专升本《高等数学》备考冲刺-不等式的方法与技巧.docx

《专升本《高等数学》备考冲刺-不等式的方法与技巧.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《专升本《高等数学》备考冲刺-不等式的方法与技巧.docx（16页珍藏版）》请在淘文阁 - 分享文档赚钱的网站上搜索。

1、不等式不等式是高等数学中的一个重要工具。运用它可以对变量之间的大小关系进行估计，并且一些重要的不等式在现代数学的研究中发挥着重要作用。这里首先介绍几个常用的不等式，然后再介绍证明不等式的一些方法。一、 几个重要的不等式1平均值不等式 设非负，令（当r0，t-1，那么当0a1时，有，当a1时，有，等式成立的充要条件是x=0。6有关e的不等式 （1）， （2）， （3） 二、证明不等式的方法1利用求导法证明不等式（1）利用单调性例. 求证当时，。证明：令，则f在上连续，且，令，则当时，因此h在上严格递减，又因为h(0)=0，故对任意，有h(x)0，由此即知对任意，有，故f在上严格递减，故对任意，有

2、，即，证毕。（2）利用最值例. 设，且，则，且等式成立当且仅当a=b。证明：令，则， 由此即知，当0x1时， 因此， 故当x0时，（*），且等式成立当且仅当x=1。 令，代入(*)式即可得，且等式成立当且仅当x=1,即a=b。证毕。（3）利用中值定理例. 设f在0，c上可导，且导函数单调下降，又f(0)=0，试证当时，有。证明：由中值定理知：，其中； ，其中，由单调下降知：，再由a0知，即。证毕。例.若函数f(x)是0，1上的二阶导函数连续的函数，f(0)=f(1)=0，且，证明：。 证明：由题意知f(x)在(0,1)上同号，不妨设f(x)0， 又因为f(0)=f(1)=0，由连续函数性质知，

3、 在上分别用拉格朗日中值定理，使得 ，从而有 ， 证毕。（4）利用凸函数例. 设，且，则。证明：由于lnx是上凸函数，故， 故。证毕。（5）利用Taylor公式（级数）来证明例. 设，u(t)是任意的连续函数，求证：当a0时，有。证明：因为, 取x=u(t)，则有， 所以。证毕。（6）利用已知的不等式例. 设f连续可微，f(1)-f(0)=1，求证。证明：, 由此即得。证毕。2 利用积分证明不等式（1） 利用分部积分和换元积分法估计积分值例. 证明 证明：将原式记为I，则 因为在上，又，所以，但是不恒等于0，故0，证毕。（2） 构造积分进行证明例. 若函数f(x)是0，1上的二阶导函数连续的函

4、数，且，证明：。证明：反证法：若对，则对有 ，矛盾，故假设不成立。（3）利用积分的单调性例. 证明不等式。证明：令， 则， 令， 则， 故g在上严格上升，因此对任意的， 有，由此即知，对任意的，有， 故f在上严格上升，因此对任意的，有，即，因此。 证毕。例. 设函数f(x)在0，1上可导，且当时，有，证明：证明：方法一、只需证明。 令，则，因为，所以f(x)严格单调上升，且f(x)f(0)=0，令，则，所以G(t)是严格单调上升的，又G(0)=0，故，所以，F(t)严格单调上升，所以F(1)F(0)=0，即。 证毕。 方法二、因为，所以f严格单调上升，从而对任意的1x0,有f(x)0,令，由柯

5、西中值定理，有 即。 证毕。3 利用配方法证明不等式要证，若a-b能表示成完全平方，或者a-b能表示成有限个完全平方的和，则例. 求证，等式成立的充要条件是。证明：且等式成立的充要条件是，即。证毕。4 利用数学归纳法证明不等式例. 设，试证。证明：利用如下命题：设，且b,d为正数，则来证明。 当n=1时显然成立。 设当n=k时成立，那么当n=k+1时，令，则由归纳假设知，于是由命题知同样可证即当n=k+1时结论成立。证毕。5 利用正定或非负二次型证明不等式证明一个正定或非负二次型，使其判别式所满足的条件为所证明的不等式。例. 求证，等式成立的充要条件是。证明：令，则 由,知。易知等式成立的充要

6、条件是f有实根a，即f(a)=0，亦即。证毕。6杂例例. 证明不等式。证明：显然当时，不等式成立。 令，易知， 令，易知，因此g在上严格增加，又因为g(0)=0，故当时，g(x)0，从而当时，因此，f在上严格增加，而f(0)=0，故当时，即有。证毕。例. 当时，试证。证明：令， 对任意，由， 解得。 易知，当时，；当时，由此即知，当时，f对固定的y取最大值。 对任意，由， 解得。 易知，当时，；当时，由此即知，当时，f对固定的x取最大值。 综上所述，可知f在满足方程组 （*）的点（x,y）上取最大值。 由(*)式可得因此当时，试证。证毕。例. 设x0，试证。证明：令T=, 则,其中。 令，则，利用极坐标变换，易得， 因此，即。证毕。