九年级数学上册《相似三角形的性质》分项练习真题【解析版】.docx

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1、【解析版】专题4.7相似三角形的性质姓名:_ 班级:_ 得分:_注意事项:本试卷满分100分,试题共24题答卷前,考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置 一、选择题(本大题共10小题,每小题3分,共30分)在每小题所给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的 1(2020余干县模拟)已知ABCDEF,若周长比为4:9,则AC:DF等于()A4:9B16:81C3:5D2:3【分析】利用相似三角形的性质,可求出,此题得解【解析】ABCDEF,故选:A2(2018秋渝中区校级期末)如图,ABC与DEF形状完全相同,且AB3.6,BC6,AC8,EF2,则DE的长

2、度为()A1.2B1.8C3D7.2【分析】根据ABC与DEF形状完全相同,可得ABCDEF,再根据相似三角形的对应边成比例,即可得出DE的长【解析】ABC与DEF形状完全相同,ABCDEF,即,解得DE1.2,故选:A3(2020春沙坪坝区校级期末)若ABCDEF,AB:DE9:4,则ABC与DEF的面积之比为()A3:2B9:4C4:9D81:16【分析】根据相似三角形的性质:相似三角形的面积之比等于相似比的平方,即可求出答案【解析】ABCDEF,且相似比为9:4,其面积之比为81:16故选:D4(2020铜仁市)已知FHBEAD,它们的周长分别为30和15,且FH6,则EA的长为()A3

3、B2C4D5【分析】根据相似三角形的周长比等于相似比解答【解析】FHB和EAD的周长分别为30和15,FHB和EAD的周长比为2:1,FHBEAD,2,即2,解得,EA3,故选:A5(2020新昌县模拟)如图为一座房屋屋架结构示意图,已知屋檐ABBC,横梁EFAC,点E为AB的中点,且BDEF,屋架高BD4m,横梁AC12m,则支架DF长为()A2B2CD2【分析】直接利用等腰三角形的性质得出ADDC,再利用勾股定理得出AB的长,进而利用三角形中位线的性质得出答案【解析】ABBC,BDEF,ADDC6m,AB2(m),EFAC,BEFBAC,点E为AB的中点,F是BC的中点,FD是ABC的中位

4、线,DFAB(m)故选:C6(2020春相城区期末)如图,在平行四边形ABCD中,点E在边DC上,DE:EC3;1,连接AE交BD于点F,则DEF的面积与DAF的面积之比为()A9:16B3:4C9:4D3:2【分析】先根据平行四边形的性质得到ABCD,ABCD,则DE:AB3:4,再证明DEFBAF,利用相似比得到,然后根据三角形面积公式求DEF的面积与DAF的面积之比【解析】四边形ABCD为平行四边形,ABCD,ABCD,DE:EC3:1,DE:ABDE:DC3:4,DEAB,DEFBAF,DEF的面积与DAF的面积之比EF:AF3:4故选:B7(2020河北模拟)如图,在等腰三角形ABC

5、中,ABAC,图中所有三角形均相似,其中最小的三角形面积为1,ABC的面积为44,则四边形DBCE的面积是()A22B24C26D28【分析】利用AFHADE得到()2,所以SAFH9x,SADE16x,则16x9x7,解得x1,从而得到SADE16,然后计算两个三角形的面积差得到四边形DBCE的面积【解析】如图,由题意根据题意得AFHADE,所有三角形均相似,可得FH:DE3:4,()2,设SAFH9x,则SADE16x,16x9x7,解得x1,SADE16,四边形DBCE的面积441628故选:D8(2019秋青龙县期末)如图,在矩形ABCD中,AB1,在BC上取一点E,沿AE将ABE向上

6、折叠,使B点落在AD上的点F处,若四边形EFDC(EFDF)与矩形ABCD相似,则DF的长为()ABCD1【分析】可设ADx,由四边形EFDC与矩形ABCD相似,根据相似多边形对应边的比相等列出比例式,求解即可【解析】AB1,设ADx,则FDx1,FE1,四边形EFDC与矩形ABCD相似,即,解得:x1,x2(不合题意舍去),经检验x1是原方程的解FD1故选:C9(2019秋诸暨市期末)如图,ABC中,点D是AB的中点,点E是AC边上的动点,若ADE与ABC相似,则下列结论一定成立的是()AE为AC的中点BDEBC或BDE+C180CADECDDE是中位线或ADACAEAB【分析】根据相似三角

7、形的性质即可得到结论【解析】A、ADE与ABC相似,ADEB或ADEC,当ADEC时,DE与BC不平行,点E不一定为AC中点,故A错误;B、当ADEABC时,ADEB,DEBC,当ADEACB时,ADEC,BDE+C180,故B正确;C、当ADEC时,DE与BC不平行,DE不一定是中位线,当ADEACB时,ADABAEAC,故C错误;D、当ADEABC时,ADEB,故D错误;故选:B10如图,矩形ABCD矩形FAHG,连结BD,延长GH分别交BD、BC于点、J,延长CD、FG交于点E,一定能求出BIJ面积的条件是()A矩形ABJH和矩形HJCD的面积之差B矩形ABJH和矩形HDEG的面积之差C

8、矩形ABCD和矩形AHGF的面积之差D矩形FBJG和矩形GJCE的面积之差【分析】根据相似多边形的性质即可解答【解析】设矩形的边AHx,GHy,EGa,DCb,则BJx,JCa,JICD即JI矩形ABCD矩形FAHG,即,x+aS阴影BJJIxxyS矩形ABJHS矩形HDEGxbayxayxyS阴影BIJS矩形ABJHS矩形HDEG所以一定能求出BIJ面积的条件是矩形ABJH和矩形HDEG的面积之差故选:B二、填空题(本大题共8小题,每小题3分,共24分)请把答案直接填写在横线上11(2020闵行区一模)如果两个相似三角形的相似比为2:3,两个三角形的周长的和是100cm,那么较小的三角形的周

9、长为40cm【分析】根据相似三角形周长比等于相似比列式计算【解析】设较小的三角形的周长为xcm,则较大的三角形的周长为(100x)cm,两个相似三角形的相似比为2:3,两个相似三角形的周长比为2:3,解得,x40,故答案为:4012(2019秋大东区期末)若两个相似三角形的面积比是9:25,则对应边上的中线的比为3:5【分析】根据相似三角形面积的比等于相似比的平方求出相似比,根据相似三角形的性质求出答案【解析】两个相似三角形的面积比是9:25,两个相似三角形的相似比是3:5,对应边上的中线的比为3:5,故答案为:3:513(2020开福区模拟)两个相似三角形的相似比为1:2,其中一个三角形的面

10、积是4,则另一个三角形的面积是16或1【分析】由两个相似三角形的相似比为1:2,可得它们的面积面积比为:1:4,然后分别从若小三角形的面积为4与若大三角形的面积为4去分析求解即可求得答案【解析】两个相似三角形的相似比为1:2,它们的面积面积比为:1:4,其中一个三角形的面积为4,若小三角形的面积为4,则另一个三角形的面积为16;若大三角形的面积为4,则另一个三角形的面积为1另一个三角形的面积为16或1故答案为:16或114(2020岳麓区校级二模)若ABCDEF,且相似比为3:1,ABC的面积为54,则DEF的面积为6【分析】根据相似三角形的面积比等于相似比的平方计算,得到答案【解析】ABCD

11、EF,相似比为3:1,32,即9,解得,DEF的面积6,故答案为:615(2019秋南岸区校级期末)若两个相似三角形的面积之比为1:4,则它们对应角的角平分线之比为1:2【分析】根据相似三角形的性质进行分析即可得到答案【解析】两个相似三角形的面积比为1:4,它们对应角的角平分线之比为1:1:2,故答案为:1:216(2019秋阜阳期末)已知ABCDEF,且SABC6,SDEF3,则对应边【分析】直接利用相似三角形的面积比等于相似比的平方,进而得出答案【解析】ABCDEF,且SABC6,SDEF3,其对应边故答案为:17(2019秋富平县期末)如图,O为RtABC斜边中点,AB10,BC6,M,

12、N在AC边上,若OMNBOC,点M的对应点是O,则CM【分析】直接利用相似三角形的性质得出AOCCMO,进而得出OCMACO,求出答案即可【解析】OMNBOC,NMOBOC,AOCCMO,BOCOMN,又MCOOCA,OCMACO,OC2CMCA,25CM8,CM故答案为:18(2019秋雨花台区期末)如图,RtABC中,C90,AC4,BC3,点D是AB边上一点(不与A、B重合),若过点D的直线截得的三角形与ABC相似,并且平分ABC的周长,则AD的长为或或【分析】利用勾股定理计算出AB5,则ABC的周长为12,设ADx,讨论:(1)作DEAC于E,如图1,则AE6x,利用ADEABC得到x

13、:5(6x):4;(2)作DFBC于E,如图2,则BD5x,BF1+x,利用BDFBAC得到(5x):5(1+x):3;(3)作DGAC于G,如图3,则AG6x,利用RtADGRtACB得到x:4(6x):5,然后分别解关于x的方程即可【解析】RtABC中,C90,AC4,BC3,AB5,ABC的周长为3+4+512,设ADx,(1)作DEAC于E,如图1,则AE6x,DEBC,ADEABC,AD:ABAE:AC,即x:5(6x):4,解得x;(2)作DFBC于E,如图2,则BD5x,BF6(5x)1+x,DFAC,BDFBAC,BD:BABF:BC,即(5x):5(1+x):3,解得x;(3

14、)作DGAB,交BC于G,如图3,则AG6x,DAGCAB,ADGC90,RtADGRtACB,AD:ACAG:AB,即x:4(6x):5,解得x,综上所述,AD的长为或或故答案为或或三、解答题(本大题共6小题,共46分解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)19(2020恩施市校级模拟)求证:相似三角形对应角的角平分线之比等于相似比要求:分别在给出的ABC与DEF中用尺规作出一组对应角的平分线,不写作法,保留作图痕迹;在完成作图的基础上,写出已知、求证,并加以证明【分析】根据题意画出图形即可;根据画出的图形,写出已知,求证,然后根据相似三角形对应角相等可得BB1,BACB1A1C1,再根据

15、角平分线的定义求出BADB1A1D1,然后利用两组角对应相等两三角形相似,根据相似三角形对应边成比例列式证明即可【解析】如图所示,AG,DH分别是BAC与EDF的角平分线;已知:如图,ABCDEF,k,AG,DH分别是BAC与EDF的角平分线求证:k;证明:AG,DH分别是ABC与DEF的角平分线,BAGBAC,EDHEDF,ABCDEF,BACEDF,BE,BAGEDH,ABGCDEH,k20(2020春海淀区校级期末)两个相似多边形的最长边分别为4cm和6cm,它们的周长之和为20cm,面积之差为15cm2,求较小多边形的周长与面积【分析】根据相似多边形的面积比等于相似比、面积比等于相似比

16、的平方列方程,解方程得到答案【解析】设较小多边形的周长为xcm,面积为ycm2,则较大多边形的周长为(20x)cm,面积为(y+15)cm2,两个相似多边形的最长边分别为4cm和6cm,两个相似多边形的相似比为2:3,两个相似多边形的周长比为2:3,面积比为4:9,解得,x8,y12,经检验,x8,y12都是原方程的解,答:较小多边形的周长为8cm,面积为12cm221(2019秋赣榆区期末)如图1,RtABC中,ACB90,AC6cm,BC8cm,动点P从点B出发,在BA边上以每秒3cm的速度向点A匀速运动,同时动点Q从点C出发,在CB边上以每秒2cm的速度向点B匀速运动,运动时间为t秒(0

17、t2),连接PQ(1)若BPQ与ABC相似,求t的值;(2)(如图2)连接AQ,CP,若AQCP,求t的值【分析】(1)根据勾股定理求出AB,分BPQBAC、BPQBCA两种情况,根据相似三角形的性质列出比例式,计算即可;(2)过P作PMBC于点M,AQ,CP交于点N,则有PB5t,PM3t,BQ84t,根据ACQCMP,得出AC:CMCQ:MP,代入计算即可【解析】(1)当BPQBAC时,BP3t,QC2t,AB10cm,BC8cm,当BPQBCA时,;或时,BPQ与ABC相似;(2)如图所示,过P作PMBC于点M,AQ,CP交于点N,则有PB3t,NAC+NCA90,PCM+NCA90,N

18、ACPCM且ACQPMC90,ACQCMP,解得:;22(2018春杜尔伯特县期中)如图,在ABC中,ABAC,BAC120,AB边上的垂直平分线与AB、BC交于点D、E,AC边上的垂直平分线与AC、BC分别交于点G、F,(1)AEF是什么形状?你能证明吗?(2)连结DG,你能根据学过的相似三角形的知识证明DGBC吗?(3)DG5cm,试求AEF的周长【分析】(1)先根据等腰三角形的性质和三角形内角和计算BC30,再利用垂直平分线的性质得BEAE,AFCF,则EABB30,FACC30,然后根据三角形的外角性质可求出AEFAFE60,于是可判断AEF为等边三角形;(2)由D是AB中点、G是AC

19、中点知DG是ABC中位线,据此可得DGBC,从而得出ADGABC,利用相似三角形的性质可以得出答案(3)利用AEBE,AFCF可得AE+EF+AFBE+EF+CFBC10cm,从而可确定AEF的周长【解析】(1)AEF为等边三角形理由如下:ABAC,BAC120,BC30,DE垂直平分AB,FG垂直平分AC,BEAE,AFCF,EABB30,FACC30,AEF2B60,AFE2C60,AEF为等边三角形;(2)D是AB中点、G是AC中点,DG是ABC中位线,DGBC,ADGABC,DGBC;(3)DG5,BC2DG10,AEBE,AFCF,AE+EF+AFBE+EF+CFBC10cm,AEF

20、的周长为10cm23(2020淮安模拟)在RtABC中,C90,AC20cm,BC15cm,现有动点P从点A出发,沿AC向点C方向运动,动点Q从点C出发,沿线段CB也向点B方向运动,如果点P的速度是4cm/秒,点Q的速度是2cm/秒,它们同时出发,当有一点到达所在线段的端点时,就停止运动设运动时间为t秒求:(1)当t3时,这时,P,Q两点之间的距离是多少?(2)若CPQ的面积为S,求S关于t的函数关系式(3)当t为多少秒时,以点C,P,Q为顶点的三角形与ABC相似?【分析】(1)在RtCPQ中,当t3秒,可知CP、CQ的长,运用勾股定理可将PQ的长求出;(2)由点P,点Q的运动速度和运动时间,

21、又知AC,BC的长,可将CP、CQ用含t的表达式求出,代入直角三角形面积公式SCPQCPCQ求解;(3)应分两种情况:当RtCPQRtCAB时,根据,可将时间t求出;当RtCPQRtCBA时,根据,可求出时间t【解析】由题意得AP4t,CQ2t,则CP204t,(1)当t3秒时,CP204t8cm,CQ2t6cm,由勾股定理得PQ;(2)由题意得AP4t,CQ2t,则CP204t,因此RtCPQ的面积为Scm2;(3)分两种情况:当RtCPQRtCAB时,即,解得t3秒;当RtCPQRtCBA时,即,解得t秒因此t3秒或t秒时,以点C、P、Q为顶点的三角形与ABC相似24(2019秋雁塔区校级

22、月考)从三角形一个顶点引出一条射线与对边相交,顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个小三角形,如果分得的两个小三角形中一个为等腰三角形,另一个与原三角形相似,我们把这条线段叫做这个三角形的完美分割线(1)如图1,在ABC中,A40,B60,当BCD40时,CD为ABC的完美分割线;(2)如图2,ABC中,AC2,BC,CD是ABC的完美分割线,求完美分割线CD的长【分析】(1)根据已知条件得到ABC不是等腰三角形,求得ACDBCDACB40,得到ACDA40,根据相似三角形的判定定理即可得到结论;(2)根据相似三角形的性质和等腰三角形的性质即可得到结论【解析】(1)当BCD40时,A40,B60,ACB80,ABC不是等腰三角形,ACDBCDACB40,ACDA40,ACD是等腰三角形,BCDA40,CBDABCBCDBAC,CD是BAC的完美分割线;故答案为:40;(2)BCDBAC,ACAD2,BC,设BDx,则AB2+x,解得x1,x0,BDx1,BCDBAC,AC2,BC,BD1CD2,如图3,ADCACB,AD,AB2,ADCACB,CD1,如图4,CDBACB,即,CDDB,CD2+DBCD2,CDBD+DB22,CD2DB222,DB,CD2;如图5,ACDABC,CD,同理解得:CD,如图6,ADCACB,CDBC综上所述,CD的长为或1或或或220