专升本《高等数学》精选练习强化试卷06.docx

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1、专升本高等数学精选练习强化试卷06一、证明题1设函数，且，试证必存在。证明：，且在，于是，故，由介值定理知，至少存在一点，使，在，且，由定理知，必存在。2设在上，且在内取得极大值， 试证：证明：在内取得极大值， 必， 把代入上面两式，得 (1)+(2)，并取绝对值，借助题设条件，得3设在(或)上连续，在（或）内可导，且(或)，则(或)。证明：，则在上满足中值定理， 故，使， 从而，即。 同理可证。4设，在连续，在内可导，证明： （1），使， （2），使。分析：（1）即证。 注意到，故取。证明：设，则，且， 则由定理可知，使，即， 由于，从而。（2）分析：所证结论中的的位置相当于（1）中的，而（

2、1）中的是由求导而得到的，故可设辅助函数。证明：设，则，且， 则由定理可知，使，即， ，从而。5设在连续，在（0，1）内可导，证明：（1），使； （2），使。证明：（1）令，则，且 ， 由零点定理知，使，即。 （2）要证在内有根，即证 在内有根。注意到正是的导数。 作辅助函数：， 则，且， 故由定理，使，即， 即，从而。6设在连续，在内可导， 试证：，使。 分析：即证。这题是要证明存在两个中间值，满足等式。由于用一次中值定理只能找到一个中间值，故要用两次中值定理才能解决问题。证明：设 ， 和在上满足中值定理， ，使， ，从而。7已知函数在连续，在内可导且，证明：，使。证明：即证， 设， 和在上

3、满足中值定理， ，使， 在上满足中值定理， ，使，从而， 把式代入式，得，即。8设，其，证明：（1）（2）证明：（1）设， （2），从而。9设函数在上可导。 （1）若，则，使； （2）在内可取介于之间的任何值。证明：（1）若，则由定理直接得证。 若，不妨设，以及，则 ， 由极限的保号性可知，当在点的右侧充分靠近时，有 ，使。 由介值定理可知， 再由定理，。证法2：不妨设，。 ，由极限的保号性知，当x在点a右侧充分靠近a时，有，。同理，上的最大值。故。在上可导，由引理知，。（2）设是介于之间的任何值，要证，使。 设 ，则在上可导， ， ，由（1）知，使，即。注：本题第一个结论说明：导数具有类似连续函数的零点定理的性质；第二个结论称为达布定理，它进一步说明：函数的导数具有介值性质，但是这两个命题都不需要导数连续。（请参见高等数学典型题精讲P137例15）二、计算题1已知在内可导，且， ，求C的值。解：， 由定理，有，（）， 则，于是，。