二次方程根的分布情况归纳(完整版) 教师版.doc

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1、二次方程根的分布与二次函数在闭区间上的最值归纳2 +bx + c =1、一元二次方程 ax 0根的分布情况设方程 ( )的不等两根为 1, 2 且 ，相应的二次函数为 f x = ax + bx + c = ，方程的ax2 +bx +c = 0 a 0 x xx x ( ) 2 01 2根即为二次函数图象与 x 轴的交点，它们的分布情况见下面各表（每种情况对应的均是充要条件）表一：（两根与 0 的大小比较即根的正负情况）分布情况两个负根即两根都小于 0( )x1 0, x2 0, x2 0一正根一负根即一个根小于 0，一个大于 0(x 0得出 - b 0f D 0- b 02a 0 0ff(0

2、) 0得出 - b 0的2a结 论 ( ) f 0- b 02a 0 0综 合 结 论 （ 不 讨 论 D 0 - 0 0 D 0 - b 02aa f 0 0a f(0) 0）1表二：（两根与k 的大小比较）分布 情 况两根都小于 k 即x k x k, x 2k一个根小于 k ，一个大于 k 即x1 k 0得出 - 0 D 0- b k2a 0f kf(k) 0得出 - bk的2a结 f k 0- b k2a 0综合结论（ 不 讨 论 D D 00 - b b k k2a 2a a f (k) 0 a f (k) 0a f k( ) 0）2表三：（根在区间上的分布）分布情况两根都在 (m,

3、n)内两根有且仅有一根在 (m,n)内（图象有两种情况，只画了一种）一根在 (m,n)内，另一根在 (p,q)内， m n p 0 ( )f m 0 ( )f n 0b - m n2af(m) f (n) 0( ) ( )f n 0 ( )f q 0 f m f n( ) ( ) 或 0 ( )f m 0 ( )f n 0b - m n 2a f (m)( )f n0 ( ) ( ) 或 ( ) ( ) ( )(m) f (n) 0f p 0 f p f q ( )f q 000综合结论（不讨论 f (m) f (n) 0ff( ) ( )m f n ( ) ( )p f q00）根在区间上的

4、分布还有一种情况：两根分别在区间 (m,n)外，即在区间两侧 ，（图形分别如下）需满x n1 , 2足的条件是3 f m 0 时， ； （2） a 0 时， f n 0 0对以上的根的分布表中一些特殊情况作说明：（1）两根有且仅有一根在 (m,n)内有以下特殊情况：1 f (m)= 0 f (n)= 0 f (m)g f (n) 0 m n若 或 ，则此时 不成立，但对于这种情况是知道了方程有一根为 或 ，可以求出另外一根，然后可以根据另一根在区间 (m,n)内，从而可以求出参数的值。如方程 ( ) 在区mx2 - m + 2 x + 2 = 0mx - m + x + = x - mx -

5、2 2 2 2 间(1, 3)上有一根，因为 f (1)= 0，所 以 ( ) ( )( )，另一根为 ，由 得2 2 2 1 2 1 3 m m m 3 即为所求；2 (m,n) D = 0 D = 0方程有且只有一根，且这个根在区间 内，即 ，此时由 可以求出参数的值，然后再将参数的值带入方程，求出相应的根，检验根是否在给定的区间内，如若不在，舍去相应的参数。如方程 x2 - 4mx + 2m + 6 = 0 有且 一 根 在 区 间 (-3, 0)内 ， 求 m 的 取 值 范 围 。 分 析 ： 由 f (-3)g f (0) 0 即 (14m +15)(m + 3) 0 得 出15

6、16m - 4 2m + 6 = 0 m = -1 3- - D = 0 ( ) m = m = -1 x = -2(-3, 0)3 m；由 即 得出 或 ，当 时，根 ，即214 2m = - 3 m = 3 3 151 - m - m = -1满足题意；当 时，根 ，故 不满足题意；综上分析，得出 或m = x = 3(-3, 0)2 2 14根的分布练习题例 1、已知二次方程( ) ( ) 有一正根和一负根，求实数 的取值范围。2m +1 x2 - 2mx + m -1 = 0 m1解：由 (2m +1)g f (0) 0 即 (2m +1)(m -1) 0 ，从而得 即为所求的范围。-

7、 m - +0( )- m 12 2g f (0) 00 + - ( )2m 1 8m 0 m -1 m 0 + 3 2 2或 3 2 2 m m m 00 m 3+ 2 2或 即为所求的范围。例 3、已知二次函数 ( ) ( ) ( )与 轴有两个交点，一个大于 1，一个小于 1，求实数y = m + 2 x - 2m + 4 x + 3m + 3 x m2的取值范围。1解：由 (m + 2)g f (1) 0 即 (m + 2)g(2m +1) 0 即为所求的范围。-2 m 2例 4、已知二次方程 ( ) 只有一个正根且这个根小于 1，求实数 的取值范围。mx2 + 2m -3 x + 4

8、 = 0 m1解：由题意有方程在区间(0,1)上只有一个正根，则 f (0)g f (1) 0 4g(3m +1) 0 即为所求范围。m m b b n - m - n 即 2a 2ab b 0 时，函数 f (x)在区间2, 3上是增函数，故 ；max = + = =( ) ( ) f x f 2 2 b 2 b 0min f x = f 2( ) ( )（2）当 a 0 时，函数 f (x)在区间2, 3上是减函数，故 =max( ) ( )f x f 3min + 2 = 5b + + =3a b 2 2a = -1 =b 3f x = x2 - 2ax +1, x 1,3例 2、求函数

9、 ( ) 的最小值。解：对称轴x = a0（1）当 a 3y = f ( )= - amin 3 10 6改：1本题若修改为求函数的最大值，过程又如何？解：（1）当 a 2 时， f (x) = f ( )= - a ；max 3 10 66（2）当 a 2 时， ( ) ( ) 。f x max = f 1 = 2 - 2a2本题若修改为求函数的最值，讨论又该怎样进行？解：（1）当 a 1时， f (x) = f ( )= - a ， ( ) ( ) ；max 3 10 6 f x min = f 1 = 2 - 2a（2）当1 a 2时， f (x) = f ( )= - a ， ( )

10、( ) ；max 3 10 6 f x min = f a =1- a2（3）当 2 a 3时， ( ) ( ) ， ；f x = f = - a f (x) = f (a)= - a2max 1 2 2 min 1（4）当 a 3时， f (x) = f ( )= - a ， ( ) ( ) 。max 1 2 2 f x min = f 3 =10 - 6a2 4 3例 3、求函数 在区间 上的最小值。解：对称轴x =0 2（1）当 2 2时， ( ) ；（2）当 即 时， ；y = f t = t2 - t + t 2 t +1 1 t 2 y = f ( )= -min 4 3 min

11、2 1（3）当 2 t +1即t 1时， ( )y = f t + = t2 - tmin 1 2f x = x2 + x - a +1例 4、讨论函数 ( ) 的最小值。x + x - a +1, x a 22f x = x + x - a + = 解： ( ) ，这个函数是一个分段函数，由于上下两段上的对称轴分别为直线1x2 - x + a +1, x a x = - 11 x = a - 1 - 1 1 1， ，当 ， a ， a 时原函数的图象分别如下（1），（2），（3）2 2 2 2 2 21 1 3 1 1f x = f - = - a因此，（1）当 时， ； （2）当 时， min 1；a - ( ) - ( ) ( )a f x = f a = a2 +2 min 2 4 2 21 f x = f = + a1 3（3）当 时，a ( )2 2 4min7