小学数学知识点例题精讲《列不定方程解应用题》学生版.docx

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1、列不定方程解应用题教学目标1、 熟练掌握不定方程的解题技巧2、 能够根据题意找到等量关系设未知数解方程3、 学会解不定方程的经典例题知识精讲一、知识点说明历史概述不定方程是数论中最古老的分支之一古希腊的丢番图早在公元世纪就开始研究不定方程,因此常称不定方程为丢番图方程中国是研究不定方程最早的国家,公元初的五家共井问题就是一个不定方程组问题,公元世纪的张丘建算经中的百鸡问题标志着中国对不定方程理论有了系统研究宋代数学家秦九韶的大衍求一术将不定方程与同余理论联系起来考点说明在各类竞赛考试中,不定方程经常以应用题的形式出现,除此以外,不定方程还经常作为解题的重要方法贯穿在行程问题、数论问题等压轴大题

2、之中在以后初高中数学的进一步学习中,不定方程也同样有着重要的地位,所以本讲的着重目的是让学生学会利用不定方程这个工具,并能够在以后的学习中使用这个工具解题.二、运用不定方程解应用题步骤1、根据题目叙述找到等量关系列出方程2、根据解不定方程方法解方程3、找到符合条件的解模块一、不定方程与数论【例 1】 把拆成两个正整数的和,一个是的倍数（要尽量小）,一个是的倍数（要尽量大）,求这两个数【巩固】 甲、乙二人搬砖,甲搬的砖数是的倍数,乙搬的砖数是的倍数,两人共搬了块砖问：甲、乙二人谁搬的砖多?多几块?【巩固】 现有足够多的角和角的邮票,用来付元的邮资,问角的邮票需要多少张?【例 2】 用十进制表示的

3、某些自然数,恰等于它的各位数字之和的倍,则满足条件的所有自然数之和为_.模块二、不定方程与应用题【例 3】 有两种不同规格的油桶若干个,大的能装千克油,小的能装千克油,千克油恰好装满这些油桶问：大、小油桶各几个?【例 4】 在一次活动中,丁丁和冬冬到射击室打靶,回来后见到同学“小博士”,他们让“小博士”猜他们各命中多少次“小博士”让丁丁把自己命中的次数乘以,让冬冬把自己命中的次数乘以,再把两个得数加起来告诉他,丁丁和冬冬算了一下是,“小博士”正确地说出了他们各自命中的次数你知道丁丁和冬冬各命中几次吗?【巩固】 某人打靶,发共打了环,全部命中在环、环和环上问：他命中环、环和环各几发?【例 5】

4、某次聚餐,每一位男宾付元,每一位女宾付元,每带一个孩子付元,现在有的成人各带一个孩子,总共收了元,问：这个活动共有多少人参加(成人和孩子)?【巩固】 单位的职工到郊外植树,其中有男职工,也有女职工,并且有的职工各带一个孩子参加男职工每人种棵树,女职工每人种棵树,每个孩子都种棵树,他们一共种了棵树,那么其中有多少名男职工?【例 6】 张师傅每天能缝制件上衣,或者件裙裤,李师傅每天能缝制件上衣,或者件裙裤,两人天共缝制上衣和裙裤件,那么其中上衣是多少件?【巩固】 小花狗和波斯猫是一对好朋友,它们在早晚见面时总要叫上几声表示问候若是早晨见面,小花狗叫两声,波斯猫叫一声;若是晚上见面,小花狗叫两声,波

5、斯猫叫三声细心的小娟对它们的叫声统计了天,发现它们并不是每天早晚都见面在这天内它们共叫了声问：波斯猫至少叫了多少声? 【例 7】 甲、乙两人生产一种产品,这种产品由一个配件与一个配件组成甲每天生产300个配件,或生产150个配件;乙每天生产120个配件,或生产48个配件为了在10天内生产出更多的产品,二人决定合作生产,这样他们最多能生产出多少套产品?【巩固】 某服装厂有甲、乙两个生产车间,甲车间每天能生产上衣16件或裤子20件;乙车间每天能生产上衣18件或裤子24件现在要上衣和裤子配套,两车间合作21天,最多能生产多少套衣服?【例 8】 有一项工程,甲单独做需要天完成,乙单独做需要天完成,丙单

6、独做需要天完成,现在由甲、乙、丙三人同时做,在工作期间,丙休息了整数天,而甲和乙一直工作至完成,最后完成这项工程也用了整数天,那么丙休息了 天【例 9】 实验小学的五年级学生租车去野外开展“走向大自然,热爱大自然”活动,所有的学生和老师共人恰好坐满了辆大巴车和辆中巴车,已知每辆中巴车的载客人数在人到人之间,求每辆大巴车的载客人数【巩固】 实验小学的五年级学生租车去野外开展“走向大自然,热爱大自然”活动,所有的学生和老师共人恰好坐满了辆大巴车和辆中巴车,已知每辆中巴车的载客人数在人到人之间,求每辆大巴车的载客人数【巩固】 每辆大汽车能容纳54人,每辆小汽车能容纳36人现有378人,要使每个人都上

7、车且每辆车都装满,需要大、小汽车各几辆?【巩固】 小伟听说小峰养了一些兔和鸡,就问小峰：“你养了几只兔和鸡?”小峰说：“我养的兔比鸡多,鸡兔共条腿”那么小峰养了多少兔和鸡?【例 10】 一个家具店在1998年总共卖了213张床起初他们每个月卖出25张床,之后每个月卖出16张床,最后他们每个月卖出20张床问：他们共有多少个月是卖出25张床?【例 11】 五年级一班共有人,每人参加一个兴趣小组,共有、五个小组若参加组的有人,参加组的人数仅次于组,参加组、组的人数相同,参加组的人数最少,只有人那么,参加组的有_人【例 12】 将一群人分为甲乙丙三组,每人都必在且仅在一组已知甲乙丙的平均年龄分为,.甲

8、乙两组人合起来的平均年龄为;乙丙两组人合起来的平均年龄为则这一群人的平均年龄为 .【例 13】 个大、中、小号钢珠共重克,大号钢珠每个重克,中号钢珠每个重克,小号钢珠每个重克问：大、中、小号钢珠各有多少个?【巩固】 袋子里有三种球,分别标有数字,和,小明从中摸出12个球,它们的数字之和是问：小明最多摸出几个标有数字的球?【例 14】 公鸡1只值钱5,母鸡一只值钱3,小鸡三只值钱1,今有钱100,买鸡100只,问公鸡、母鸡、小鸡各买几只?【巩固】 小明玩套圈游戏,套中小鸡一次得分,套中小猴得分,套中小狗得分小明共套了次,每次都套中了,每个小玩具都至少被套中一次,小明套次共得分问：小明至多套中小鸡

9、几次?【例 15】 开学前,宁宁拿着妈妈给的元钱去买笔,文具店里的圆珠笔每支元,铅笔每支元宁宁买完两种笔后把钱花完请问：她一共买了几支笔?【巩固】 小华和小强各用角分买了若干支铅笔,他们买来的铅笔中都是分一支和分一支的两种,而且小华买来的铅笔比小强多小华比小强多买来铅笔多少支【例 16】 蓝天小学举行“迎春”环保知识大赛,一共有名男、女选手参加初赛,经过初赛、复赛,最后确定了参加决赛的人选已知参加决赛的男选手的人数,占初赛的男选手人数的;参加决赛的女选手的人数,占初赛的女选手人数的,而且比参加初赛的男选手的人数多参加决赛的男、女选手各有多少人?【巩固】 今有桃个,分给甲、乙两班学生吃,甲班分到

10、的桃有是坏的,其他是好的;乙班分到的桃有是坏的,其他是好的甲、乙两班分到的好桃共有几个?【例 17】 甲、乙两人各有一袋糖,每袋糖都不到粒如果甲给乙一定数量的糖后,甲的糖就是乙的倍;如果乙给甲同样数量的糖后,甲的糖就是乙的倍甲、乙两人共有多少粒糖?【巩固】 有两小堆砖头,如果从第一堆中取出块放到第二堆中去,那么第二堆将比第一堆多一倍如果相反,从第二堆中取出若干块放到第一堆中去,那么第一堆将是第二堆的倍问：第一堆中的砖头最少有多少块?【例 18】 甲乙丙三个班向希望工程捐赠图书,已知甲班有人捐册,有人各捐册,其余都各捐册,乙班有人捐册,人各捐册,其余各捐册;丙班有人各卷册,人各捐册,其余各捐册.

11、已知甲班捐书总数比乙班多册,乙班比丙班多册,各班捐书总数在册与册之间,问各班各有多少人?【例 19】 在新年联欢会上,某班组织了一场飞镖比赛如右图,飞镖的靶子分为三块区域,分别对应分、分和分每人可以扔若干次飞镖,脱靶不得分,投中靶子就可以得到相应的分数若恰好投在两块(或三块)区域的交界线上,则得两块(或三块)区域中分数最高区域的分数如果比赛规定恰好投中分才能获奖,要想获奖至少需要投中 次飞镖模块三、不定方程与生活中的应用题【例 20】 某地用电收费的标准是：若每月用电不超过度,则每度收角;若超过度,则超出部分按每度角收费某月甲用户比乙用户多交元角电费,这个月甲、乙各用了多少度电?【巩固】 某区

12、对用电的收费标准规定如下：每月每户用电不超过度的部分,按每度元收费;超过度而不超过度的部分,按每度元收费;超过度的部分按每度元收费某月甲用户比乙用户多交电费元,乙用户比丙用户多交元,那么甲、乙、丙三用户共交电费多少元?(用电都按整度数收费)【例 21】 马小富在甲公司打工,几个月后又在乙公司兼职,甲公司每月付给他薪金元,乙公司每月付给他薪金元年终,马小富从两家公司共获薪金元他在甲公司打工 个月,在乙公司兼职 个月【例 22】 甲、乙、丙、丁、戊五人接受了满分为分(成绩都是整数)的测验已知：甲得了分,乙得了最高分,丙的成绩与甲、丁的平均分相等,丁的成绩刚好等于五人的平均分,戊比丙多分求乙、丙、丁

13、、戊的成绩【巩固】 有两个学生参加4次数学测验,他们的平均分数不同,但都是低于90分的整数他们又参加了第5次测验,这样5次的平均分数都提高到了90分求第5次测验两人的得分(每次测验满分为100分)【例 23】 小明、小红和小军三人参加一次数学竞赛,一共有100道题,每个人各解出其中的60道题,有些题三人都解出来了,我们称之为“容易题”;有些题只有两人解出来,我们称之为“中等题”;有些题只有一人解出来,我们称之为“难题”已知每个题都至少被他们中的一人解出,则难题比容易题多 道【例 24】 甲、乙两个同学在一次数学擂台赛中,试卷上有解答题、选择题、填空题各若干个,而且每个小题的分值都是自然数结果公

14、布后,已知甲做对了5道解答题,7道选择题,9道填空题,共得52分;乙做对了7道解答题,9道选择题,11道填空题,共得68分问：解答题、选择题、填空题的每道小题各多少分?【例 25】 甲乙丙三人参加一个共有个选择题的比赛,计分办法是在分的基础上,每答对一题加分,答错一题扣分,不答既不扣分也不加分赛完后发现根据甲所得总分可以准确算出他答对的题数,乙、丙二人所得总分相同,仅比甲少分,但乙丙答对的题数却互不相同由此可知,甲所得总分最多为 【例 26】 某男孩在年月日说：“我活过的月数以及我活过的年数之差,到今天为止正好就是”请问：他是在哪一天出生的?【例 27】 某次演讲比赛,原定一等奖人,二等奖人,现将一等奖中的最后人调整为二等奖,这样得二等奖的学生的平均分提高了分,得一等奖的学生的平均分提高了分,那么原来一等奖平均分比二等奖平均分多_分【例 28】 某次数学竞赛准备了支铅笔作为奖品发给一、二、三等奖的学生,原计划一等奖每人发给支,二等奖每人发给支,三等奖每人发给支,后来改为一等奖每人发支,二等奖每人发支,三等奖每人发支那么获二等奖的有 人10