小学数学知识点例题精讲《乘除法数字谜（一）》教师版.docx

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1、5-1-2-2.乘除法数字谜（一）教学目标数字谜是杯赛中非常重要的一块,特别是迎春杯,数字谜是必考的,一般学生在做数字谜的时候都采用尝试的方式,但是这样会在考试中浪费很多时间本模块主要讲乘除竖式数字谜的解题方法,学会通过找突破口来解决问题最后通过例题的学习,总结解数字谜问题的关键是找到合适的解题突破口在确定各数位上的数字时,首先要对填写的数字进行估算,这样可以缩小取值范围,然后再逐一检验,去掉不符合题意的取值,直到取得正确的解答 知识点拨1. 数字谜定义:一般是指那些含有未知数字或未知运算符号的算式2. 数字谜突破口：这种不完整的算式,就像“谜”一样,要解开这样的谜,就得根据有关的运算法则,数

2、的性质（和差积商的位数,数的整除性,奇偶性,尾数规律等）来进行正确的推理,判断3. 解数字谜：一般是从某个数的首位或末位数字上寻找突破口推理时应注意： 数字谜中的文字,字母或其它符号,只取中的某个数字; 要认真分析算式中所包含的数量关系,找出尽可能多的隐蔽条件; 必要时应采用枚举和筛选相结合的方法（试验法）,逐步淘汰掉那些不符合题意的数字; 数字谜解出之后,最好验算一遍例题精讲模块一、乘法数字谜【例 1】 下面是一个乘法算式：问：当乘积最大时,所填的四个数字的和是多少?【考点】乘法数字谜 【难度】1星 【题型】填空【关键词】华杯赛,初赛,第2题【解析】 乘积是两位数并且是5的倍数,因而最大是9

3、5.95519,所以题中的算式实际上是所以,所填四个数字之和便是199524【答案】【例 2】 下面两个算式中,相同的汉字代表相同的数字,不同的汉字代表不同的数字,._【考点】乘法数字谜 【难度】2星 【题型】填空 【关键词】走美杯,四年级,初赛,第12题,五年级,初赛,第11题【解析】 由知,“美”不为1,且“美”“妙”10,如果“美”为2,根据“美”“学”的个位数为“妙”,那么“妙”为偶数,即为4,推出“学”为7,又由 “美”+“学”=“数”,可知“数”为9,所以2497.【答案】【例 3】 北京有一家餐馆,店号“天然居”,里面有一副著名对联：客上天然居,居然天上客.巧的很,这副对联恰好能

4、构成一个乘法算式(见右上式).相同的汉字代表相同的数字,不同的汉字代表不同的数字.“天然居”表示成三位数是_.【考点】乘法数字谜 【难度】2星 【题型】填空【关键词】走美杯,4年级,决赛,第6题,10分【解析】 因为竖式中五位数乘4仍是五位数,所以“客”是人于0小于3的偶数,只能是2,并推知“居”8.因为“上”乘4不向上进位,且是奇数,所以“上”1,并推知“然”7.则所表示的三位数是978.【答案】【例 4】 下面算式(1)是一个残缺的乘法竖式,其中2,那么乘积是多少? 【考点】乘法数字谜 【难度】2星 【题型】填空 【解析】 如式(2),由题意a2,所以b6,从而d6由22c60和c2知c=

5、3,所以22是225或228,或76因为7539930 000,所以再由乘积不小于30000和所有的2,推出唯一的解76396=30096【答案】76396=30096【例 5】 下面残缺的算式中,只写出了3个数字1,其余的数字都不是1,那么这个算式的乘积是? 【考点】乘法数字谜 【难度】2星 【题型】填空 【解析】 为了说明的方便,这个算式中的关键数字用英文字母表示很明显e= 0从的个位数是1,b可能是3,7,9三数之一,两位数应是（100+f）的因数101,103,107,109是质数,f=0或5也明显不行102=176,则=17,C只能取3,不是三位数;104=138,则,c可取7,c

6、=713,仍不是三位数;106=532,c=7,是三位数;108=274,则=27,c是3,不是三位数因此这个乘法算式是5372=3816,故这个算式的乘积是3816.【答案】3816【例 6】 右面的算式中,每个汉字代表一个数字（09）,不同汉字代表不同数字美+妙+数+学+花+园= 【考点】乘法数字谜 【难度】3星 【题型】填空【关键词】走美杯,3年级,决赛,第5题,10分【解析】 从式中可以看出“花”“学”的乘积末位为零,故“花”与“学”之中必有一个为数字或,当“学”是时,由下面一列中的“学”、“”,“好”,知“好”为“”或“”,则“数”取中的任何一个数字也不行,同样地“学”也不是,而“花

7、”不能是,所以“花”为数字,则可以逆向计算出：美妙数学故“美”,“妙”,“数”“学”再看下面的加法：“数”“好”且进位,可知必有进位且“好”,于是“真”,所以再次逆推“园”符合题意,假设成立,故,美妙数学花园【答案】【例 7】 在右边的乘法算式中,字母、和分别代表一个不同的数字,每个空格代表一个非零数字求、和分别代表什么数字?【考点】乘法数字谜 【难度】3星 【题型】填空 【解析】 第一个部分积中的是的个位数字,所以要么是,要么是如果,第二个部分积中的是积的个位数字,所以同理,第三个部分积中的是积的个位数字,因此检验可知,满足题意如果,类似地可知,但这时第二个部分积不是四位数,不合题意所以、和

8、代表的数字分别是7、8、3.【答案】7、8、3【例 8】 在每个方框中填入一个数字,使得乘法竖式成立已知乘积有两种不同的得数,那么这两个得数的差是 【考点】乘法数字谜 【难度】3星 【题型】填空【关键词】迎春杯,高年级,复试,5题【解析】 A与乘数的乘积比2与乘数的乘积小,所以,又B与2的乘积个位是0,所以,不进位,那么个位是0,得,两个乘法式子分别为和,乘积的差为【答案】【例 9】 在图中的每个方框中填入一个适当的数字,使得乘法竖式成立.乘积等于 .【考点】乘法数字谜 【难度】3星 【题型】填空【关键词】走美杯,5年级,决赛,第6题,10分【解析】 根据乘法算式,被乘数乘以后得到一个位数,且

9、此三位数的最高位在最终的运算中进位了,所以被乘数的最高位应该是,而乘数的十位数乘以被乘数后得到的结果也是三位数,所以乘数的十位数只能是或,如果是,那么被乘数的十位数肯定是,第三位数字必为,但此时不可能是位数,故乘数第二位必为,被乘数第三位必为,被乘数第二位为或,假设被乘数第二位是,则不可能是六位数,所以被乘数必然是,经试算,乘式为.【答案】【例 10】 如图,请在右图每个方框中填入一个数字,使乘法竖式成立.【考点】乘法数字谜 【难度】3星 【题型】填空【关键词】走美杯,初赛,六年级,第7题【解析】【答案】【例 11】 在下面的乘法算式中,相同的字母表示相同的数字,不同的字母表示不同的数字则 ,

10、表示的五位数是 【考点】乘法数字谜 【难度】3星 【题型】填空 【关键词】学而思杯,5年级,第13题【解析】 ,【答案】,【例 12】 如图,请在右图每个方框中填入一个不是8的数字,使乘法竖式成立.88888【考点】乘法数字谜 【难度】4星 【题型】填空 【关键词】走美杯,四年级,第11题【解析】【答案】【例 13】 在下面的算式中：,别代表09中的三个不同的数字,那么,数字是【考点】乘法数字谜 【难度】3星 【题型】填空 【关键词】迎春杯,中年级,复试,第8题【解析】 这是一道数字谜问题考察同学们的推理能力首先列成竖式：从,及乘积为看,所以从竖式的十位上看,的个位数字是0（1）当时,从十位看

11、,的个位数字必是0,只能是,是偶数或,为偶数若,是偶数从及乘积看,因为且是偶数,所以时是无解的若,为偶数从算式的千位看,由于,由于不能进位,所以7加几也不能等于1所以时是无解的（2）当时,从百位看,的个位数字必是9,十位数字必是0,那么此时【答案】301【例 14】 如图所示的乘法竖式中,“学而思杯”分别代表09 中的一个数字,相同的汉字代表相同的数字,不同的汉字代表不同的数字,那么“学而思杯”代表的数字分别为_【考点】乘法数字谜 【难度】3星 【题型】填空 【解析】 首先从式子中可以看出“思”,另外第三个部分积的首位只能为9,所以“学”只能为3由于3个部分积都是四位数,而且第三个部分积的首位

12、为9,所以它比其它两个部分积要大,从而“学”比“而”和“杯”都大,所以“而”和“杯”只能分别为1和2,这样“学而思杯”就可能为3102或3201分别进行检验,发现,与算式不相符,而符合,所以“学而思杯”代表的数字分别为3、2、0、1【答案】3、2、0、1模块二、除法数字谜【例 15】 在方格内填上适当的数字,使得除法竖式成立.【考点】除法数字谜 【难度】3星 【题型】填空【关键词】走美杯,决赛,5年级,决赛,第9题,10分【解析】 20047-13=2003423753.由商的个位是2知,除数乘以2的个位是4,所以除数的个位是2或7.因为20034只有一个因子2,所以20034只能分解成一个偶

13、数与一个奇数的乘积,由商是偶数推知除数是奇数,所以除数的个位是7.20034的两位数因数中只有3=27符合要求,所以除数是27,商是2003427742.【答案】【例 16】 如图所示的除法算式中,每个各代表一个数字,则被除数是 . 【考点】除法数字谜 【难度】3星 【题型】填空【关键词】希望杯,4年级,初赛,8题【解析】 先确定商首位是8,再估量出除数首位是5,确定商的末位1,得到被除数为4620.【答案】【例 17】 右边的除法算式中,商数是 .【考点】除法数字谜 【难度】3星 【题型】填空【关键词】希望杯,五年级,初赛,第11题,4分【解析】 除数的百位是6,积是一个三位数,所以商的十位

14、一定是1,除数的个位是7,被除数个位是1,所以商的个位是3,所以商是3【答案】【例 18】 右面算式中的每个“奇”字代表1、3、5、7、9中的一个,每个“偶”字代表0、2、4、6、8中的一个,为使算式成立,求出它们所代表的值.【考点】除法数字谜 【难度】3星 【题型】填空 【关键词】奇偶分析法【解析】 为了叙述方便,把算式中每个“奇”与“偶”字都标上角码,如下式所示.由于因此所在位必定向“奇2”所在位借1,因而排除“偶4”=0.又由于,所以若,则,而（积为奇奇偶）,228=176（积为奇奇偶）因此,若246=144（积为奇偶偶）,248=192（积为奇奇偶）,于是,.而的差不可能等于4,因此,

15、424=168（积为奇偶偶）,426252（积为偶奇偶）,428=336（积为奇奇偶）,于是,因为,所以有,便得： 444176 （积为奇奇偶）;446=264 （积为偶偶偶）;448352 （积为奇奇偶）,因此 若,则,而226=132（积为奇奇偶）,228176（积为奇奇偶）,“偶2”4.【答案】17644242【例 19】 在右图的每个方框中填入一个数字,使得除法算式成立则被除数应是_【考点】除法数字谜 【难度】3星 【题型】填空【关键词】迎春杯,五年级,初赛,第11题【解析】 如下图,我们将空格标上字母,以便分析,由,得因为,可以得知或者6如果,则没有进位,所得个位必是偶数,那么,必是

16、奇数因为, 所以,可能是1、3、5、7、9,其中只有18可以表示成两个一位数的乘积,所以可能是1如果,得,那么,只能是,而最大为189,这样将为0不符题意所以不成立如果,分别将1至9代入X进行计算,可以发现,当、2、3、7、8时,第一次除法后得到的余数都大于除数,所以可以排除;若,得,进而得到,因为 的结果是一个两位数,所以或者2当的时候,而没有借位,所以结果最大为5,产生矛盾,故,进而推出,符合题目要求,被除数为38686;若,由第一次除法可以推出,只能是6或者7,但是无论 还是7,都无法满足,所以排除;若,由第一次除法可以推出,只能是8或者9,但是无论 还是7,都无法满足,所以排除;若,由

17、第一次除法可以推出,那么,但是不存在能使这个等式成立的整数,所以可以排除;综上所述,只有,的时候满足题目中的除式,所以被除数为38686【答案】【例 20】 在方框中填入适当的数字,使得除法竖式成立已知商为奇数,那么除数为 ： 【考点】除法数字谜 【难度】3星 【题型】填空 【关键词】迎春杯,高年级,决赛,2题【解析】 先看除式的第二、三行,一个三位数减去一个两位数,得到一个一位数,可得这个三位数的前两位为1、0,这个两位数的十位数字为9,个位不能为0除数是一个三位数,它与商的百位和个位相乘,所得的两个三位数的百位都是9,那么可得商的百位和个位相同先将已得出的信息填入方框中,并用字母来表示一些

18、方框中的数,如右图所示由于商为奇数,所以是奇数,可能为1、3、7、9(不可能为5)若为1,则,而为三位数,于是,又这个乘积的十位数字为0,而不能为0,矛盾所以不为1;若为3,则,可能为1、4、7, 相应的为304、314、324当为314和324时所的结果的十位数字不可能为0,不合题意;若为304,则可能为1或2,经检验为1和2时都与竖式不符,所以也不能为3;若为7,则,只有时满足,此时,那么经检验满足题意;若为9,则,只能为7,此时,则只能为1经检验也不合题意所以只有除数为136时竖式成立,所以所求的除数即为136 【答案】136【例 21】 右图是一个分数等式：等式中的汉字代表数字1、2、

19、3、4、5、6、7、8和9,不同的汉字代表不同的数字,如果“北”和“京”分别代表1和9,请写出“奥运会”所代表的所有三位整数,并且说明理由.【考点】除法数字谜 【难度】6星 【题型】填空【关键词】华杯赛,决赛,第14题,10分【解析】 9奥运会=梦想成真,梦想成真为9的倍数于是：“梦”“想”“成”“真”为9的倍数而：“梦”“想”“成”“真” 最大为：8765=26最小为：2345=14所以：“梦”“想”“成”“真” 在14至26之间,且为9的倍数,推出：“梦”“想”“成”“真”=18“奥”、“运”、“会”、“梦”、“想”、“成”、“真”分别代表28所以：“奥” “运”“会”=238-18=17

20、可以得出：“奥”、“运”、“会”必是下面三组中的一组： 8、7、2 ; 8、6、3 ; 8、5、4 ; 7、6、4分别讨论,看哪组满足题意：此事有两种讨论思路：（1）利用加减数字谜;奥运会9=梦想成真, 奥 运 会 0 奥 运 会 梦 想 成 真“奥”“梦”,所以, “运”必定比“奥”小,（这样“运”“奥”时需借位,这样才能保证“奥”“梦”）即 奥运会这个三位数的十位比百位小. 若“奥”、“运”、“会”为8、7、2这一组,则 三位数“奥运会”可能为872,827,728 .奥运会9=梦想成真若： 8729=7848 “奥”、“真”重复 所以： 不行 8279=7843 “奥”、“想”重复 所以

21、： 不行 7289=6552 “想”、“成”重复 所以： 不行、一样的思路试 其他三组经试验： 三位数“奥运会”可以为：836,647,638（2）利用乘除数字谜根据所求,“奥”、“运”、“会”必是下面三组中的一组： 8、7、2 8、6、3 8、5、4 7、6、4 奥 运 会 9 梦 想 成 真当“奥”、“运”、“会”为8、7、2一组里的数时,观察尾数,可知会只能为7,则奥运会可以是287也可以是827,此时梦想成真应从3、4、5、6里选,2879=2870-287,千位是2,没有满足这样的数;8279=8270-827千位是7,也无这样的数;当奥”、“运”、“会”为8、3、6一组里的数时,观

22、察尾数,可知会只能为8,也可能为3,可能为6,分别讨论;当会为8时,奥运会=638或368,6389=6380-638=5742,满足;3689=3680-368=3314不符合;当会为6时,奥运会=386或836,3869=3860-386=3474,不符合;8369=8360-836=7524满足;当会为3时,奥运会=683或者863,6839=6830-683,千位为6,不符合;8639=8630-863=7767不符合;其他同理,发现当奥运会=647也可.所以奥运会有836,647,638共3种取值.【答案】奥运会有836,647,638共3种取值【例 22】 如下图所示的算式中,除数是( ),商是（）.【考点】除法数字谜 【难度】星 【题型】填空【关键词】希望杯,5年级,复赛,第12题【解析】 ,突破口为如图中的阶梯型.【答案】除数是,商12