2012年第十七届“华罗庚金杯”奥数决赛试卷（小高组a卷）.docx

《2012年第十七届“华罗庚金杯”奥数决赛试卷（小高组a卷）.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2012年第十七届“华罗庚金杯”奥数决赛试卷（小高组a卷）.docx（17页珍藏版）》请在淘文阁 - 分享文档赚钱的网站上搜索。

1、2012年第十七届“华罗庚金杯”少年数学邀请赛决赛试卷（小高组A卷）一、填空题（每小题3分,共80分）1（3分）算式1010.55.214.6（9.25.2+5.43.74.61.5）得值为 2（3分）箱子里已有若干个红球和黑球,放入一些黑球后,红球占全部球数的四分之一;再放入一些红球后,红球的数量是黑球的三分之二若放入的黑球和红球数量相同,则原来箱子里红球与黑球数量之比为 3（3分）有两个体积之比为5：8的圆柱,它们的侧面的展开图为相同的长方形,如果把该长方形的长和宽同时增加6其面积增加了114那么这个长方形的面积 4（3分）甲、乙两个粮库原来各存有整袋的粮食,如果从甲粮库调90袋到乙粮库,

2、则乙粮库存粮的袋数是甲粮库的2倍如果从乙粮库调若干袋到甲粮库,则甲粮库存粮的袋数是乙粮库的6倍那么甲粮库原来最少存有 袋粮食5（3分）现有211名同学和四种不同的巧克力每种巧克力的数量都超过633颗规定每名同学最多拿三颗巧克力,也可以不拿若按照巧克力的种类和数量都是否相同分组,则人数最多的一组至少有 名同学6（3分）张兵1953年出生,在今年之前的某一年,他的年龄是9的倍数并且是这一年的各位数字之和那么这一年他 岁7（3分）如图是一个五棱柱的平面展开图图中的正方形边长都为2按图所示数据,这个五棱柱的体积等于 8（3分）在乘法算式中,汉字代表非零数字,不同汉字代表不同数字,那么所代表的四位数最小

3、是 二、解答下列各题（每题10分,共40分,要求写出简要过程）9如图ABCD是平行四边形,E为AB延长线上一点,K为AD延长线上一点连接BK,DE相交于一点O,问：四边形ADOB与四边形ECKO的面积是否相等?请说明理由10能否用500个如图所示的12的小长方形形成一个5200的大长方形,使得5200的长方形的每一行、每一列都有偶数个星?请说明理由11将一个2n位数的前n位数和后n位数各当成一个n位数如果这两个n位数之和的平方正好等于这个2n位数则称这个2n位数为卡不列克（Kabulek）怪数,例如,（30+25）23025,所以3025是一个拉布列克怪数请问在四位数中有哪些卡不列克怪数?12

4、已知98个互不相同的质数p1,p2p98,记Np+p+p,问：N被3除的余数是多少三、解答下列各题（每小题0分,共30分,要求写出详细过程）13小华和小张在一个圆形跑道上匀速跑步,两人同时同地出发,小华顺时针跑,每72秒跑一圈;小张逆时针跑,每80秒跑一圈在跑道上划定以起点为中心的圆弧区间,那么两人同时在规定的区间内所持续的时间为多少秒?14把一个棱长为整数的长方体的表面都涂上红色,然后切割成棱长为1的小立方体其中,两面有红色的小立方块有40块,一面有红色的小立方块有66块,那么这个长方体的体积是多少?2012年第十七届“华罗庚金杯”少年数学邀请赛决赛试卷（小高组A卷）参考答案与试题解析一、填

5、空题（每小题3分,共80分）1（3分）算式1010.55.214.6（9.25.2+5.43.74.61.5）得值为9.3【分析】1010.55.214.6（9.25.2+5.43.74.61.5）先去掉小括号变成1010.55.214.69.25.25.43.7+4.61.5,利用乘法的分配律变成1010.55.2（14.69.2）5.43.7+4.61.5,再利用乘法的分配律变成5.25.45.43.7+4.61.5,再次利用乘法的分配律进行简算【解答】解：1010.55.214.6（9.25.2+5.43.74.61.5）,1010.55.214.69.25.25.43.7+4.61.5

6、,1010.55.2（14.69.2）5.43.7+4.61.5,1010.55.25.45.43.7+4.61.5,1010.55.4（5.23.7）+4.61.5,1010.55.41.5+4.61.5,1010.51.5（5.4+4.6）,1010.515,100.7,9.3故答案为：9.32（3分）箱子里已有若干个红球和黑球,放入一些黑球后,红球占全部球数的四分之一;再放入一些红球后,红球的数量是黑球的三分之二若放入的黑球和红球数量相同,则原来箱子里红球与黑球数量之比为1：2【分析】我们设出设红球有a个,黑球b个,放入的黑红球都是x个根据“放入一些黑球后,红球占全部球数的四分之一;再放

7、入一些红球后,红球的数量是黑球的三分之二若放入的黑球和红球数量相同”列出两个方程进行解答即可【解答】解：设红球有a个,黑球b个,放入的黑红球都是x个, x+a+b4a, x3ab,3a+3x2b+2x, x2b3a,把x3ab代入进行计算,3ab2b3a, 3b6a, a：b1：2,原来箱子里红球与黑球数量之比为1：2故答案为：1：23（3分）有两个体积之比为5：8的圆柱,它们的侧面的展开图为相同的长方形,如果把该长方形的长和宽同时增加6其面积增加了114那么这个长方形的面积40【分析】侧面的展开图为相同的长方形,说明这个长方形是横着围成一个长方体,和竖着围成一个长方体,体积比为5：8,如图,

8、阴影部分的面积是114,则（a+b）的和为（11466）613,根据体积比为5：8可知：,化简为,再化简为,而a+b13,所以a、b分别为8和5,而积为5840,据此解答即可【解答】解：设长方形的长和宽分别为a和b,则a+b（11466）613,根据体积比为5：8可知：,化简为,再化简为,而a+b13,所以a、b分别为8和5,而积为5840,答：这个长方形的面积为40故答案为：404（3分）甲、乙两个粮库原来各存有整袋的粮食,如果从甲粮库调90袋到乙粮库,则乙粮库存粮的袋数是甲粮库的2倍如果从乙粮库调若干袋到甲粮库,则甲粮库存粮的袋数是乙粮库的6倍那么甲粮库原来最少存有153袋粮食【分析】两个

9、关系式为：（甲库存粮90）2乙库存粮+90;甲库存粮+若干袋粮（乙库存粮若干袋粮）6,进而得到相应的最小整数解即可【解答】解：设甲库原来存粮a袋,乙库原来存粮b袋,依题意可得2（a90）b+90（1）;再设乙库调c袋到甲库,则甲库存粮是乙库的6倍,即a+c6（bc）（2）;由（1）式得b2a270 （3）,将（3）代入（2）,并整理得11a7c1620,由于ca232+又a、c是正整数,从而有1,即a148;并且7整除4（a+1）,又因为4与7互质,所以7整除a+1,a+1最小为154,则a最小是153答：甲库原来最少存粮153袋故答案为：1535（3分）现有211名同学和四种不同的巧克力每种

10、巧克力的数量都超过633颗规定每名同学最多拿三颗巧克力,也可以不拿若按照巧克力的种类和数量都是否相同分组,则人数最多的一组至少有7名同学【分析】每一名学生可以拿：括号内为该情况发生有几种情况1,一个不拿（1种情况）;2,拿四种糖果中任意一个 （4种情况）;3拿两个,都是同种糖果（4种情况）;4拿两个且不同的糖果,随机的（6种情况）;5拿三个,都相同（4种情况）; 6拿三个,两个相同（12种情况）;7拿三个都不同的糖果（4种情况）;所以一个同学所取的不同种类共有1+4+4+6+4+12+435种情况;因为每一种糖都超过633颗,所以第五种情况能够出现,3211633,足够分所以其他六种情况也能够

11、发生所以,要让最多的那组人数最少就是：2113561（余数1）;即最多的一组最少为6+17人【解答】解：根据题干分析可得：一个同学所取的不同种类共有1+4+4+6+4+12+435;这35种情况可以看做35个抽屉,2113561;所以6+17（人）,答：人数最多的一组至少有7人故答案为：76（3分）张兵1953年出生,在今年之前的某一年,他的年龄是9的倍数并且是这一年的各位数字之和那么这一年他18岁【分析】根据题意,设那一年是19AB年,那么他这一年的年龄是1900+10A+B1953岁,也是1+9+A+B岁,又因为他的年龄是9的倍数,那么1+9+A+B是9的倍数,然后列出方程进一步解答即可【

12、解答】解：设那一年是19AB年;根据题意可得：1900+10A+B19531+9+A+B, 10A+B5310+A+B, 9A63, A7;因为他的年龄是9的倍数,那么1+9+A+B是9的倍数;1+9+7+B17+B是9的倍数;那么B1时,17+118是9的倍数;所以,在1971年,他的年龄是9的倍数并且是这一年的各位数字之和;这一年他的年龄是：1971195318（岁）答：这一年他18岁故答案为：187（3分）如图是一个五棱柱的平面展开图图中的正方形边长都为2按图所示数据,这个五棱柱的体积等于7【分析】如图,两个五边形是折成的五棱柱的底,其面积是正方形的面积减去一个直角三角形的面积,正方形的

13、边长是2,三角形的底和高都是1,据此可求出这个五边形的面积,也就是五棱柱的底面积,五棱柱的高是2,根据直棱的体积底面积高,即可求出这个五棱柱的体积【解答】解：（2211）2（40.5）23.527;故答案为：78（3分）在乘法算式中,汉字代表非零数字,不同汉字代表不同数字,那么所代表的四位数最小是4396【分析】根据题意,由整数乘法的计算方法进行推算即可【解答】解：有9个汉字,没有0,所以9个汉字对应19,9个数字;要求最小,那么“花”和“草”我们只能取1和2;根据两个数和一定,差越小积越大,我们选择“花”为1,“草”是2;“春”字只能取3或者4;,中,个位的三个数字,至少有2个是5、6、7、

14、8、9这五个人数字中的2个;一个数与5相乘的末尾不是0就是5,因此不能有5;又因为6742,个位是2,有重复不可以;依次判断,只能是6954,或者7856,或者7963;当是7856时,有281574396,这时最小故答案为：4396二、解答下列各题（每题10分,共40分,要求写出简要过程）9如图ABCD是平行四边形,E为AB延长线上一点,K为AD延长线上一点连接BK,DE相交于一点O,问：四边形ADOB与四边形ECKO的面积是否相等?请说明理由【分析】如图,连结AC,根据平行四边形的特征及三角形的面积公式可知DCE的面积等于DCA的面积,AKC的面积等于AKB的面积,四边形ECKO的面积+O

15、DK的面积四边形EDKC的面积DCE的面积+DCK的面积ADC的面积+CD的面积KACK的面积,又由四边形ABOD的面积+ODK的面积四边形ECKO的面积+ODK的面积,从而得出四边形ADOB与四边形ECKO的面积相等【解答】解：如图,连结AC因为ABCD,所以SDCESDCA（同底等高）S四边形ABOD+SODKSABK,S四边形ECKO+SODKS四边形EDKCSDCE+SDCKSADC+SCDKSACK,又因为DCAB,所以AKCSAKB所以S四边形ABOD+SODKS四边形ECKO+SODK即S四边形ABODS四边形ECKO;故答案为：相等10能否用500个如图所示的12的小长方形形成

16、一个5200的大长方形,使得5200的长方形的每一行、每一列都有偶数个星?请说明理由【分析】500个小长方形就有500个小星星,500个星星平均分成5行,每行就有100个,是偶数;5002002（个）100（个）;再把余下的100个平均分给50列,每列分2个,这50列每列就是2+24（个）,剩下的150列每列是2个,都是偶数,由此可解【解答】解：可以使5200的长方形的每一行、每一列都有偶数个星,因为;500个小长方形就有500个小星星,5005100（个）,每行100个是偶数;5002002（个）100（个）;再把余下的100个平均分给50列,每列分2个,这50列每列就是2+24（个）,剩下

17、的150列每列是2个,都是偶数;所以可以使5200的长方形的每一行、每一列都有偶数个星11将一个2n位数的前n位数和后n位数各当成一个n位数如果这两个n位数之和的平方正好等于这个2n位数则称这个2n位数为卡不列克（Kabulek）怪数,例如,（30+25）23025,所以3025是一个拉布列克怪数请问在四位数中有哪些卡不列克怪数?【分析】设该数的前两位为x,后两位为y于是有（x+y）2100x+yx+y+99x,即：（x+y）（x+y1）99x,从而看出x+y与x+y1中有一个是9的倍数,另一个是11的倍数（当然依照位数不同,也可能是别的因数）,从而找出满足条件的三个数：45,55和99,然后

18、求出它们的平方数即可【解答】解：设该数的前两位为x,后两位为y于是有（x+y）2100x+yx+y+99x,即：（x+y）（x+y1）99x,从而看出x+y与x+y1中有一个是9的倍数,另一个是11的倍数（当然依照位数不同,也可能是别的因数）,可以找出满足条件的三个数：45,55和99,平方得2025,3025,9801;即符合：（20+25）22025;（30+25）23025;（98+1）29801;答：在四位数中的卡不列克怪数有：2025,3025,980112已知98个互不相同的质数p1,p2p98,记Np+p+p,问：N被3除的余数是多少【分析】除3外,因为质数被3除的余数为1或2,

19、质数的平方除以3,余数只能是1,（2的平方除以3余1）,然后分是否含有质数3讨论【解答】解：（1）这些质数中不含质数3,所以该数平方后被3除的余数就是1,所以N被3除的余数就是98被3除的余数,是2;（2）如果有3,那么剩下97个除以3余13的平方除以3余数是0,那么N除以3的余数1答：N被3除的余数是1或2三、解答下列各题（每小题0分,共30分,要求写出详细过程）13小华和小张在一个圆形跑道上匀速跑步,两人同时同地出发,小华顺时针跑,每72秒跑一圈;小张逆时针跑,每80秒跑一圈在跑道上划定以起点为中心的圆弧区间,那么两人同时在规定的区间内所持续的时间为多少秒?【分析】如果第一次小李速度出划定

20、区域用时为9,小张速度出划定区域用时10,10大于9,所以为9秒;第二次：小华入划定区域用时（12）63（秒）,出区域时间（1+2）81（秒）;小张入区域用时（12）70（秒）,出区域用时（1+2）90（秒）,他们在划定区域时间范围7081延续时间为11秒;第三次：小华135153,小张150170范围150153时间为3秒;小华入划定区域用时（12）63（秒）,出区域时间（1+2）81（秒）;816318（秒）;其他类似情况可的同样结果【解答】解：小华出划定区域用时为（2）9,小张出划定区域用时（2）10,109,所以为9秒;80（12）,80,70（秒）;72（1+2）,72,81（秒）;

21、817011（秒）;第三次：小华135153,小张150170范围150153时间为3秒;小华入划定区域用时（12）63（秒）,出区域时间（1+2）81（秒）;816318（秒）;综上：答案为：3,9,11,18答：两人同时在规定的区间内所持续的时间为3,9,11,18秒14把一个棱长为整数的长方体的表面都涂上红色,然后切割成棱长为1的小立方体其中,两面有红色的小立方块有40块,一面有红色的小立方块有66块,那么这个长方体的体积是多少?【分析】两面有红色的小立方块处在棱上,一面有红色的小立方块处在8个顶点上,设长方体的长宽高上分别有两面有红色的小立方体x、y、z块,根据题意可得,同一个顶点上的

22、三条棱上两面有红色的小立方体的块数和是：x+y+z40410,;同一个顶点上的三个面上一面有红色的小立方体的块数和是：xy+xz+yz66233,;然后联立等式可得：由和可得,x2+y2+z210223334,并且x、y、z5,然后分x1、2、3、4、5,分组讨论即可【解答】解：设长方体的长宽高上分别有两面有红色的小立方体x、y、z块,根据题意可得x+y+z40410,xy+xz+yz66233,由和可得,x2+y2+z210223334,并且x、y、z5,由可得,（x+y）（x+z）x2+33,若x1,（1+y）（1+z）12+33217134,那么x和y是：211,17116,或110,3

23、4133,都不合x、y、z5,舍去;同理,若x2,（2+y）（2+z）22+33137,那么x和y是：121,37235,不合x、y、z5,舍去;若x3,（3+y）（3+z）32+33426731414221,显然,314和142都不合要求,那么x和y是：633,734,符合x、y、z5;若x4,（4+y）（4+z）42+334977,那么x和y是：743,743,符合x、y、z5;并且和上一种情况是同一种情况,若x5,（5+y）（5+z）52+3358158,显然,那么x和y是：154,58554,不符合x、y、z5;所以,长方体的长、宽、高是：4+26,3+25,3+25,所以,体积是：655150;答：这个长方体的体积是15017