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1、23个求极值和值域专题 1、求函数的值域.2、求函数的值域.3、求函数的值域. 4、求函数的值域.5、已知函数(其中)的值域是,求实数.6、已知:为正实数,且,求函数的最小值.7、已知:,求:的最小值.8、设函数在区间的最小值为,最大值为,求区间.9、已知:,求函数的最大值.10、求函数:的最小值.11、求函数:的值域.12、已知实数满足和,求的最小值. 13、求函数:的最小值. 14、已知:,求函数:的最小值. 15、已知点在椭圆上,求的最大值. 16、求函数:的值域. 17、求函数:的值域. 18、求函数:的最大值. 19、设:为正实数,且满足,试求:的最小值. 20、已知为正实数,且满足
2、,求:的最大值.21、设为锐角,求:的最小值. 22、设为锐角,求证:. 23、已知为正实数,求证:. 23个求极值和值域专题解析1、求函数的值域.解析:函数的定义域为:.函数的导函数为:当时,则故即:函数在区间为单调递减函数,故:;故:函数在该区间的值域是. 当时,则即:函数在区间为单调递增函数,故:;故:函数在该区间的值域是.综上,函数的值域是.本题采用导数的正负来确定函数的增减,此法称为“单调性法”. 2、求函数的值域.解析:函数的定义域是:. 待定系数法用于柯西不等式来解本题.设:,则柯西不等式为:即:令:,即: 由柯西不等式的等号成立条件,即函数取极值时条件得: 由得:,即:,即:
3、将代入得:即:即:,即: 试解,由于,则式刚好也是3项相乘,不妨试解采用各项都是3.则:,且. 则:,代入得:,即时函数取得极大值.函数极大值为当时,函数在本区间为单调递增函数. 故:即:函数在区间的值域是当时,函数在本区间为单调递减函数. 故:即:函数在区间的值域是综上,函数的值域是.本题采用“待定系数法”、“柯西不等式”和“单调性法”.3、求函数的值域. 解析:函数的定义域是:. 待定系数法用于柯西不等式来解本题.设:,则柯西不等式为:即:令:,即: 由柯西不等式的等号成立条件,即函数取极值时条件得: 即:,即:,即:即:,即:,即: 将式代入式得:当时,函数达到极大值. 极大值为:函数的
4、导函数为:当区间时,函数单调递增. 故:即:函数在本区间的值域是.当区间时,函数单调递减. 故:即:函数在本区间的值域是.综上,函数的值域是.本题采用“待定系数法”、“柯西不等式”和“单调性法”.4、求函数的值域.解析:函数的定义域是:. 则函数为:(当时取负号,当时取正号)于是函数的极值在: 即:即:,即:在区间,函数的极值为:在区间的边界有:故:函数在该区间的值域是.在区间,函数,为单调递减函数. 故有:;故:函数在该区间的值域是. 综上,函数的值域是. 本题方法属“单调性法”5、已知函数(其中)的值域是,求实数.解析:函数的定义域为.将函数变形为:,即:其判别式不等式为:即: 而函数的值
5、域是,即:,即: 对比两式得:,即,因,故:故:实数,. 此法称为“判别式法”.6、已知:为正实数,且,求函数的最小值.解析:首先设,代入得:,即:,则: 当时,由均值不等式,即:得:则:当时,由均值不等式,即:得:则:当时,由均值不等式,即:代入已知条件, 得:则:故:由、得,的最小值是.本题先确定均值,然后在均值和均值下求极值.此法称为“分别讨论法”.7、已知:,求:的最小值.解析:由已知条件得: 代入得:即:令:,则方程变为:采用判别式法得:,即:,即:故:的最小值是. 此题采用的是“判别式法”8、设函数在区间的最小值为,最大值为,求区间.解析:首先,是一个偶函数,在区间单调递增,在区间
6、单调递减.当时,为单调递减函数,即:.故:是最大值为,是最小值为. 即: 即: (*)(*)两式相减得:,即: 则: ,即: (*)两式相加得:将式代入后化简得: 由得:,. 则区间为.当、时,的最大值是,即:.i.若,则的最小值为:,即:,解之及可得:,故此时区间为.ii.若则的最小值为:,即:,则:. 不符合题设,即此时无解.当时,由是一个偶函数可得:,故:是最小值为,是最大值为,即:即:则:为一元二次方程的两个根,由韦达定理得:,则由得:异号,不符合题设,即此时无解.综上,区间为或. 本题采用“分别讨论法”和“极值法”.9、已知:,求函数的最大值.解析:由可知,函数的定义域是:,有均值不
7、等式,即:即:即:当时,即可以取到不等式的等号。故:函数的最大值是. 本题采用,称为“均值不等式”.10、求函数:的最小值.解析:函数其定义域为:令:,则:,于是:当时,即:,即:,则:所以,是可以取到的. 故的最小值是.正是由于时,函数取到极值,所以有人总结出此类题的解法用来解,即设,代入,后得:即: ,即:,即:,即:,这两个结果分别对应于的极小值和的极大值.本题采用的是“向量法”.11、求函数:的值域.解析:先求函数的定义域. 定义域为:本题采用判别式法解题.由等价变形为:即:式上面方程有解得判别式是:即:,即:故:函数的值域为. 此法称为“判别式法”本题亦可以采用换元法和配方法来做.令
8、:,则,于是:当时,即:当时,达到极小值. 此法就是“换元配方法”.12、已知实数满足和,求的最小值. 解析:由已知得: 则由柯西不等式得: 将、代入得:即:,即:即: 其判别式为:故:方程等号下的两根为:则:根据柯西不等式等号成立的条件得:代入式得:,即: 代入式得:,即: 由两式得:,即:即:,即:即:,即:,即:则:,此时:;此为最大值.,此时:所以,的最小值为. 此题解法为“柯西不等式”.13、求函数:的最小值. 解析:待定系数法用于柯西不等式来解本题.设:,则柯西不等式为:即: 则:令:,则:,故:设,则:, 则: 将、代入得: 柯西不等式中,等号成立的条件是:即:,则:则: ,即:
9、即:,即:将和代入得:即:,即:于是:当,时,柯西不等式中,等号成立.即:的最小值是.本题系“待定系数法”用于“柯西不等式”.14、已知:,求函数:的最小值. 解析:函数的定义域为:,由均值不等式,即:得:即:,则:当时,即:、时,.故:函数的最小值是. 此法采用“均值不等式法”.15、已知点在椭圆上,求的最大值. 解析:函数的定义域为:,由柯西不等式得:即:,即:由柯西不等式的等号成立的条件得:,即:代入得:,即:,即:则:,于是, 当,时, 当,时,所以,函数的最大值是. 此法是用“柯西不等式”.本题也可以采用“权方和不等式”即:,即:此法为“权方和不等式”.16、求函数:的值域. 解析:
10、函数的定义域是:.待定系数法用于柯西不等式来解本题.设:,则柯西不等式为:即: 令:,则: 由柯西不等式的等号成立条件,即函数取极值时条件得:,即:,即:,则: 将代入得:函数的极值为: 在区间,函数单调递增,故:于是,函数在该区间的值域是. 在区间,函数单调递减,故:于是,函数在该区间的值域是.综上,函数的值域是.此法为“待定系数法”用于“柯西不等式”,最后用“单调性法”得到值域.17、求函数:的值域. 解析:函数的定义域是:. 本题采用判别式法.令: 则: 即:,即:即: 由的判别式得:即:,即:,即:故:或,即:或由于式即的条件必须那满足,故.此时,函数的值域为. 此法为“判别式法”.1
11、8、求:的最大值. 解析:由均值不等式得:所以,两边相加得:在时,即不等式的等号可以取到.故:的最大值为. 此法为“均值不等式”.19、设:为正实数,且满足,试求:的最小值. 解析:由均值不等式得:不等式两边分别相加得:即:当时,即不等式的等号可以取到.故:的最小值是. 此法为“均值不等式”.20、已知为正实数,且满足,求:的最大值. 解析:由由柯西不等式得:即:故:因此,的最大值是. 此法为“柯西不等式”.21、设为锐角,求:的最小值. 解析:将与通分,并与最后一项合并得: 由得:代入式得: 再由辅助角公式得:代入式得: 由式及为锐角,当达到最大值时,达到最小值,即:当时,.故,当时,达到最小值,最小值为.此法为“辅助角公式法”.22、设为锐角,求证:. 解析:因为为锐角,函数定义域为:,所以,构造函数:则函数的导函数为:因为:,所以:即:在定义域区间,函数为单调递增函数,故:,即:. 证毕.23、已知为正实数,求证:. 解析:采用待定系数法解本题:令:,(),则:,于是,即: 令:,则代入得:,即:,即:将,代入式得:. 证毕.此法为“待定系数法”.另一种方法:参数法令:,代入得:即证:,即证:,即证:即证:而这是显然成立的. 证毕.
限制150内