《高等数学（一元函数微分学2》考点精讲例题解析.docx

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1、高等数学（一元函数微分学2考点精讲例题解析一、主要内容1.导数的概念，导数的几何意义，平面曲线的切线方程和法线方程，左、右导数的概念及函数可导的充要条件.可导与连续的关系2.导数的四则运算法则和复合函数的求导法则，基本初等函数的求导公式.3.隐函数和由参数方程所确定的函数的一、二阶导数，反函数的导数.4.高阶导数的概念，莱布尼兹公式.5.微分的概念，函数微分的几何意义，微分的四则运算法则和一阶微分不变性.6.罗尔定理、拉格朗日中值定理7.洛必达法则.8.函数的单调性与曲线的凹凸性.9.函数的极值与最值.10.函数图形的描绘.二、学习要求1.深刻理解导数的概念，理解导数的几何意义，会求平面曲线的

2、切线方程和法线方程，了解左、右导数的概念及函数可导的充要条件.2.掌握导数的四则运算法则和复合函数的求导法则，掌握基本初等函数的求导公式，会求初等函数和分段函数的导数.3.会求隐函数和由参数方程所确定的函数的一、二阶导数，会求反函数的导数.4.理解高阶导数的概念，了解莱布尼兹公式，会求简单函数的n阶导数.5.深刻理解微分的概念，理解导数与连续、微分的关系，了解函数微分的几何意义，了解微分的四则运算法则和一阶微分不变性.6.会求函数的微分.7.理解罗尔定理、拉格朗日中值定理，会利用微分中值证明简单的不等式及方程解的存在性.8.熟练掌握用洛必达法则求各种类型的未定式的极限的方法.9.掌握单调性、凹

3、凸性的判别，会利用它们证明某些不等式及方程解的唯一性.10.理解函数的极值概念，掌握求极值和最值和拐点的方法，会求简单实际问题的最值.2.解题指导1. 利用导数定义求导数或微分例1 求下列函数在指定点处的导数或微分：(1) 设，求；(2)设在连续且，求.解题思路： 由导数与微分的关系，求函数在一点处的导数或微分，一般是利用公式及法则先求出导函数，再将代入计算导函数在处的函数值，但有时直接利用导数定义反而简便。本例第(1)题若先用四则运算法则求导数则麻烦，第(2)题由于仅有在连续而是否可导未知，不满足求导法则的条件，故考虑利用导数定义求解。解：(1) 显然，则 .(2) 因为，而 ，所以 .例2

4、 讨论函数在处的可导性。分析：讨论分段函数在衔接点处是否可导，一般是先判断函数在该点是否连续，若不连续则必不可导；若连续，则用导数定义或左右导数是否存在与相等进行判断。解：因为且 ，所以在连续。又 ，而 ， ，所以不存在，即在不可导。例3 设，求.分析：这是含有绝对值符号函数的求导问题，一般是先去掉绝对值符号将其化为分段函数，然后对各区间段的函数利用初等函数求导法则求导数，再对衔接点利用导数定义求导数。解：因为当时，有而 ， ，所以不存在，从而 例4 设问为何值时处处可导并求.解题思路：与已知极限存在或函数在某点连续确定函数表达式中的常数一样，这类问题需用导数定义求解，注意到可导必连续，因此利

5、用在连续与可导条件建立常数和所满足的代数方程组，然后解方程组使问题得以解决。解：由初等函数的可导性，只要在可导，则处处可导，当时可导则必连续，故有 因为 ，所以.又 ， ，故，即.综上所述，当，时处处可导，且 2. 利用法则与公式求导数或微分例5 解下面题目：设，求；解题思路：这是一组复合函数求导数问题，关键是弄清楚函数的复合关系，从外层到里层逐层求导。当已知函数既有复合运算也有四则运算时，应根据函数的表达式决定先用四则运算求导法则还是复合函数求导法则，有时也可利用对数求导法或一阶微分形式不变性简化运算。解：(1) 由，只要求出即可。利用乘法法则与复合函数求导法则有 ，所以 .例6 求下列函数

6、的导数：（1）设函数由方程所确定，求；（2）设函数由方程所确定，求.分析： 这是一组隐函数求导数的问题，一般用学习指导中所叙方法1求解。对题，注意由可得，求即为求曲线上点处的导数。对题，由于函数已就解出，故视为函数，为自变量，对求导数得，再利用反函数求导法则得.解： 将代入方程得，从而.对方程两边关于求导数，得 ，将，代入得，所以为所求。 对方程两边关于变量求导数，得 ，由反函数求导法则得 .说明 题中求可由式解出后再将，代入，但计算较繁琐，这表明选择合适的代入时间可简化计算。 题的结果中是的函数，不必将其化为的函数形式，这表明对隐函数求导数，结果中允许出现变量.注意对复合函数求导数，结果中不

7、能有中间变量而必须化为用自变量表示的形式。例7 设 求.分析：注意到函数是由方程所确定的隐函数，函数由参数方程所确定，故求，需先由隐函数求导法则求出，再由参数方程求导法则求解。解：由已知条件知，当时，.对方程两边关于求导，得 ， 解得 .而 ，所以 .将代入，得 .3. 求高阶导数例8 设函数由方程所确定，求.分析：这是隐函数求二阶导数的问题，由隐函数求导法则可得，于是可用两种方法求.解：对已知方程两边关于求导数，得 可用两种方法求得.方法1 由式解得，注意到，故由商的求导公式得 .方法2 注意到及都是的函数，对式两边关于求导数，得 ，解得 .例9 求下列函数的阶导数： ； .解题思路：求阶导

8、数的方法有直接法与间接法。所谓直接法，是指先求出已知函数的一阶到三阶或四阶导数后，从中寻找规律写出阶导数的一般形式；所谓间接法，是指对已知函数通过四则运算、变量代换等方法，利用几个常用函数的阶导数公式进行求解。间接法是常用方法，应注意掌握。解： 用直接法求解，因为， ， ，归纳可得. 用间接法求解。方法1 因为，利用 有 ，于是 .方法2 因为，所以利用有 ， 即 .说明：对题，若利用莱布尼茨公式可用间接法求，但结果的形式较复杂且不易合并。对题，若用直接法，即由求，则不易归纳出阶导数的一般形式，且两种方法表明，同一函数可用不同的公式求解。4. 导数的应用例10 设是可导函数，且，求.分析：这是

9、型的极限，注意到，且时，利用导数定义与等价无穷小求解。解： .例11 设在有定义且，又对任意正实数，有，求.分析：已知在某区间有定义且存在，求这类题型的一般方法是，先由附加条件求出，再利用导数定义求出导函数，进而求出.解：令，由得，又 ，所以.将代入得，故为所求。例12 设函数是由方程所确定的隐函数，求时的切线方程。解：将代入已知方程，得，问题为求点处的切线方程，对方程两边关于求导，得 .将，代入上式，得，从而，故所求切线方程为，即 .例13 设求.错解：当时，.当时，由上式得不存在，故考察.因为，不存在，所以不存在，从而不存在。故 分析：当时，由于 ，所以在可导且.上面求解中所得的错误结果不

10、存在是由于错将极限值与函数值等同起来。事实上，是在时求得的，因此不能用它在无意义去判定在不可导，而由不存在也不能推出不存在，因为极限值不存在并不能说明函数值不存在。正解：当时，；当时 ，故 例14 设求.错解：因为时，时，所以，故. 分析：因为，所以不存在，从而是间断点，即在不连续，故在不可导。上面错解误将分段函数在分界点处的导数与初等函数在点求导数等同处理，从而产生错解.正解：方法1 因为，所以不存在，故在不连续，从而在不可导，故不存在。方法2 因为，即不存在，从而不存在。例15 设，求.错解：， .分析：上述求解过程中，一阶导数的求法正确但二阶导数的求法错误。这是因为是再对求导而不是对求导

11、，正确解法应为 .正解： ， 自测题自测题2.11. 填空题（28分）：函数在可导的必要条件是在该点 ；设为可微函数，则 ；设，则 ；设 当 时在可导；设是由方程所确定的隐函数，则 ；设则 ；设，则 。2. 解下列各题（42分）：已知，求；设，求；设，求；设由方程组 所确定，求；设由方程所确定，求；已知，求。3.求曲线 在处的切线方程，（8分）4.讨论函数 在处的连续性与可微性。（8分）5.设对任意实数和，函数满足等式且，证明：.（7分）6.证明：若在处不连续，则在处必不可导。（7分）自测题2.21. 填空（20分）：设，则 ；设是由方程所确定的隐函数，则 ；设，则 ；设是可导函数，且，则曲线

12、在点处的切线斜率是 ；设，则使存在的最高阶导数 。2.解下列各题（40分）：设二阶可导，且，求 ； 设，求；设，求；设由确定，求，；设，求 ；3.求过点并与曲线相切的直线方程，（10分）4.设在上处处可导，且存在，若函数 求。（10分）5.已知在有定义，且对任意都有，当时，试判断在处的可导性。（10分）6.设，且，证明： 。（10分）中值定理与导数的应用4.1 微分中值定理定义4.1.1 设在的某一邻域内有定义，若对一切有 则称在取得极小(大)值，称是的极小(大)值点，极小值和极大值统称为极值，极小值点和极大值点统称为极值点定理4.1.1（费马定理） 若在可导，且在取得极值，则xx图 41费马

13、定理的几何意义如图4-1所示：若曲线在取得极大值或极小值，且曲线在有切线，则此切线必平行于轴习惯上我们称使得的为的驻点定理4.1.1表明：可导函数在取得极值的必要条件是为的驻点定理4.1.2 （罗尔中值定理） 若在上连续，在内可导且，则在内至少存在一点，使得罗尔中值定理的几何意义：在两端高度相同的一段连续曲线上，若除端点外它在每一点都有不垂直于轴的切线，则在其中必至少有一条切线平行于轴例1 不用求出函数的导数，说明有几个实根，并指出它们所在的位置解：由于是内的可导函数，且，故在区间上分别满足罗尔中值定理的条件，从而推出至少存在，使得又因为是三次代数方程，它最多只有个实根，因此有且仅有个实根，它

14、们分别位于区间内例2 设，证明多项式在内至少有一个零点证:令 则，且由假设知，可见在区间上满足罗尔中值定理的条件，从而推出至少存在一点，使得 即说明是的一个零点定理4.1.3（拉格朗日中值定理）若在上连续，在内可导，则在内至少存在一点，使得 (1.1)从这个定理的条件与结论可见，若在上满足拉格朗日中值定理的条件，则当时，即得出罗尔中值定理的结论，因此说罗尔中值定理是拉格朗日中值定理的一个特殊情形 例3 证明：若在区间内可导，且，则在内是一个常数证：在区间内任取一点，对任意，在以与为端点的区间上应用拉格朗日中值定理，得到其中介于与之间由假设知，故得，即这就说明在区间内恒为常数例4证明：若在上连续

15、，在内可导，且，则在上严格单增证：任取，且，对在区间上应用拉格朗日中值定理，得到 由假设知，且，故从上式推出，即所以在上严格单增类似可证：若，则在上严格单减例6 证明不等式对一切成立证：令，对任意，在上满足拉格朗日中值定理的条件，从而推出至少存在一点，使得由于，上式即又由，可得因此当时就有4.2 洛必达法则定理4.2.1 ( 洛必达法则I ) 若(1) ，；(2) 与在的某去心邻域内可导，且；(3) 存在，（或为），则例1 求下列极限：(1) (2) (3) (4) 解：由洛比达法则可得(1) (2) (3) (4) 例2 求下列极限：(1) (为正整数)；(2) (为正整数)；(3) ；(4

16、) 解：(1) 由于 ，所以 (2) 由于，所以 (3) (4) 由于 ，且 ，所以对于其它类型的未定式，如等类型，我们可以通过恒等变形或简单变换将它们转化为或型，再应用洛比达法则例3 求下列极限：(1) (2) (3) (4) (5) 解：(1) (2) (3) 由于，所以(4) 由(1)得 ，所以 (5) 由于 ，所以我们已经看到，洛比达法则是确定未定式的一种重要且简便的方法使用洛比达法则时我们应注意检验定理中的条件，然后一般要整理化简；如仍属未定式，可以继续使用使用中应注意结合运用其他求极限的方法，如等价无穷小替换，作恒等变形或适当的变量代换等，以简化运算过程此外，还应注意到洛比达法则的

17、条件是充分的，并非必要如果所求极限不满足其条件时，则应考虑改用其它求极限的方法例4 极限存在吗?能否用洛比达法则求其极限?解：，即极限存在但不能用洛比达法则求出其极限因为尽管是型，可是若对分子分母分别求导后得，由于不存在，故不能使用洛比达法则4.3 函数的单调性与极值1. 函数单调性判别法单调函数是一个重要的函数类本节将讨论单调函数与其导函数之间的关系，从而提供一种判别函数单调性的方法4.1的例4已给出函数在上严格单调的充分条件，其实我们有更一般的结论定理4.3.1 设在上连续，在内可导，则在上严格单增（严格单减）的充要条件是在内（或），且在内任何子区间上不难看出定理中的闭区间可以换成其他各种

18、区间，相应的结论亦成立例1 判定函数的单调性解：在上连续，在内可导： 且等号仅当时成立所以由定理4.4.1推知在上严格单增我们还可以利用函数的单调性证明不等式例2 证明：当时，证：令，则在上连续，在内可导，且，故在上严格单增，从而对任意，都有即当时，作为练习我们容易证明下述定理定理4.3.2 设在上连续，在内可导，则在上单增(单减)的充要条件是 (或)2. 函数的极值由费马定理我们知道，可导函数的极值点一定是它的驻点但是反过来却不一定例如是函数的驻点，可它并不是极值点，因为是一个严格单增函数所以只是可导函数在取得极值的必要条件，并非充分条件另外，对于导数不存在的点，函数也可能取得极值例如，它在

19、处导数不存在，但在该点却取得极小值0综上所论，我们只须从函数的驻点或导数不存在的点中去寻求函数的极值点，进而求出函数的极值定理4.3.3（极值的第一充分条件） 设在连续，且在的去心邻域内可导(1) 若当时，当时，则在取得极大值；(2) 若当时，当时，则在取得极小值；(3) 若对一切都有(或)，则在不取极值例3 求的极值点与极值解：在内连续，当时，有令得驻点当时，函数的导数不存在列表讨论如下(表中表示单增，表示单减)： +不存在 0 + 极大值 极小值 故得函数的极大值点，极大值；极小值点，极小值顺便指出，我们也可以利用函数的驻点及导数不存在的点来确定函数的单调区间例如上例中函数的单增区间为及；

20、单减区间为当函数二阶可导时，我们也往往利用二阶导数的符号来判断的驻点是否为极值点定理4.3.4(极值的第二充分条件) 设在二阶可导，且(1) 若，则在取得极大值；(2) 若，则在取得极小值例4 试问为何值时，函数在处取得极值？它是极大值还是极小值？求此极值解：由假设知，从而有，即又当时，且，所以在处取得极大值，且极大值3. 函数的最大值与最小值及其应用问题根据闭区间上连续函数的性质，若函数在上连续，则在上必取得最大值和最小值本段将讨论这样求出函数的最大值和最小值对于可导函数来说，若在区间内的一点取得最大(小)值，则在不仅有即是的驻点，而且为的极值点一般而言，最大(小)值还可能在区间端点或不可导

21、点上取得因此，若在上至多有有限个驻点及不可导点，为了避免对极值的考察，可直接比较这三种点的函数值即可求得最大值和最小值例5 求函数在上的最大值与最小值解：在上连续，故必存在最大值与最小值令 ，得驻点和，因为 所以在取得最大值10，在取得极小值 在求最大(小)值的问题中，值得指出的是下述特殊情形：设在某区间上连续，在内可导，且有唯一的驻点如果还是的极值点，则由函数单调性判别法推知，当是极大值时，就是在上的最大值；当是极小值时，就是在上的最小值例6 求数列的最大项解：设则 令得当时当时所以在时取得极大值由于是唯一的驻点，故为在内的最大值直接比较与有，从而推知是数列的最大项如果遇到实际生活中的最大值

22、或最小值问题，则首先应建立起目标函数(即欲求其最值的那个函数)，并确定其定义区间，将它转化为函数的最值问题特别地，如果所考虑的实际问题存在最大值(或最小值)，并且所建立的目标函数有唯一的驻点，则必为所求的最大值(或最小值)4.4 函数图形的讨论在讨论函数图形之前先研究曲线的几种特性. 曲线的凸性4.4对函数的单调性、极值、最大值与最小值进行了讨论，使我们知道了函数变化的大致情况但这还不够，因为同属单增的两个可导函数的图形，虽然从左到右曲线都在上升，但它们的弯曲方向却可以不同如图44中的曲线为向下凸，而图45中的曲线为向上凸 图 44 图 45定义4.4.1 设在内可导，若曲线位于其每点处切线的

23、上方，则称它为在内下凸(或上凹)；若曲线位于其每点处切线的下方，则称它在内上凸(或下凹)相应地，也称函数分别为内的下凸函数和上凸函数(通常把下凸函数称为凸函数)从图44和图45明显看出，下凸曲线的斜率(其中为切线的倾角)随着的增大而增大，即为单增函数；上凸曲线斜率随着的增大而减小，也就是说，为单减函数但的单调性可由二阶导数来判定，因此有下述定理定理4.4.1 若在内二阶可导，则曲线在内下凸(上凸)的充要条件是 () ，定理4.4.1中所指的曲线在内下凸(或上凹)，包括出现这样的情形，即曲线可能在内某个小区间上为直线段，如果把这种情形排除在外，即规定除切点外，曲线上纵坐标的值总大（或小）于切线上

24、相应纵坐标的值，这时我们就说曲线是严格下凸(或严格上凸)对于这种严格凸性来说，定理4.5.1的充要条件中，除指出 ()，之外，还必须增加要求：在内的任何子区间上例1 讨论高斯曲线的凸性解：，所以当，即当或时；当，即当时因此在区间与内曲线下凸；在区间内曲线上凸2. 拐点定义4.4.2 曲线上的下凸与上凸部分的分界点称为该曲线的拐点根据例1的讨论即知，点与都是高斯曲线的拐点我们从定义4.5.1及其说明部分已经看出利用二阶导数研究曲线的凸性与利用一阶导数研究函数的单调性，两者有相对应的结果其实曲线的拐点同样有类似于函数极值点的性质，也是利用更高一阶导数而得出的定理4.4.2（拐点的必要条件） 若在某

25、邻域内二阶可导，且为曲线的拐点，则下面是判别拐点的两个充分条件定理4.4.3 设在某邻域内二阶可导，若在的左、右两侧分别有确定的符号，并且符号相反，则是曲线的拐点，若符号相同，则不是拐点定理4.4.4 设在三阶可导，且，则是曲线的拐点此外对于的二阶不可导点，也有可能是曲线的拐点例2 求曲线的拐点解：在内连续当时，；当时，不存在由于在内，在内，因此曲线在内下凸，在内上凸按拐点的定义可知点是曲线的拐点 综上所述，寻求曲线的拐点，只需先找到使得的点及二阶不可导点，然后再按定理4.5.3或4.5.4去判定3. 渐近线当函数的定义域或值域含有无穷区间时，要在有限的平面上作出它的图形就必须指出趋于无穷时或

26、趋于无穷时曲线的趋势，因此有必要讨论的渐近线定义4.4.3 设的定义域含有无穷区间，若 ， (5.1) 则称是在时的斜渐近线，当时，为的水平渐近线若 ，则称为的垂直渐近线类似地可以定义时的斜渐近线注意到(5.1)式与 (5.2)显然是等价的，而(5.2)又等价于 由此推出 上式中令，取极限便得 (5.3)因此，渐近线的斜率和截距可以分别由(5.3)和(5.2)依次求得例3 求下列曲线的渐近线(1) ； (2) 解：(1) 的定义域为，且 ，, 所以在时有斜渐近线，在时有斜渐近线(2) 的定义域是由于 ，所以有水平渐近线和垂直渐近线习 题1、 证明（）。2、某厂生产电视机，固定成本为元，每生产一

27、台电视机，成本增加元，已知总收益R是年产量的函数 ,问每年生产多少电视机时，总利润最大？此时总利润是多少？ 3、证明:有不等式 （4）. 4、确定抛物线方程中的常数,使其与直线在处相切.5、设函数处有极小值-10,求常数, 6、三次函数当时有极小值0,又:曲线上点(1,8)处的切线过(3,0)点.求的表达式7、设在0，1可导，且， 证明存在，使。8、对任意满足的x， 都有9、满足关系式，且, ，则在点处（ ） A.取得极大值 B.取得最小值 C.在某邻域内单增 D.在某邻域内单减10、已知函数对一切满足，如，则（ ）A.是的极小值B.是的极大值 C.是曲线的拐点D.不是的极值，也不是曲线 的拐点11、设函数在的某邻域内可导，则是的极 值。12、在抛物线上的第一象限部分求一点P，过P点作切线，使该切线与坐标轴所围成的三角形面积最小。 13、当证明14、在上可导，且单调减，证明： ，。