象关于直线 yx对称联想点（x,y）,y,xf x 与 f 2 ax 的图象关于 直线 xa 对称联想点（x,y）,2a-x,yf x 与 f 2 ax 的图象关于 点 a,0 对称联想点（x,y）,2a-x,0将 yf x 图象左移 a a0 个单位 yf xa 右移 a a 0 个单位 yf xa 上移 b b 0 个单位yf xa b下移 b b 0 个单位yf xa b（这是书上的方法,虽然我从来不用,但可能大家接触最多,我仍是写出来吧；对于这种题目,其实根本不用这么麻烦；你要判定函数y-b=fx+a 怎么由 y=fx 得到,可以直接令y-b=0,x+a=0,画出点的坐标；看点和原

25、点的关系,就可以很直观的看出函数平移的轨迹了；）留意如下“翻折”变换：fx|f x 把 轴下方的图像翻到上面|xfxf|x 把 轴右方的图像翻到上面|y如：f x log2x1作出ylog2x1 及ylog2x1的图象yy=log2xO1x19.你娴熟把握常用函数的图象和性质了吗？k0y=bOOa,bxx=a名师归纳总结-第 11 页,共 17 页精选学习资料-学习必备欢迎下载（）一次函数：ykxb k0k 为斜率,b 为直线与 y 轴的交点 kk（2）反比例函数：yk0 推广为 ybk0 是中心 O a,b xxa的双曲线；222b4 ac b（）二次函数 yaxbxc a0a x图象为抛物

26、线2 a4 ab4 ac b2b顶点坐标为,对称轴 x2 a4 a2 a24 acb开口方向：a0,向上,函数ymin4 a2a0,向下,ymax4 acb4 a根的关系：xb2 abcx1x2,x1x2,|x1x2|aa|a|二次函数的几种表达形式：f x ax2bxc一般式轴f x a xm2n顶点式,（m,）为顶点 nf x a x x1xx2x x2是方程的2个根）f x a x x1xx2 h 函数经过点（xh,x2,应用：“三个二次”（二次函数、二次方程、二次不等式）的关系二次方程ax2bxc0,0 时,两根 x1、x2为二次函数yax2bxc的图象与 x的两个交点,也是二次不等式

27、ax2bxc0 0解集的端点值；求闭区间 m,n上的最值；区间在对称轴左边（nb）f m axf m,fm i n fn2a区间在对称轴右边（mb）fm a xfn,fm i n fm2a区间在对称轴2 边（nbm）2af m i n4 acab2f,m a x m a x f n,4也可以比较m,n 和对称轴的关系,距离越远,值越大 只争论a0的情形）求区间定（动）,对称轴动（定）的最值问题；一元二次方程根的分布问题；名师归纳总结-第 12 页,共 17 页精选学习资料-学习必备欢迎下载0如：二次方程ax2bxc0的两根都大于kbk2af k 0ya0Okx1x2x一根大于k,一根小于 kf

28、 k 00在区间（m,）内有 根mbn（）指数函数：yaxa0,a12 af m 0f n 00y=axa1在区间（m,）内有 1根f m f n（）对数函数 ylogax a0,a1由图象记性质！（留意底数的限定！）y0a11O1x0a0 且 a 1）-f（xy）f（x）f（y）；f（x）f（x）f（y）y5.三角函数型的抽象函数f x f y f（x）tgx-f（xy）1f x f y f x f y 1f（x）cotx-f（xy）f x f y 例 1 已知函数 f（x）对任意实数x、y 均有 f（xy）f（x）f（y）,且当 x0 时,fx0,f1 2 求 fx在区间 2,1上的值域.

29、分析：先证明函数f（x）在 R 上是增函数（留意到f（x2）f（x2x1）x1f（x2x1）f（x1）；再依据区间求其值域.例 2 已知函数 f（x）对任意实数x、y 均有 f（xy）2f（x）f（y）,且当 x0 时,fx2,f3 5,求不等式 f（a22a2）0,xN；f（ab）f（a）f（b）,a、bN；f（2）4.同时成立？如存在,求出f（x）的解析式,如不存在,说明理由.分析：先猜出f（x）2x；再用数学归纳法证明.例 6 设 f（x）是定义在（0,）上的单调增函数,满意f（xy）f（x）f（y）,f（3）1,求：（1）f（1）；（2）如 f（x）f（x8）2,求 x 的取值范畴.分

30、析：（1）利用 31 3；（2）利用函数的单调性和已知关系式.g（b）是第 15 页,共 17 页例 7 设函数 y f（x）的反函数是yg（x）.假如 f（ab）f（a）f（b）,那么 g（a b）g（a）名师归纳总结-精选学习资料-否正确,试说明理由.学习必备欢迎下载分析：设 f（a）m,f（b）n,就 g（m）a,g（n）b,进而 m nf（a）f（b）f（ab）f g（m）g（n）.例 8 已知函数 f（x）的定义域关于原点对称,且满意以下三个条件：x1、x2是定义域中的数时,有f（x1x2）f x1 f x2x11；f x2 f f（a）1（a0,a 是定义域中的一个数）；当 0 x

31、2a 时,f（x）0.试问：（1）f（x）的奇偶性如何？说明理由；.（2）在（0,4a）上,f（x）的单调性如何？说明理由分析：（1）利用 f（x1x2）f（x1x2）,判定 f（x）是奇函数；（3）先证明 f（x）在（0,2a）上是增函数,再证明其在（2a,4a）上也是增函数.对于抽象函数的解答题,虽然不行用特殊模型代替求解,但可用特殊模型懂得题意.有些抽象函数问题,对应的特殊模型不是我们熟识的基本初等函数.因此,针对不同的函数要进行适当变通,去寻求特殊模型,从而更好地解决抽象函数问题.例 9 已知函数 f（x）（x 0）满意 f（xy）f（x）f（y）,（1）求证：f（1）f（1）0；（2

32、）求证：f（x）为偶函数；（3）如 f（x）在（0,）上是增函数,解不等式f（x）f（x1）0.2分析：函数模型为：f（x）loga|x|（a0）（1）先令 xy1,再令 xy 1；（2）令 y 1；（3）由 f（x）为偶函数,就f（x）f（|x|）.例 10 已知函数 f（x）对一切实数x、y 满意 f（0）0,f（xy）f（x）f（y）,且当 x0 时,f（x）1,求证：（1）当 x0 时,0f（x）1；（2）f（x）在 xR 上是减函数.分析：（1）先令 xy 0 得 f（0）1,再令 y x；（3）受指数函数单调性的启示：f x,由 f（x y）f（x）f（y）可得 f（xy）f y进

33、而由 x1x2,有f x1f（x1x2）1.f x2练习题：1.已知：f（xy）f（x）f（y）对任意实数x、y 都成立,就（）第 16 页,共 17 页（A）f（0）0（B）f（0）1（C）f（0）0 或 1（D）以上都不对2.如对任意实数x、y 总有 f（xy）f（x）f（y）,就以下各式中错误选项（A）f（1）0（B）f（1）xf（x）（C）f（x）yf（x）f（y）（D）f（xn）nf（x）（nN）名师归纳总结-精选学习资料-学习必备欢迎下载3.已知函数 f（x）对一切实数x、y 满意：f（0）0,f（xy）f（x）f（y）,且当 x0 时,f（x）1,就当 x0时,f（x）的取值范畴

34、是（）（A）（1,）（B）（,1）（C）（0,1）（D）（1,）4.函数 f（x）定义域关于原点对称,且对定义域内不同的x1、x2都有f x1 f x2f（x1x2）,就 f（x）为（）1f x1 f x2（A）奇函数非偶函数（B）偶函数非奇函数（C）既是奇函数又是偶函数（D）非奇非偶函数5.已知不恒为零的函数f（x）对任意实数x、y 满意 f（xy）f（xy）2f（x）f（y）,就函数 f（x）是（）（A）奇函数非偶函数（B）偶函数非奇函数（C）既是奇函数又是偶函数（D）非奇非偶函数参考答案：O1 弧度R1A2B3 C4A5B23.你记得弧度的定义吗？能写出圆心角为,半径为R 的弧长公式和扇形面积公式吗？R2）和三角形的面积公式很相像,（lR,S扇1l R122R可以比较记忆.要知道圆锥绽开图面积的求法-