小学数学知识点例题精讲《工程问题(二)》教师版.docx
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1、工程问题(二)教学目标1. 熟练掌握工程问题的基本数量关系与一般解法;2. 工程问题中常出现单独做,几人合作或轮流做,分析时一定要学会分段处理;3. 根据题目中的实际情况能够正确进行单位“1”的统一和转换;4. 工程问题中的常见解题方法以及工程问题算术方法在其他类型题目中的应用知识精讲工程问题是小学数学应用题教学中的重点,是分数应用题的引申与补充,是培养学生抽象逻辑思维能力的重要工具.工程问题是把工作总量看成单位“1”的应用题,它具有抽象性,学生认知起来比较困难.在教学中,让学生建立正确概念是解决工程应用题的关键.一 工程问题的基本概念定义 : 工程问题是指用分数来解答有关工作总量、工作时间和
2、工作效率之间相互关系的问题.工作总量:一般抽象成单位“1”工作效率:单位时间内完成的工作量三个基本公式:工作总量=工作效率工作时间,工作效率=工作总量工作时间,工作时间=工作总量工作效率;二、为了学好分数、百分数应用题,必须做到以下几方面: 具备整数应用题的解题能力,解决整数应用题的基本知识,如概念、性质、法则、公式等广泛应用于分数、百分数应用题; 在理解、掌握分数的意义和性质的前提下灵活运用; 学会画线段示意图线段示意图能直观地揭示“量”与“百分率”之间的对应关系,发现量与百分率之间的隐蔽条件,可以帮助我们在复杂的条件与问题中理清思路,正确地进行分析、综合、判断和推理; 学会多角度、多侧面思
3、考问题的方法分数、百分数应用题的条件与问题之间的关系变化多端,单靠统一的思路模式有时很难找到正确解题方法因此,在解题过程中,要善于掌握对应、假设、转化等多种解题方法,不断地开拓解题思路三、利用常见的数学思想方法:如代换法、比例法、列表法、方程法等抛开“工作总量”和“时间”,抓住题目给出的工作效率之间的数量关系,转化出与所求相关的工作效率,最后再利用先前的假设“把整个工程看成一个单位”,求得问题答案一般情况下,工程问题求的是时间例题精讲模块一、工程问题变速问题【例 1】 甲打一篇文稿,打完一半后吃晚饭,晚饭后每分钟比晚饭前多打32个字前后共打50分钟,前25分钟比后25分钟少打640个字文稿一共
4、( )字【考点】工程问题 【难度】3星 【题型】解答 、【关键词】走美杯,三年级,初赛,四年级【解析】 由“前25分钟比后25分钟少打640个字”,可知:多打这640个字需要的时间是:64032=20(分钟),那么就知饭前用了30分钟,饭后用了20分钟,如果这640个字全部用饭前的速度打,则需要10分钟,故可知饭前的速度是64个字每分钟,饭后的速度是96个字每分钟,则文稿一共有:6430+9620=3840个字.【答案】3840【例 2】 工厂生产一批产品,原计划15天完成,实际生产时改进了生产工艺,每天生产产品的数量比原计划每天生产产品数量的多10件,结果提前4天完成了生产任务,则这批产品有
5、 件.【考点】工程问题 【难度】3星 【题型】解答 、【关键词】希望杯,五年级,一试【解析】 设工厂原计划每天生产产品件,则改进生产工艺后每天生产产品的数量为件. 根据题意有,解得.所以这批产品共有1115=165(件).【答案】165件【例 3】 甲、乙两个工程队修路,最终按工作量分配8400元工资按两队原计划的工作效率,乙队应获5040元实际上从第5天开始,甲队的工作效率提高了1倍,这样甲队最终可比原计划多获得960元那么两队原计划完成修路任务要多少天?【考点】工程问题 【难度】3星 【题型】解答 【解析】 开始时甲队拿到元,甲、乙的工资比等于甲、乙的工效比,即为;甲提高工效后,甲、乙总的
6、工资及工效比为设甲开始时的工效为“2”,那么乙的工效为“3”,设甲在提高工效后还需天才能完成任务有,化简为,解得工程总量为,所以原计划天完成【答案】天【例 4】 甲、乙合作一件工程,由于配合得好,甲的工作效率比单独做时提高,乙的工作效率比单独做时提高甲、乙两人合作小时,完成全部工作的,第二天乙又单独做了小时,还留下这件工作的尚未完成,如果这件工作始终由甲一人单独来做,需要多少小时?【考点】工程问题 【难度】4星 【题型】解答 【关键词】人大附中【解析】 乙的工作效率是:,甲的工作效率是:,所以,单独由甲做需要:(小时)【答案】小时【巩固】 一项工程,甲独做需10天,乙独做需15天如果两人合做,
7、甲的工作效率就要降低,只能完成原来的,乙只能完成原来的现在要8天完成这项工程,两人合做天数尽可能少,那么两人要合做多少天?【考点】工程问题 【难度】4星 【题型】解答 【解析】 因为甲比乙的工作效率高,又要求合做的天数尽可能的少,所以除了两人合作之外,其余工程应由甲单独完成现设两人合作天,则甲单独做8-天,于是得到方程(80+90) +(8-)=l,解出=5.所以,在满足条件下,两人至少要合作5天【答案】5天【巩固】 要发一份资料,单用A传真机发送,要10分钟;单用B传真机发送,要8分钟;若A、B同时发送,由于相互干扰,A、B每分钟共少发0.2页.实际情况是由A、B同时发送,5分钟内传完了资料
8、(对方可同时接收两份传真),则这份资料有_页.【考点】工程问题 【难度】4星 【题型】解答 【关键词】希望杯,六年级,一试【解析】 没受干扰时传真机的合作工作效率为,而实际的工作效率为,所以这份资料共有(页)【答案】5天【例 5】 甲、乙两人合作清理400米环形跑道上的积雪,两人同时从同一地点背向而行各自进行工作,最初,甲清理的速度比乙快,中途乙曾用10分钟去换工具,而后工作效率比原来提高了一倍,结果从开始算起,经过1小时,就完成了清理积雪的工作,并且两人清理的跑道一样长,问乙换了工具后又工作了多少分钟?【考点】工程问题 【难度】4星 【题型】解答 【关键词】四中,入学测试,希望杯,六年级,2
9、试【解析】 法一:直接求首先求出甲的工作效率,甲个小时完成了米的工作量,因此每分钟完成(米),开始的时候甲的速度比乙快,也就是说乙开始每分钟完成为(米),换工具之后,工作效率提高一倍,因此每分钟完成(米),问题就变成了,乙分钟扫完了米的雪,前若干分钟每分钟完成米,换工具之后的时间每分钟完成了米,求换工具之后的时间.这是一个鸡兔同笼类型的问题,我们假设乙一直都是每分钟扫米,那么分钟应该能扫(米),比实际少了(米),这是因为换工具后每分钟多扫了(米),因此换工具后的工作时间为(分钟).法二:其实这个问题当中的米是一个多余条件,我们只需要根据甲乙两人工作量相同和他们之间的工作效率之比就可以求出这个问
10、题的答案.我们不妨设乙开始每分钟清理的量为,甲比他快,甲每分钟可以清理,分钟之后,甲一共清理了份的工作量,乙和他的工作总量相同,也是份,但是乙之前的工作效率为,换工具后的工作效率为,和(法一)相同的,利用鸡兔同笼的思想,可以得到乙换工具后工作了分钟.【答案】分钟【例 6】 甲、乙两人同时加工同样多的零件,甲每小时加工40个,当甲完成任务的时,乙完成了任务的还差40个这时乙开始提高工作效率,又用了小时完成了全部加工任务这时甲还剩下20个零件没完成求乙提高工效后每小时加工零件多少个?【考点】工程问题 【难度】4星 【题型】解答 【关键词】十三分,入学测试【解析】 当甲完成任务的时,乙完成了任务的还
11、差40个,这时乙比甲少完成40个;当乙完成全部任务时,甲还剩下20个零件没完成,这时乙比甲多完成20个;所以在后来的小时内,乙比甲多完成了个,那么乙比甲每小时多完成个所以提高工效后乙每小时完成个【答案】个【例 7】 甲、乙两项工程分别由一、二队来完成在晴天,一队完成甲工作要12天,二队完成乙工程要15天;在雨天,一队的工作效率要下降,二队的工作效率要下降结果两队同时完成工作,问工作时间内下了多少天雨?【考点】工程问题 【难度】4星 【题型】解答 【解析】 在晴天,一队、二队的工作效率分别为和,一队比二队的工作效率高;在雨天,一队、二队的工作效率分别为和,二队的工作效率比一队高由知,3个晴天5个
12、雨天,两个队的工作进程相同,此时完成了工程的,所以在施工期间,共有6个晴天10个雨天方法二:本题可以用方程的方法,在方程解应用题中会继续出现.【答案】10个雨天【例 8】 一项挖土万工程,如果甲队单独做,16天可以完成,乙队单独做要20天能完成现在两队同时施工,工作效率提高20当工程完成时,突然遇到了地下水,影响了施工进度,使得每天少挖了47.25方土,结果共用了10天完成工程问整工程要挖多少方土?【考点】工程问题 【难度】4星 【题型】解答 【解析】 甲、乙合作时工作效率为(+)(1+20%)=则的工程量需= (天),则遇到地下水后,甲、乙两队又工作了10-=(天)则此时甲、乙合作的工作效率
13、为=遇到地下水前后工作效率的差为: -=,则总工作量为47.25=1100方土.【答案】1100方土【例 9】 甲、乙两个工程队分别负责两项工程晴天,甲完成工程需要10天,乙完成工程需要16天;雨天,甲和乙的工作效率分别是晴天时的和实际情况是两队同时开工、同时完工那么在施工期间,下雨的天数是 天【考点】工程问题 【难度】4星 【题型】解答 【关键词】希望杯,六年级,1试【解析】 在晴天,甲、乙两队的工作效率分别为和,甲队比乙队的工作效率高; 在雨天,甲队、乙队的工作效率分别为和,乙队的工作效率比甲队高由于两队同时开工、同时完工,完成工程所用的时间相同,所以整个施工期间,晴天与雨天的天数比为如果
14、有8个晴天,则甲共完成工程的,而实际的工程量为1,所以在施工期间,共有个晴天,个雨天【答案】个雨天【例 10】 一批工人到甲、乙两个工地工作,甲工地的工作量是乙工地的工作量的倍,上午在甲工地工作的人数是乙工地人数的3倍,下午这批工人中的在乙工地工作.一天下来,甲工地的工作已完成,乙工地的工作还需4名工人再做一天.这批工人有 人.【考点】工程问题 【难度】3星 【题型】解答 【关键词】希望杯,五年级,一试【解析】 “甲工地的工作量是乙工地的工作量的倍”说明甲、乙的工作量只比为3:2.可设这批工人有X人,每个工人的工效都为1,列式为: X:(X+4)=3:2 X=X+12 X=12 X=48 所以
15、这批工人有48人.【答案】48人模块二、工程问题方法与技巧整体分析法【例 11】 甲、乙、丙三人生产一批玩具,甲生产的个数是乙、丙二人生产个数之和的,乙生产的个数是甲、丙两人生产个数之和的,丙生产了50个.这批玩具共有_个.【考点】工程问题 【难度】3星 【题型】解答 【关键词】希望杯,六年级,二试【解析】 如果直接研究甲、乙、丙三者之间的关系,可能会略显复杂,我们需要引入一个中间量:甲乙丙三人生产玩具数量的总和.甲是乙丙和的,则总和为,甲占了份,甲占了总数的;乙是甲丙和的,同理可知乙占了总数的,那么可知丙生产的玩具占总数的,所以总数是(个).【答案】个【例 12】 几个同学去割两块草地的草,
16、甲地面积是乙地面积的4倍,开始他们一起在甲地割了半天,后来留下12人割甲地的草,其余人去割乙地的草,这样又割了半天,甲、乙两地的草同时割完了,问:共有多少名学生?【考点】工程问题 【难度】3星 【题型】解答 【关键词】西城实验【解析】 有12人全天都在甲地割草,设有人上午在甲地,下午在乙地割草由于这人在下午能割完乙地的草(甲地草的),所以这些人在上午也能割甲地的草,所以12人一天割了甲地的草,每人每天割草为,全部的草为甲地草的,所以共有20名学生【答案】20名学生【巩固】 一批工人到甲、乙两个工地进行清理工作,甲工地的工作量是乙工地的工作量的倍上午去甲工地的人数是去乙工地人数的倍,下午这批工人
17、中有的人去甲工地其他工人到乙工地到傍晚时,甲工地的工作已做完,乙工地的工作还需名工人再做天,那么这批工人有多少人?【考点】工程问题 【难度】3星 【题型】解答 【解析】 根据题意,这批工人的人数是12的倍数,设这批工人有人那么上午有人在甲工地,有人在乙工地;下午有人在甲工地,有人在乙工地所以甲工地相当于人做了一整天;乙工地相当于人做了一整天由于甲工地的工作量是乙工地的工作量的倍,假设甲工地的工作量是3份,那么乙工地的工作量是2份人做一整天完成3份,那么人做一整天完成份,所以乙工地还剩下份这份需要4名工人做一整天,所以甲工地的3份需要人做一整天,即,可得,那么这批工人有(人)【答案】人【例 13
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