九年级数学下册《利用三角函数测高》分项练习真题【解析版】.docx

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1、【解析版】专题1.7利用三角函数测高姓名:_ 班级:_ 得分:_注意事项:本试卷满分100分,试题共24题,其中选择10道、填空8道、解答6道答卷前,考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置 一、选择题(本大题共10小题,每小题3分,共30分)在每小题所给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的 1(2020石家庄二模)如图,嘉琪在一座桥的附近试飞一架小型无人机,为了测量无人机飞行的高度AD,嘉琪通过操控装置测得无人机俯视桥头B,C的俯角分别为EAB60和EAC30,且D、B、C在同一水平线上已知桥BC30米,则无人机的飞行高度AD()A15米B15米C(15

2、15)米D(1515)米【分析】由EAB60、EAC30可得出CAD60、BAD30,进而可得出CDAD、BDAD,再结合BC30即可求出AD的长度【解答】解:EAB60,EAC30,CAD60,BAD30,CDADtanCADAD,BDADtanBADAD,BCCDBDAD30,AD15(米)答:无人机的飞行高度AD为15米故选:B2(2020深圳模拟)如图所示,从一热气球的探测器A点,看一栋高楼顶部B点的仰角为30,看这栋高楼底部C点的俯角为60,若热气球与高楼的水平距离为30m,则这栋高楼高度是()A60mB40mC30mD60m【分析】过A作ADBC,垂足为D,在RtABD与RtACD

3、中,根据三角函数的定义求得BD和CD,再根据BCBD+CD即可求解【解答】解:过A作ADBC,垂足为D在RtABD中,BAD30,AD30m,BDADtan303010(m),在RtACD中,CAD60,AD30m,CDADtan603030(m),BCBD+CD103040(m),即这栋高楼高度是40m故选:B3(2020春南岸区校级月考)如图所示,林克想测量一座传送塔的高度,但是塔周围有怪物无法接近于是他先在传送塔周围的空地C处的地面上水平放置了一个小平面镜,然后他沿着BC方向移动,当移动到点E时他刚好在小平面镜内看到这座传送塔的顶端A的像,此时,测得顶端A的仰角为32,CE2米,林克眼睛

4、与地面的距离DE1.6米,已知点B、C、E在同一水平直线上,且DE、AB均垂直于BE,若小平面镜的大小忽略不计,则这座传送塔的高度AB是()米(参考数据:sin320.53,cos320.85,tan320.64)A14.4B15.4C16.2D17.5【分析】作DFAB于F,则DFEB,BFDE1.6,证CDECAB,得出,设AB4x,则BC5x,DF2+5x,AF4x1.6,由三角函数定义得0.64,解得x3.6,即可得出答案【解答】解:作DFAB于F,如图:则DFEB,BFDE1.6,由题意得:ADF32,DCEACB,DECABC90,CDECAB,设AB4x,则BC5x,DFEBCE

5、+BC2+5x,AFABBF4x1.6,在RtADF中,tanADFtan320.64,即0.64,解得:x3.6,AB14.4(米);故选:A4(2020春北碚区校级月考)学校某数学兴趣小组想测学校旗杆高度如图,明明在稻香园一楼A点测得旗杆顶点F仰角为45,在稻香园二楼B点测得点F的仰角为37明明从A点朝旗杆方向步行4米到C点,沿坡度i1:3的台阶走到点D,再向前走5米到旗杆底部E,已知稻香园AB高度为4.5米,则旗杆EF的高度约为()(参考数据:sin370.6,cos370.8,tan370.75)A13.5米B15米C16.5米D18米【分析】延长FE、AC交于点G,作DHAG于H,B

6、MFE于M,则AFG是等腰直角三角形,得FGAGBM,由CD的坡度得CH3DH,设EGDHx,则CH3x,BMFGAG9+3x,FM4.5+3x,在RtBFM中,由三角函数定义得出,解得x3,进而得出答案【解答】解:延长FE、AC交于点G,作DHAG于H,BMFE于M,如图所示:则BMAG,GMAB4.5,GHDE5,EGDH,MBF37,GAF45,AFG是等腰直角三角形,FGAGBM,CD的坡度i1:3,1:3,CH3DH,设EGDHx,则CH3x,BMFGAGGH+CH+AC5+3x+49+3x,FMFGGM9+3x4.54.5+3x,在RtBFM中,tanMBFtan370.75,解得

7、:x3,FG18,EG3,EFFGEG18315(米);故选:B5(2020渝中区校级三模)如图所示,某数学活动小组选定测量小河对岸大树BC的高度,他们在斜坡上D处测得大树顶端B的仰角是27,朝大树方向下坡走6米到达坡底A处,在A处测得大树顶端B的仰角是48,若斜坡AF的坡度i1:,则大树的高度为()(结果保留整数,参考数据:sin270.45,cos270.89,tan270.5,sin480.74,cos480.67,tan481.1,1.7)A8米B9米C10米D11米【分析】过点D作DMBC于点M,DNAC于点N,由AF的坡比i1:,DA6,可求得AN与DN的长,设大树的高度为x米,由

8、三角函数定义可得AC,在BDM中,tanBDMtan270.5,则BM0.5DM,得出方程x30.5(3),解方程即可求得答案【解答】解:过点D作DMBC于点M,DNAC于点N,则四边形DMCN是矩形,DA6,斜坡AF的坡比i1:tanDAN,DAN30,DNAD3,ANDN3,设大树的高度为x米,在斜坡上A处测得大树顶端B的仰角是48,tan481.1,AC,DMCNAN+AC3,在BDM中,tanBDMtan270.5,BM0.5DM,x30.5(3),解得:x10即树高BC约10米故选:C6(2020渝中区校级二模)保利观澜旁边有一望江公园,公园里有一文峰塔,工程人员在与塔底中心的D同一

9、水平线的A处,测得AD20米,沿坡度i0.75的斜坡AB走到B点,测得塔顶E仰角为37,再沿水平方向走20米到C处,测得塔顶E的仰角为22,则塔高DE为()米(结果精确到十分位)(sin370.60,cos370.80,tan370.75,sin220.37,cos220.93,tan220.40,)A18.3米B19.3米C20米D21.2米【分析】连接DE,作BFDE于F,BGDA于G,设BG3xm,则AG4xm,BFDG20+4x(m),CFBF+BC40+4x(m),由三角函数定义得出EFtan37(20+4x),EFtan22(40+4x),得出0.75(20+4x)0.40(40+

10、4x),解得x,求出DF、EF,即可得出答案【解答】解:连接DE,作BFDE于F,BGDA于G,如图:则DFBG,BFDGAD+AG,AB斜坡AB的坡度i0.75,设BG3xm,则AG4xm,BFDG20+4x(m),CFBF+BC20+4x+2040+4x(m),由题意得:EBF37,ECF22,tanBEF,tanECF,EFtan37(20+4x),EFtan22(40+4x),0.75(20+4x)0.40(40+4x),解得:x,DFBG3x(m),EF0.40(40+4x)(m),DEDF+EF19.3(m);故选:B7(2020大东区二模)小明同学在校外实践活动中对一座大桥开展测

11、量活动如图,在桥外一点A测得大桥主架与水面的交汇点C的俯角为,大桥主架的顶端D的仰角为,已知测量点与大桥主架的水平距离ABm,则此时大桥主架顶端离水面的高CD为()Amsin+msinBmcos+mcosCmtan+mtanD【分析】根据直角三角形锐角三角函数求出BC、BD,即可求解【解答】解:在RtABC中,tan,BCABtanmtan,在RtABD中,tan,BDABtanmtan,CDBC+BDmtan+mtan故选:C8(2020沙坪坝区校级一模)碧津公园坐落在江北机场旁,它是一个风景秀丽、优美如画的公园园中的碧津塔是一座八角塔,每个角挂有一个风铃,被评为重庆市公园最美景点重庆一中某

12、数学兴趣小组,想测量碧津塔的高度,他们在点C处测得碧津塔顶部A处的仰角为45,再沿着坡度为i1:2.4的斜坡CD向上走了5.2米到达点D,此时测得碧津塔顶部A的仰角为37,碧津塔AB所在平台高度EF为0.8米A、B、C、D、E、F在同一平面内,则碧津塔AB的高约为()米(参考数据:sin370.6,cos370.8,tan370.75)A20.8B21.6C23.2D24【分析】根据题意可得,ABC90,ACB45,ABBC,根据DN:NCi1:2.4,CD5.2,可得DN2,CN4.8,设DGAB,垂足为G,在RtADG中,ADG37,根据锐角三角函数即可求出碧津塔AB的大约高度【解答】解:

13、根据题意可知:ABC90,ACB45,ABBC,DN:NCi1:2.4,CD5.2,DN2,CN4.8,设DGAB,垂足为G,在RtADG中,ADG37,AGABGBABDNAB2,又DGBNCN+BC4.8+AB,tanADG,(4.8+AB)AB2,解得AB22.4,AB所在平台高度EF为0.8米,22.40.821.6(米)答:碧津塔AB的高约为21.6米故选:B9(2020春沙坪坝区校级月考)如图,小刚家在甲楼,他想利用最近所学知识测量对面的乙楼的高度,小刚在甲楼楼底B点测得乙楼楼顶C点的仰角为45,当他爬上楼顶,在A点处测得乙楼D点的仰角为30若AB10m,CD6m,则乙楼的高度CE

14、为()m(参考数据:1.41,1.73,精确到0.1m)A21.8B37.6C37.8D38.2【分析】过点A作AFCE于点F,根据题意可得,四边形ABEF是矩形,再根据特殊角三角函数即可求出乙楼的高度【解答】解:如图,过点A作AFCE于点F,根据题意可知:ABBE,CEBE,四边形ABEF是矩形,AFBE,EFAB10,在RtCBE中,CBE45,BECECD+DF+FE6+DF+1016+DF,在RtADF中,DAF30,DFAFtan30,DF(16+DF),解得DF8(1),CE16+DF24+837.8(m)答:乙楼的高度CE为37.8m故选:C10(2020秋沙坪坝区校级月考)如图

15、,学校某数学兴趣小组想测量操场对面旗杆AB的高度,他们在C点测得旗杆顶部A的仰角为35,再沿着坡度为3:4的楼梯向下走了3.5米到达D处,再继续向旗杆方向走了15米到达E处,在E处测得旗杆顶部A的仰角为65,已知旗杆AB所在平台BF的高度为3.5米,则旗杆的高度AB为()(结果精确到0.1,参考数据:tan350.7,tan652.1)A19.8米B19.7米C18.3米D16.2米【分析】作CGAF于G,DHCG于H,则HGDF,FGDH,求出FGDH2.1,CH2.8,由三角函数定义求出AG0.7CG,则AF0.7CG+2.1,求出EFCG17.8,由三角函数定义得AF2.1EF,则0.7

16、CG+2.12.1(CG17.8),解得CG28.2,进而得出答案【解答】解:作CGAF于G,DHCG于H,如图所示:则HGDF,FGDH,楼梯CD的坡度为3:4,CD3.5,FGDH2.1,CH2.8,在RtACG中,ACG35,tanACGtan350.7,AG0.7CG,AFAG+FG0.7CG+2.1,DFHGCGCHCG2.8,EFDFDECG2.815CG17.8,在RtAEF中,AEF65,tanAEFtan652.1,AF2.1EF,0.7CG+2.12.1(CG17.8),解得:CG28.2,AF0.728.2+2.121.84,ABAFBF21.843.518.3(米),即

17、旗杆的高度AB约为18.3米;故选:C二、填空题(本大题共8小题,每小题3分,共24分)请把答案直接填写在横线上11(2020兴庆区校级一模)如图,小明为测量大树MN的高度,在点A处测得大树顶端M的仰角是30,沿NA的方向后退50米到达点B,测得大树顶端M的仰角是15,A,B,N在同一水平线上,若小明的身高忽略不计,则大树高约为25米【分析】根据三角形的外角性质、等腰三角形的判定得到AMAB50米,根据直角三角形的性质计算,得到答案【解答】解:MAN是ABM的一个外角,AMBMANABM301515,AMBABM,AMAB50米,在RtAMN中,MAN30,MNAM25米;故答案为:2512(

18、2020泰安二模)如图,某无人机兴趣小组在操场上开展活动,此时无人机在离地面30米的D处,无人机测得操控者A的俯角为30,测得点C处的俯角为45又经过人工测量操控者A和教学楼BC距离为57米,则教学楼BC的高度为(3027)米(点A,B,C,D都在同一平面上,结果保留根号)【分析】过点D作DEAB于点E,过点C作CFDE于点F根据题意可得AB57,DE30,A30,DCF45再根据四边形BCFE是矩形知CFBE5730进而可得教学楼BC的高度【解答】解:过点D作DEAB于点E,过点C作CFDE于点F由题意得,AB57,DE30,A30,DCF45在RtADE中,AED90,tan30,即,AE

19、30,AB57,BEABAE5730,四边形BCFE是矩形,CFBE5730在RtDCF中,DFC90,CDFDCF45DFCF5730,BCEF3057+30(3027)米答:教学楼BC高约(3027)米故答案为:(3027)米13(2020海门市一模)如图,在数学活动课中,小东为了测量校园内旗杆AB的高度,站在教学楼的O处测得旗杆底端B的俯角为30,测得旗杆顶端A的仰角为45,若旗杆与教学楼的距离为12m,则旗杆AB的高度是(12+4)m(结果保留根号)【分析】作OCAB于点C,根据题意可得,AOC45,BOC30,OC12,再根据特殊角三角函数即可求出AC和BC的值,进而可得AB的值【解

20、答】解:如图,作OCAB于点C,ACOBCO90,根据题意可知:AOC45,BOC30,OC12,ACOC12,BCOCtan30124ABAC+BC12+4(m)所以旗杆AB的高度是(12+4)m故答案为:(12+4)14(2020宁波模拟)某数学兴趣小组为测量河对岸树AB的高,在河岸边选择一点C从C处测得树梢A的仰角为45,沿BC方向后退10米到点D,再次测得树梢A的仰角为30,则树高为13.7米(结果精确到0.1米,参考数据:1.414,1.732)【分析】根据题意可得,ABC90,CD10,根据锐角三角函数即可求出AB的长【解答】解:根据题意可知:ABC90,CD10,在RtABC中,

21、ACB45,ABCB,在RtABD中,ADB30,BDCD+BC10+AB,tan30,即,解得AB13.7(米)答:树高约为13.7米故答案为:13.715(2020春太原期中)如图,小亮为了测量校园里教学楼AB的高度,他站在离教学楼30m的C处仰望教学楼顶部A,仰角为30已知小亮的高度是1.6m,则教学楼的高度约为171.7,结果精确到0.1)【分析】作DEAB于点E,根据题意可得四边形DCBE是矩形,再利用锐角三角函数即可求出教学楼的高度【解答】解:如图,作DEAB于点E,根据题意可知:DCBC,ABBC,四边形DCBE是矩形,BEDC1.6,DECB30,在RtADE中,ADE30,D

22、E30,AEDEtan30301017(m)答:教学楼的高度约为17m故答案为:1716(2020闵行区二模)七宝琉璃玲珑塔(简称七宝塔),位于上海市七宝古镇的七宝教寺内,塔高47米,共7层学校老师组织学生利用无人机实地勘测,如果无人机在飞行的某一高度时传回数据,测得塔顶的仰角为60,塔底的俯角为45,那么此时无人机距离地面的高度为米(结果保留根号)【分析】如图所示:设无人机所在位置为点A,根据题意可得,BAD60,DAC45,BC47(米),设此时无人机距离地面的高度为x米,再根据三角函数即可求出x的值【解答】解:如图所示:设无人机所在位置为点A,根据题意可知:BAD60,DAC45,BC4

23、7(米),设此时无人机距离地面的高度为x米,则CDx,则BD47x,ADCDx,在RtADB中,tan60,即,解得x(米)答:此时无人机距离地面的高度为米故答案为:17(2020镇平县模拟)如图,某地修建高速公路,要从A地向B地修一条隧道(点A、B在同一水平面上)为了测量A、B两地之间的距离,一架直升飞机从A地出发,垂直上升800米到达C处,在C处观察B地的俯角为,则A、B两地之间的距离为米【分析】在RtABC中,CAB90,B,AC800米,根据tan,即可解决问题【解答】解:在RtABC中,CAB90,B,AC800米,tan,AB(米)故答案为:18(2020春新泰市期中)如图,某建筑

24、物的顶部有一块标识牌CD,小明在斜坡上B处测得标识牌顶部C的仰角为45,沿斜坡走下来,在地面A处测得标识牌底部D的仰角为60,已知斜坡AB的坡角为30,ABAE10米则标识牌CD的高度是(155)米【分析】过点B作BHAE于点H,BFCE于点F,根据题意可得BAH30,BH5,AH5,四边形BHEF是矩形,再根据三角函数即可求得标识牌CD的高度【解答】解:如图,过点B作BHAE于点H,BFCE于点F,根据题意可知:BAH30,ABAE10,BH5,AH5,CEAE,四边形BHEF是矩形,EFBH5,BFHEAH+AE510,DAE60,DEAEtan6010,DFDEEF105,CBF45,C

25、FBF510,CDCFDF510(105)155(米)所以标识牌CD的高度是(155)米故答案为:(155)三、解答题(本大题共6小题,共46分解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)19(2020新昌县校级模拟)如图,某学校体育场看台的顶端C到地面的垂直距离CD为2m,看台所在斜坡CM的坡比i1:3,在点C处测得旗杆顶点A的仰角为30,在点M处测得旗杆顶点A的仰角为60,且B,M,D三点在同一水平线上(1)求DM的长(2)求旗杆AB的高度(结果保留根号)【分析】(1)根据斜坡CM的坡比i1:3,CD为2m,进而可得DM的长;(2)过点C作CEAB于点E,设BMx,根据矩形的性质以及锐角三角

26、函数的定义即可求出答案【解答】解:(1)CD2,tanCMD,MD6m;(2)过点C作CEAB于点E,设BMx,BDx+6,AMB60,BAM30,ABx,已知四边形CDBE是矩形,BECD2,CEBDx+6,AEx2在RtACE中,tan30,解得:x3,ABx3+38.2m20(2020春辉南县校级月考)如图,已知线段AB、CD分别表示甲、乙两栋楼的高,ABBD,CDBD,甲楼的高AB24米从甲楼顶部A处测得乙楼顶部C的仰角30,测得乙楼底部D的俯角60求乙楼的高CD【分析】根据题意可得ABBD,CDBD,可得四边形ABDE是矩形,则可求得DE的长,然后由三角函数的性质,求得CE的长,即可

27、求得答案【解答】解:ABBD,CDBD,四边形ABDE是矩形,DEAB24m,在RtAED中,AE8(m),在RtACE中,CEAEtan88(m),CDDE+CE24+832(m)答:乙楼CD的高为32m21(2020春亭湖区校级月考)如图,随着社会经济的发展,人们的环境保护意识也在逐步增强某社区设立了“保护环境爱我地球“的宣传牌,已知立杆AB的高度是4m,从地面上某处D点测得宣传牌顶端C和底端B点的仰角分别是62和45、求宜传牌的高度BC的长(精确到0.1m,参考数据:sin620.83,cos620.47,tan621.88)【分析】在RtADB中,根据BDA45,ADAB3m,利用62

28、的正切函数解答即可【解答】解:在RtADB中,BDA45,ADAB4m在RtADC中,ACADtan6241.887.52(m)BCACAB7.5243.523.5(m)答:宣传牌BC的高度是3.5m22(2020春吴兴区校级期中)第十一届全国少数民族传统体育运动会于2019年9月8日至16日在郑州举行,据了解,该赛事每四年举办一届,是我国规格最高、规模最大的综合性民族体育盛会,其中,花炮、押加、民族式摔跤三个项目的比赛在郑州大学主校区进行如图,钟楼是郑州大学主校区标志性建筑物之一,是郑大的“第一高度”,寓意来自五湖四海的郑大人的团结和凝聚小刚站在钟楼前C处测得钟楼顶A的仰角为53,小强站在对

29、面的教学楼三楼上的D处测得钟楼顶A的仰角为45,此时,两人的水平距离EC为4m,已知教学楼三楼所在的高度为10m,根据测得的数据,计算钟楼AB的高度(参考数据:sin53,cos53,tan53)【分析】作DFAB于F,根据矩形的性质得到FBDE10,DFBE,根据等腰直角三角形的性质、正切的定义计算,得到答案【解答】解:作DFAB于F,设ABxm,FBEB,DEEB,DFAB,四边形FBED为矩形,FBDE10,DFBE,AF10x,在RtAFD中,ADF45,DFAFx10,在RtABC中,ACB53,tanACB,BCx,由题意得,BEBCCE,即x10x4,解得,x56,答:钟楼AB的

30、高度约为56m23(2020安宁区校级模拟)兰州白塔山山势起伏,山中白塔七级八面,上有绿项,下筑圆基,几经强烈地震仍屹立未动,显示了我国古代劳动人民在建筑艺术上的智慧与才能问题提出:如何测量白塔的高MN方案设计:九年级三班的白亮同学去测量白塔的高,如图,他在点A处测得塔尖M的仰角是30,向前走了50米到达点B处,又测得塔尖M的仰角是60问题解决:根据上述方案和数据,求白塔的高度MN(结果精确到1m,参考数据:1.73)【分析】根据三角形的外角性质求出AMB,根据等腰三角形的判定定理得到BMAB50,根据正弦的定义计算,得到答案【解答】解:MBN是ABM的一个外角,AMBMBNMAB30,AMB

31、MAB,BMAB50,在RtMBN中,sinMBN,MNBMsinMBN502543,答:白塔的高度MN约为43米24(2020中原区校级模拟)某数学兴趣小组学过锐角三角函数后,计划测量中原福塔的总高度如图所示,在B处测得福塔主体建筑顶点A的仰角为45,福塔顶部桅杆天线AD高120m,再沿CB方向前进20m到达E处,测得桅杆天线顶部D的仰角为53.4求中原福塔CD的总高度(结果精确到1m参考数据:sin53.40.803,cos53.40.596,tan53.41.346)【分析】设AC为xm,根据等腰直角三角形的性质得到BCACx,根据正切的定义列出方程,解方程即可得到答案【解答】解:设AC为xm,则CD(x+120)m,在RtACB中,ABC45,BCACx,CEx+20,在RtDCE中,tanDEC,即1.346,解得,x269.0,CDx+120389.0389,答:中原福塔CD的总高度约为389m24