《高等数学》向量代数与空间解析几何考点精讲与例题解析.docx

《《高等数学》向量代数与空间解析几何考点精讲与例题解析.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《《高等数学》向量代数与空间解析几何考点精讲与例题解析.docx（18页珍藏版）》请在淘文阁 - 分享文档赚钱的网站上搜索。

1、 高等数学向量代数与空间解析几何考点精讲与例题解析考纲要求1. 要求（一）向量代数 （1）理解向量的概念，掌握向量的表示，会求向量的模、非零向量的方向余弦和非零向量在轴上的投影。 （2）掌握向量的线性运算（加法运算与数量乘法运算） （3）会求向量的数量积与向量积 （4）会求两个非零向量的夹角，掌握两个非零向量平行、垂直的充分必要条件（二）平面与直线（1）会求平面的点法式方程、一般方程，会判定两个平面的位置关系（2）会求点到平面的距离（3）会求直线的点向式方程、一般方程和参数式方程。会判定两条直线的位置关系（4）会求点到直线的距离、两条异面直线之间的距离（5）会判定直线与平面的位置关系1. 向量

2、及其线性运算一、向量及其表示的主要内容向量的概念既有大小又有方向的量，称为向量（1）与起点位置无关而只与大小和方向有关的向量，称为自由向量（2）向量的大小（或长度），称为向量的模（3）模为1的向量，称为单位向量（4）模为0的向量，称为零向量，记作（5）与大小相等方向相反的向量称为的负向量，记作（6）若两向量模相等方向相同, 则与相等（7）若与方向相同或相反，则称与平行，记作/ 向量的线性运算（1）向量的加法：三角形法则，把向量的起点移到向量的终点，则以的起点为起点b的终点为终点的向量,称为与的和向量，记做.（2）向量的减法：若把两向量与移到同一起点，则从的终点向的终点引向量，即是与的差（3）向

3、量与数的乘法: 实数与向量的乘积是一个向量，记做, 它的模为：|=|方向为如下规定：当时，与同向；当时, 与反向；当时, 为零向量运算性质设为实数 加法交换律 加法结合律 数乘结合律()=()=() 分配律()=, ()=+ 设b是非零向量，则b存在唯一实数,使向量的坐标表示（1）向量的坐标表示式：（2）向量按基本向量的分解式：，分别称为在轴上的分向量.向量运算的坐标表示（*）设，则（1）（2）（3）（4）当时，；（其中为的方向角，方向角余弦的平方和为1）（5）当时，与同向的单位向量为=（6）（其中为向量与轴的夹角）空间中两点之间的距离公式设，为空间中的两点，则点与点之间的距离为二、配套例题1

4、. 判断题（1）与非零向量同向的单位向量只有1个.（2）与非零向量共线的单位向量只有1个.（3）是单位向量；（4）是单位向量；(5) 与三坐标轴的正向夹角相等的向量,其方向角为解:（1）对. （2）错.与非零向量共线的单位向量有两个为. (3)错因为，所以不是单位向量 (4)对由于，故是单位向量 (5)错因为任何一个向量的三个方向角应满足关系式，而，事实上，均以作为方向角的向量是根本不存在的2. 选择题（1）点到轴的距离为( )A. B. C. D. （2）点在第 卦限A I B. IV C. V D. VIII（3）设为非零向量，且, 则必有（ ）A. B.C. D. （4）设向量相平行，但

5、方向相反，则当时，必有（ ）A. B. C. D. 解:（1）选C点在轴上的投影为,故点到轴的距离为.(2) 点在第四卦限,答案B正确.(3) 选C. 当为非零向量，且，则以 为两邻边的平行四边形是矩形。而矩形的两条对角线长度相等，故必有(4) 选A. 以及为三条边的三角形的边长，必须满足关系式.但是，当互相平行，方向相反，且时，必有3. 计算题（1） 求关于点（轴,轴,轴,坐标面,坐标面,坐标面）的对称点解: 设对称点,由中点公式得 解得 =-3, =7, =0，即所求点的坐标为（其他留给同学自己求）（2） 求点与原点及各坐标轴之间的距离解: 点在轴、轴、轴上的投影分别为、，故点到各坐标轴的

6、距离分别为 （3）求点关于各坐标面、坐标轴、坐标原点的对称点的坐标分析：关于轴对称的，不变，其他变成相反数。关于坐标面对称的，不变，变相反数，其他类似。解: 点关于面的对称点是()；关于面的对称点是();关于面的对称点是()；点关于轴的对称点是()； 关于轴的对称点是()；关于轴的对称点是()；点关于坐标原点的对称点是()（4） 在平面上，求与三个点，和等距离的点解: 设所求点为，其坐标为 , 按题意有 ，即 即 亦即 解得 故所求点的坐标为（5）设向量， 用的模及方向余弦表示； 求与向量反向平行,且长度为75的向量.解: 按题意所求向量为，且 ，解得 ，则有向量2.数量积 向量积一、主要内容

7、数量积(1) 称为在上的投影，记作，即（投影是一个数）(2) 称为向量与的数量积(3) 数量积的坐标表达式(4) 两向量夹角余弦的坐标表达式(5) 数量积的性质 ,其中为实数 向量积(1) 向量积定义 ：若的模为，的方向垂直与所确定的平面，且、符合右手法则，则称为与的向量积，记作注：(2)向量积坐标表示 （3）向量积性质 （）二、配套例题1. 判断题(1) ； (2) 或；(3) 若 则；(4) 若且则；(5) 分析： 这是一组关于向量的各种运算的等式.判定等式是否成立，先要看等式两边是否同时是数量，或同时是向量；其次，若同时是数量，则看数值是否相等，若同时是向量，则判断模是否相等，方向是否相

8、同；若一边是数量，另一边是向量，则显然不相等.解:(1)错由于左端是向量，右端是数量，故等式不成立(2)错因为 故结论不成立(3)错两向量与的模相等，但方向不一定相同，故结论不一定成立， 但.(4)错由可知，且，此等式成立，当且仅当, 而不一定有，如，但.实际上，将的起点移到同一点，只要的终点落在与平行的任一直线上，就有,从而，但.(5)错.因为向量不能比较大小，该不等式没有意义.2. 选择题（1）向量与的数量积=（ ）.A. B. C. D. （2）非零向量满足，则有（ ）A. B. (为实数) C. D. （3）设与为非零向量，则是（ ）A. 的充要条件 B. 的充要条件; C. 的充要条

9、件 D. 的必要但不充分的条件（4）设，则向量在轴上的分向量是（ ）A. 7 B. 7 C. 1 D. -9解：（1）选C.因为 （2）选C.因为 （3）选A.因为. （4）选B.因为.3. 计算题1.设其中且,试问：（1）为何值时，？(2）为何值时，以，为邻边的平行四边形面积为6？解：（1）由 可知当时，亦即 （2）据题意知 + ，解之得 2.设，向取何值时，最小？并证明当最小时，解： 令，而，所以 令得惟一驻点，而，故是的极小值点，且是最小值点因此当时，最小，此时也最小当时，因为 ，故 3设，求（1）及；（2）夹角的余弦. 解：（1） ， （2）4设在下列条件下求的值（1），（2）解: （

10、1）要使 ，需 ， 解得 （2）要使 ，需 ， 解得 5设向量的模为4，与轴的夹角分别为、，求向量的坐标解: 6已知四点、，求（1）；（2）与、同时垂直的单位向量.解: 由题意可知 ，(1)， = （2）取 ，则设为垂直于向量和，从而与、同时垂直的单位向量为7已知向量和计算（1）； （2）； （3）解:（1）= （2） （3）8已知，求的面积解: 利用向量积的几何意义知,而 ， 故= 9求以与为两邻边的平行四边形的面积。解: 由向量积的几何意义有 =，而，故=10已知,且,的夹角为,求.解: 设，=.则，由题意可知 ， = ，即 ，所以 3. 平面及其方程一、主要内容 平面方程 平面的点法式方

11、程 ，其中为平面上一点， 为平面的法向量. 平面的一般方程 平面与平面的位置关系设平面与平面的法向量分别为， ，其中为平面与的夹角4.空间直线及其方程一、主要内容空间直线方程 空间直线的一般方程两平面交线，L的方向向量为. 空间直线的对称式方程，其中为上一点， 为L的方向向量. 空间直线的参数式方程，其中是参数.空间两直线间关系两直线的方向向量的夹角（锐角）称为两直线的夹角.设两直线与的方向向量分别为；（为与的夹角）. 设，若，则与异面。空间直线与平面间的关系直线与它在平面上的投影直线的夹角(),称为直线与平面的夹角.设直线L的方向向量为，平面的法向量为则；（为直线与平面的夹角） L；.二、配

12、套例题1.填空题（1）已知两条直线的方程分别是，则过且平行于的平面方程是 _.解：（1）取上的点，取.则由点法式可得所求平面方程为（2）过点且与直线垂直的平面方程是 _.解：（2）化参数方程为对称方程：，则所求平面的法向量为 ，依点法式得，即2. 选择题（1）设空间直线的对称式方程为 ，则该直线必（ ）.A过原点且垂直于轴； B. 过原点且垂直于轴；C. 过原点且垂直于轴； D. 过原点且平行于轴.（2）设空间三直线的方程分别为, 则必有（ ）A B. C. D.解：（1）选A.由题设知给定直线的方向向量为 ，轴的方向向量为 ，由，知，即直线垂直于轴.又因给定直线 就是平面与的交线，该直线显然

13、通过原点.综上所述知,所给直线过原点且垂直于轴（2）选.设直线的方向向量分别为，则有,因为,所以 .3. 计算题（1）经过点且垂直于平面的直线方程;（2）经过点且平行于轴的直线方程;（3）经过点且平行于直线的直线方程;（4）求直线 与平面的夹角;（5）直线 在平面上，试求的值.解：（1）因为所求直线垂直于平面 ，所以直线平行于所给平面法向量 ，故可取直线的方向向量为，于是所求直线方程为.（2）因为直线平行于轴，所以直线的方向向量平行于单位向量，故可取，于是所求直线方程为.（3）因为已知直线的方向向量, 故所求直线的方向向量可以取为，于是所求直线方程为.（4）直线的方向向量，平面的法向量由直线与

14、平面所成角的公式得 （5）分析: 要使直线在平面上，只要平行于，且有一个点在上即可.直线的方向向量为,平面的法向量，,因为直线平行于平面,所以，即.又因为在平面上，把此点的坐标代入的方程得, 解得 .(6) 求点到直线的距离解：直线的方向向量为，在已知直线上取点，于是已知直线的方程为，其参数方程为 （1）过点作已知直线的垂直平面 ，其方程为 ，即 （2）将（1）式代入（2）式，得，即得 ，从而得点P向已知直线所作垂线的垂足坐标为，因此点P到已知直线的距离为 (7) 求过点且与直线垂直的平面方程.解：据题意所求的平面法向量为所以由点法式知，平面方程为，即 。（8）指出方程组在空间解析几何中表示怎

15、样的曲线 解: 表示平行于坐标面的平面，表示平行于坐标面的平面，方程组表示过点平行于轴的一条直线. 本章习题一、填空题1. 已知，则向量在轴方向上的分向量为_ 2. 过点和的直线方程为_3. 设，且，则4. 设空间两直线与相交于一点，则5. 已知向量与平行且方向相反，若，则6. 平面与平面的夹角为_7. 已知向量，试用方向与一致的单位向量来表示= 8. 平行于向量的单位向量 .9某向量与轴和的夹角分别为和，则它与轴的夹角为 10. 同时垂直于和轴的单位向量 二、 选择题1. 设为三个任意向量，则( )A. B. C. D. 2. 设向量与平行且方向相反，又，则有( ) A. ； B. ； C.

16、 ； D. 3. 直线 与平面的关系为 ( )A.平行但直线不在平面上； B.直线在平面上；C.垂直相交； D.相交但不垂直4. 已知且，则 = ( )A. 1 B. C. 2 D. 5. 下列等式中正确的是( ) A. ； B. ； C. ； D. 三、 计算题1. 已知，问为何值时，向量与互相垂直2. 求过点且垂直于平面的平面法向量3. 求两平行面与之间的距离4. 求过点且与两平面和的交线平行的直线方程5. 某平面过点且平行向量和，试求这平面方程。6. 设已知两点和，计算向量的模，方向余弦和方向角7. 已知三个非零向量中任意两个向量都不平行，但与平行，与平行，试证：8求过点且平行于直线的直线方程9用对称式方程及参数方程表示直线10求过点且与直线垂直的平面的方程11求直线与直线的夹角的余弦12求直线与平面间的夹角13求过点且与两平面和平行的直线方程14. 求过点且通过直线的平面方程15试确定下列各组中的直线和平面间的位置关系：(1) 和；(2) 和； （3）和 16求直线与平面的交点17. 求过点且与两直线和平行的平面方程18求点在平面上的投影点的坐标19求点到平面的距离20设一个平面垂直于平面，并通过从点到直线的垂线，求平面的方程