专升本《高等数学》精选练习强化试卷05.docx

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1、专升本高等数学精选练习强化试卷05一、选择题1设函数可导，当自变量x在处取得增量时，相应的函数增量的线性主部为，则（ D ） （A）； （B）； （C）； （D）。解：，。2设，则使存在的最高阶导数的阶数n为（ C ） （A）0； （B）1； （C）2； （D）3。 解：， ，从而不存在。故选（C）。二、求相关变化率1落在平静水面上的石头产生同心圆形波纹。若最外一圈半径的增大率总是，问2秒末受到扰动的水面面积的增大率为多少？解：设圆的半径为R，圆的面积为S，则， 当时，故.2溶液从深15cm，顶直径12cm的正圆锥形漏斗漏入一直径为10cm的圆柱形容器中，开始时漏斗中盛满了溶液。已知当溶液在漏

2、斗中深为12cm时，其液面下降的速率为。问这时圆柱形容器中液面上升的速率是多少？(教材P136第10题)解：设在时刻t漏斗中溶液的深度为，液面半径为r，圆柱形容器中溶液的深度为。由，得，依题意 ， 即， 从而， 又当时，得。 答：圆柱形容器中液面上升的速率为。2. 一飞机在离地面的高度，以的速度飞行到某目标上空，以便进行航空摄影，试求飞机飞到该目标正上方时，摄影机转动的角速度。解：设飞机与目标的水平距离为.， ， 把，代入上式，得: 。二、填空题1设，则 。解：，。2设，其中，.3已知函数由方程确定，则 -2 。解：当时，。 ， 。4. 设，则。解：， 。5设，则。解：， ， 故，三、求下列函数的导数1解：， ，。2.解：。3解： 4已知，求.解：，。5 解： ， ， 。 6已知，求。解：， 。 四、求高阶导数1设，其中f具有二阶导数，。解： 2设，求。解：3已知，求。解：，。4已知（k为正常数），讨论为何值时存在二阶导数。解： ，要使存在，必须。且当时，。当时，（），要使存在，必须。五、证明题证明方程，并求。证明：设，则。，由零点定理知，故方程。，在，方程，故方程。，设。由，得， 对上式两边取极限得：，即。