六年级数学奥数习题讲义《不定方程》.docx

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1、六年级数学奥数习题讲义-第40讲 不定方程一、知识要点当方程的个数比方程中未知数的个数少时,我们就称这样的方程为不定方程.如5x3y9就是不定方程.这种方程的解是不确定的.如果不加限制的话,它的解有无数个;如果附加一些限制条件,那么它的解的个数就是有限的了.如5x3y9的解有:x2.4 x2.7 x3.06 x3.6y1 y1.5 y2.1 y3如果限定x、y的解是小于5的整数,那么解就只有x3,Y2这一组了.因此,研究不定方程主要就是分析讨论这些限制条件对解的影响.解不定方程时一般要将原方程适当变形,把其中的一个未知数用另一个未知数来表示,然后再一定范围内试验求解.解题时要注意观察未知数的特

2、点,尽量缩小未知数的取值范围,减少试验的次数.对于有3个未知数的不定方程组,可用削去法把它转化为二元一次不定方程再求解.解答应用题时,要根据题中的限制条件（有时是明显的,有时是隐蔽的）取适当的值.二、精讲精练【例题1】求3x+4y23的自然数解.先将原方程变形,y.可列表试验求解:X1234567Y52所以方程3x+4y23的自然数解为 X=1 x=5 Y=5 y=2练习11、求3x+2y25的自然数解.2、求4x+5y37的自然数解.3、求5x3y16的最小自然数解.【例题2】求下列方程组的正整数解.5x+7y+3z253xy6z2这是一个三元一次不定方程组.解答的实话,要先设法消去其中的一

3、个未知数,将方程组简化成例1那样的不定方程.5x+7y+3z25 3xy6z2 由2+,得13x+13y52 X+y4 把式变形,得y4x.因为x、y、z都是正整数,所以x只能取1、2、3.当x1时,y3当x2时,y2当x3时,y1把上面的结果再分别代入或,得x1,y3时,z无正整数解. x2,y2时,z也无正整数解. x3时,y1时,z1.所以,原方程组的正整数解为 x1 y1 z1练习2求下面方程组的自然数解.1、4x+3y2z7 2、 7x+9y+11z683x+2y+4z21 5x+7y+9z523、5x+7y+4z263xy6z2【例题3】一个商人将弹子放进两种盒子里,每个大盒子装1

4、2个,每个小盒子装5个,恰好装完.如果弹子数为99,盒子数大于9,问两种盒子各有多少个?两种盒子的个数都应该是自然数,所以要根据题意列出不定方程,再求出它的自然数解.设大盒子有x个,小盒子有y个,则 12x+5y99（x0,y0,x+y9） y（9912y）5经检验,符合条件的解有: x2 x7y15 y3所以,大盒子有2个,小盒子有15个,或大盒子有7个,小盒子有3个.练习3.1、某校6（1）班学生48人到公园划船.如果每只小船可坐3人,每只大船可坐5人.那么需要小船和大船各几只?（大、小船都有）2、甲级铅笔7角钱一枝,乙级铅笔3角钱一枝,小华用六元钱恰好可以买两种不同的铅笔共几枝?3、小华

5、和小强各用6角4分买了若干枝铅笔,他们买来的铅笔中都是5分一枝和7分一枝的两种,而且小华买来的铅笔比小强多,小华比小强多买来多少枝?【例题4】买三种水果30千克,共用去80元.其中苹果每千克4元,橘子每千克3元,梨每千克2元.问三种水果各买了多少千克?设苹果买了x千克,橘子买了y千克,梨买了（30xy）千克.根据题意得: 4x+3y+2（30xy）82 x10由式子可知:y20,则y必须是2的倍数,所以y可取2、4、6、8、10、12、14、16、18.因此,原方程的解如下表:苹果987654321橘子24681012141618梨191817161514131211练习41、有红、黄、蓝三种

6、颜色的皮球共26只,其中蓝皮球的只数是黄皮球的9倍,蓝皮球有多少只?2、用10元钱买25枝笔.已知毛笔每枝2角,彩色笔每枝4角,钢笔每枝9角.问每种笔各买几枝?（每种都要买）3、晓敏在文具店买了三种贴纸;普通贴纸每张8分,荧光纸每张1角,高级纸每张2角.她一共用了一元两角两分钱.那么,晓敏的三种贴纸的总数最少是多少张?【例题5】某次数学竞赛准备例2枝铅笔作为奖品发给获得一、二、三等奖的学生.原计划一等奖每人发6枝,二等奖每人发3枝,三等奖每人发2枝.后又改为一等奖每人发9枝,二等奖每人发4枝,三等奖每人发1枝.问:一、二、三等奖的学生各有几人?设一等奖有x人,二等奖有y人,三等奖有z人.则 6x+3y+2z22 9x+4y+z22 由2,得12x+5y22 y x1x只能取1.Y2,代入得z5,原方程的解为 y2z5所以,一等奖的学生有1人,二等奖的学生有2人,三等奖的学生有5人.练习51、某人打靶,8发打了53环,全部命中在10环、7环和5环.他命中10环、7环和5环各几发?2、篮子里有煮蛋、茶叶蛋和皮蛋30个,价值24元.已知煮蛋每个0.60元,茶叶蛋每个1元,皮蛋每个1.20元.问篮子里最多有几个皮蛋?3、一头猪卖3个银币,一头山羊卖1个银币,一头绵羊买个银币.有人用100个银币卖了这三种牲畜100头.问猪、山羊、绵羊各几头? 6