小学数学知识点例题精讲《中国剩余定理及余数性质拓展》学生版.docx

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1、5-5-4.中国剩余定理及余数性质拓展教学目标1. 系统学习中国剩余定理和新中国剩余定理2. 掌握中国剩余定理的核心思想,并灵活运用知识点拨一、中国剩余定理中国古代趣题（1）趣题一中国数学名著孙子算经里有这样的问题：“今有物,不知其数,三三数之,剩二,五五数之,剩三,七七数之,剩二,问物几何?”答曰：“二十三.”此类问题我们可以称为“物不知其数”类型,又被称为“韩信点兵”.韩信点兵又称为中国剩余定理,相传汉高祖刘邦问大将军韩信统御兵士多少,韩信答说,每3人一列余1人、5人一列余2人、7人一列余4人、13人一列余6人.刘邦茫然而不知其数. 我们先考虑下列的问题：假设兵不满一万,每5人一列、9人一

2、列、13人一列、17人一列都剩3人,则兵有多少?首先我们先求5、9、13、17之最小公倍数9945（注：因为5、9、13、17为两两互质的整数,故其最小公倍数为这些数的积）,然后再加3,得9948（人）. 孙子算经的作者及确实著作年代均不可考,不过根据考证,著作年代不会在晋朝之后,以这个考证来说上面这种问题的解法,中国人发现得比西方早,所以这个问题的推广及其解法,被称为中国剩余定理.中国剩余定理（Chinese Remainder Theorem）在近代抽象代数学中占有一席非常重要的地位. （2）趣题二我国明朝有位大数学家叫程大位,他在解答“物不知其数”问题（即：有物不知其数,三三数之剩二,五

3、五数之剩三,七七数之剩二,问物几何?）时用四句诗概括出这类问题的优秀解法：“三人同行七十稀,五树梅花廿一枝,七子团圆正月半,除百零五便得知”这首诗就是解答此类问题的金钥匙,它被世界各国称为“中国剩余定理”（Chinese Remainder Theorem）,是我国古代数学的一项辉煌成果诗中的每一句话都表示一个步骤：三人同行七十稀,是说除以3所得的余数用70乘 五树梅花廿一枝,是说除以5所得的余数用21乘 七子团圆正月半,是说除以7所得的余数用15乘除百零五便得知,是说把上面乘得的3个积加起来,减去105的倍数,减得差就是所求的数此题的中国剩余定理的解法是：用70乘3除所得的余数,21乘5除所

4、得的余数,15乘7除所得的余数,把这3个结果加起来,如果它大于105,则减去105,所得的差如果仍比105大,则继续减去105,最后所得的整数就是所求也就是,为什么70,21,15,105有此神奇效用?70,21,15,105是从何而来?先看70,21,15,105的性质：70被3除余1,被5,7整除,所以70a是一个被3除余a而被5与7整除的数;21是5除余1,被3与7整除的数,因此21b是被5除余b,被3与7整除的数;同理15c是被7除余c,被3、5整除的数,105是3,5,7的最小公倍数也就是说,是被3除余a,被5除余b,被7除余c的数,这个数可能是解答,但不一定是最小的,因此还要减去它

5、们的公倍数了解了“剩余定理”的秘密后,对类似于上面的题目,我们都可以用中国剩余定理来解答二、核心思想和方法对于这一类问题,我们有一套看似繁琐但是一旦掌握便可一通百通的方法,下面我们就以孙子算经中的问题为例,分析此方法:今有物,不知其数,三三数之,剩二,五五数之,剩三,七七数之,剩二,问物几何?题目中我们可以知道,一个自然数分别除以3,5,7后,得到三个余数分别为2,3,2.那么我们首先构造一个数字,使得这个数字除以3余1,并且还是5和7的公倍数.先由,即5和7的最小公倍数出发,先看35除以3余2,不符合要求,那么就继续看5和7的“下一个”倍数是否可以,很显然70除以3余1类似的,我们再构造一个

6、除以5余1,同时又是3和7的公倍数的数字,显然21可以符合要求.最后再构造除以7余1,同时又是3,5公倍数的数字,45符合要求,那么所求的自然数可以这样计算：,其中k是自然数.也就是说满足上述关系的数有无穷多,如果根据实际情况对数的范围加以限制,那么我们就能找到所求的数.例如对上面的问题加上限制条件“满足上面条件最小的自然数”,那么我们可以计算得到所求如果加上限制条件“满足上面条件最小的三位自然数”,我们只要对最小的23加上3,5,7即可,即23+105=128.例题精讲模块一、余数性质综合【例 1】 一个数除以3的余数是2,除以5的余数是1,则这个数除以15的余数是 .【例 2】 有一群猴子

7、正要分56个桃子每只猴子可以分到同样个数的桃子.这时又窜来4只猴子.只好重新分配,但要使每只猴子分到同样个数的桃子,必须扔掉一个桃子则最后每只猴子分到桃子_个.【巩固】 一群猴子分桃,桃子共有56个,每只猴子可以分到同样多的桃子.但在它们正要分桃时,又来了4只猴子,于是重新分配这些桃子,结果每只猴子分到的桃子数量相同,那么最后每只猴子分到 个桃子.【例 3】 一个小于200的数,它除以11余8,除以13余10,这个数是几?【巩固】 不足100名同学跳集体舞时有两种组合：一种是中间一组5人,其他人按8人一组围在外圈;另一种是中间一组8人,其他人按5人一组围在外圈.问最多有多少名同学?【例 4】

8、5年级3班同学上体育课,排成3行少1人,排成4行多3人,排成5行少1人,排成6排多5人,问上体育课的同学最少_人.【巩固】 有一个自然数,除以2余1,除以3余2,除以4余3,除以5余4,除以6余5,则这个数最小是 .【巩固】 除以余,除以余,除以余,除以余,除以余.最小为 .【巩固】 小朋友们要做一次“动物保护”宣传活动,若1人拿3个动物小玩具,则最后余下2个动物小玩具;若1人拿4个动物小玩具,则最后余下3个动物小玩具;若1人拿5个动物小玩具,则最后余下4动物小玩具.那么这次活动中小朋友至少拿了_个动物小玩具.【巩固】 小朋友们做游戏,若3人分成一组,则最后余下2人;若4人分成一组,则最后余下

9、3人;若5人分成一组,则最后余下4人.那么一起做游戏的小朋友至少有 人.【例 5】 一个自然数被7,8,9除的余数分别是1,2,3,并且三个商数的和是570,求这个自然数【例 6】 数119很奇特：当被2除时,余数为1;当被3除时,余数为2;当被4除时,余数为3;当被5除时,余数为4;当被6除时,余数为5问：具有这种性质的三位数还有几个?【巩固】 有一批图书总数在1000本以内,若按24本书包成一捆,则最后一捆差2本;若按28本书包成一捆,最后一捆还是差2本书;若按32本包一捆,则最后一捆是30本那么这批图书共有本【例 7】 某个自然数除以2余1,除以3余2,除以4余1,除以5也余1,则这个数

10、最小是 .【例 8】 一个大于10的自然数,除以5余3,除以7余1,除以9余8,那么满足条件的自然数最小为多少?【巩固】 一个大于10的数,除以3余1,除以5余2,除以11余7,问满足条件的最小自然数是多少?【例 9】 是一个三位数.它的百位数字是4,能被7整除,能被9整除,问是多少? 【例 10】 一个八位数,它被3除余1,被4除余2,被11恰好整除,已知这个八位数的前6位是257633,那么它的后两位数字是_.模块二、中国剩余定理【例 11】 “民间流传着一则故事韩信点兵秦朝末年,楚汉相争一次,韩信将1500名将士与楚王大将李锋交战苦战一场,楚军不敌,败退回营,汉军也死伤四五百人忽有后军来

11、报,说有楚军骑兵追来,韩信便急速点兵迎敌他命令士兵3人一排,结果多出2名;接着命令士兵5人一排,结果多出3名;他又命令士兵7人一排,结果又多出2名韩信马上向将士们宣布：我军有1073名勇士,敌人不足五百,我们居高临下,以众击寡,一定能打败敌人”根据故事中的条件,你能算出韩信有多少将士么? 【例 12】 一个数除以3余2,除以5余3,除以7余4,问满足条件的最小自然数_.【例 13】 一个自然数在1000和1200之间,且被3除余1,被5除余2,被7除余3,求符合条件的数【例 14】 一个数除以3、5、7、11的余数分别是2、3、4、5,求符合条件的最小的数 【例 15】 有连续的三个自然数、,

12、它们恰好分别是9、8、7的倍数,求这三个自然数中最小的数至少是多少?模块三、余数性质的拓展应用新中国剩余定理【例 16】 有一个数,除以3余2,除以4余1,问这个数除以12余几?【例 17】 如图,在一个圆圈上有几十个孔(不到100个),小明像玩跳棋那样,从孔出发沿着逆时针方向,每隔几孔跳一步,希望一圈以后能跳回到A孔他先试着每隔2孔跳一步,结果只能跳到B孔他又试着每隔4孔跳一步,也只能跳到B孔最后他每隔6孔跳一步,正好跳回到A孔,你知道这个圆圈上共有多少个孔吗? 【例 18】 三个连续三位数的和能够被13整除,且这三个数中最大的数被9除余4,那么符合条件的三位数中最小的数最大是 .【例 19

13、】 某小学的六年级有一百多名学生若按三人一行排队,则多出一人;若按五人一行排队,则多出二人;若按七人一行排队,则多出一人该年级的人数是 【例 20】 智慧老人到小明的年级访问,小明说他们年级共一百多名同学,老人请同学们按三人一行排队,结果多出一人,按五人一行排队,结果多出二人,按七人一行排队,结果多出一人,老人说我知道你们年级原人数应该是（ ）人.【例 21】 三个连续的自然数,从小到大依次是4、7、9的倍数,这三个自然数的和最小是 【例 22】 在200至300之间,有三个连续的自然数,其中,最小的能被3整除,中间的能被7整除,最大的能被13整除,那么这样的三个连续自然数分别是多少?【例 23】 有三个连续自然数,其中最小的能被15整除,中间的能被17整除,最大的能被19整除,请写出一组这样的三个连续自然数7