【2022高中数学精品教案】6.4.3 余弦定理、正弦定理（第2课时）正弦定理（2）.docx

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1、【新教材】6.4.3 余弦定理、正弦定理 教学设计（人教A版） 第2课时 正弦定理教材开门见山地提出“三角形的边与角之间有什么数量关系呢？”运用由特殊到一般的归纳思想方法，从直角三角形出发，得到，并以等边三角形加以验证，进而提出“对其他三角形是否成立呢？”这样设置符合学生的认知。教材中对正弦定理的证明采用了构造向量投影相等的思路。同时设置了两个例题说明正弦定理的应用.课程目标1、通过对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握正弦定理，并能解决一些简单的问题；2、通过对特殊三角形边角间数量关系的研究，发现正弦定理，初步学会运用由特殊到一般的思想方法发现数学规律；3、通过参与、思考、交流，体验正弦定理

2、的发现过程，逐步培养探索精神和创新意识；通过对正弦函数的学习体会数学的对称美，和谐美.数学学科素养1.数学抽象：正弦定理及其变形、三角形面积公式；2.逻辑推理：用正弦定理及其变形解决相关问题；3.数学运算：解三角形；4.数学建模：通过对特殊三角形边角间数量关系的研究，发现正弦定理，使学生学会运用由特殊到一般的思想方法发现数学规律.重点：正弦定理的内容，对正弦定理的证明及基本运用；难点：正弦定理的探索及证明.教学方法：以学生为主体，小组为单位，采用诱思探究式教学，精讲多练。教学工具：多媒体。一、 情景导入提问：角与边之间是否存在定量关系？要求：让学生自由发言，教师不做判断。而是引导学生进一步观察

3、.研探.二、预习课本，引入新课阅读课本45-48页，思考并完成以下问题1、直角三角形中的边角关系是怎样的？2、什么是正弦定理？3、正弦定理可进行怎样的变形？4、已知三角形的两边及内角怎样求其面积？要求：学生独立完成，以小组为单位，组内可商量，最终选出代表回答问题。三、新知探究1.正弦定理在一个三角形中，各边和它所对角的正弦之比相等，即2R，其中R是三角形外接圆的半径2正弦定理的变形(1)abcsin Asin Bsin C；(2)a2Rsin A，b2Rsin B，c2Rsin C；(3)sin A，sin B，sin C； (4)asin Bbsin A，bsin Ccsin B，asin

4、Ccsin A.(5).3正弦定理应用解三角形(1) 已知三角形的两角及任一边，求其他两边和一角；(2)已知三角形的两边和其中一边对角，求另一边的对角(从而进一步求出其他的边和角)4、三角形的面积公式(1)Saha(ha表示a边上的高)(2)Sabsin Cbcsin Aacsin B.四、典例分析、举一反三题型一 已知两角及一边解三角形例1在ABC中，A30，C105，a10，求b，c，B.【答案】B45.b10，c55.【解析】因为A30，C105，所以B45.因为，所以b10，c55.解题技巧（已知两角及一边解三角形问题的基本方法）(1)若所给边是已知角的对边时，可由正弦定理求另一边，再

5、由三角形内角和定理求出第三个角，最后由正弦定理求第三边；(2)若所给边不是已知角的对边时，先由三角形内角和定理求第三个角，再由正弦定理求另外两边跟踪训练一1在ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知A105，C45，c，则b ()A1B. C. D22在ABC中，若tan A，C150，BC1，则AB_.【答案】1、A. 2、 【解析】1、在ABC中，A105，C45，B180AC1801054530.由正弦定理，得，解得b1.故选A.2、因为tan A，所以sin A.由正弦定理知ABsin Csin 150.题型二 已知两边及一边的对角解三角形例2在ABC中，A45，c，a2

6、，求b，B，C.【答案】b1，B75，C60或b1，B15，C120.【解析】，sin C，C60或120.当C60时，B75，b1.当C120时，B15，b1.b1，B75，C60或b1，B15，C120.解题技巧： (已知两边及一边的对角解三角形的方法)(1)首先由正弦定理求出另一边对角的正弦值(2)如果已知的角为大边所对的角时，由三角形中大边对大角、大角对大边的法则能判断另一边所对的角为锐角，由正弦值可求锐角唯一(3)如果已知的角为小边所对的角时，则不能判断另一边所对的角为锐角，这时由正弦值可求两个角，要分类讨论跟踪训练二1ABC中，B45，b，a1，则角A_.2在ABC中，a1，b，A

7、30，求边c的长【答案】1、30. 2、1或2.【解析】1、由正弦定理得，解得sin A，所以A30或A150.又因ba，所以BA，则A30.2、由，得sin B.aA30，B为60或120.当B60时，C180603090.此时，c 2.当B120时，C1801203030.此时，ca1.综上知c1或2.题型三 正弦定理在边角互化中的应用例3 在ABC中，已知bc1，C45，B30，则b_.【答案】1.【解析】由正弦定理知，所以，bsin B1.例4 在ABC中，试判断ABC的形状；【答案】等边三角形.【解析】 (化边为角)根据正弦定理，得到，整理为.A，B，C(0，)，ABC，ABC为等边

8、三角形解题技巧（正弦定理应用技巧）利用正弦定理将边化为角或者将角化为边处理，这是正弦定理的一种重要作用，也是处理三角形问题的重要手段正弦定理的变形有多种形式，要根据题目选择合适的变形进行使用再判断三角形形状时(1)化角为边将题目中的所有条件，利用正弦定理化角为边，再根据多项式的有关知识(分解因式、配方等)得到边的关系，如ab，a2b2c2等，进而确定三角形的形状利用的公式为：sin A，sin B，sin C.(2)化边为角将题目中所有的条件，利用正弦定理化边为角，再根据三角函数的有关知识得到三个内角的关系，进而确定三角形的形状利用的公式为：a2Rsin A，b2Rsin B，c2Rsin C

9、跟踪训练三1、在ABC中，若acos Absin B，则sin Acos Acos2B等于()A1 B.C1 D2在ABC中，acos bcos，判断ABC的形状【答案】1、A. 2、等腰三角形.【解析】1、由正弦定理，可得sin Acos Asin2B，即sin Acos A1cos2B，所以sin Acos Acos2B1.2、法一：(化角为边)acosbcos，asin Absin B由正弦定理可得：ab.a2b2，ab，ABC为等腰三角形法二：(化边为角)acosbcos，asin AbsinB.由正弦定理可得：2Rsin2A2Rsin2B，即sin Asin B，AB(AB不合题意舍

10、去)，故ABC为等腰三角形.题型四 与三角形面积有关问题例5在ABC中，已知B30，AB2，AC2，求ABC的面积【答案】2或.【解析】由正弦定理，得sin C，又ABsinBACAB，故该三角形有两解：C60或120.当C60时，A90，SABCABAC2；当C120时，A30，SABCABACsin A.ABC的面积为2或.解题技巧（三角形面积公式应用技巧）(1)求三角形面积时，应先根据题目给出的已知条件选择最简便、最快捷的计算方法，这样不仅能减少一些不必要的计算，还能使计算结果更加接近真实值(2)事实上，在众多公式中，最常用的公式是SABCabsin Cbcsin Aacsin B，即给

11、出三角形的两边和夹角(其中某边或角需求解)求三角形面积，反过来，给出三角形的面积利用上述公式也可求得相应的边或角，应熟练应用此公式跟踪训练四1已知ABC的面积为，且b2，c，则A的大小为()A60或120 B60C120 D30或1502在钝角ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a1，A30，c，则ABC的面积为_【答案】1、A. 2、.【解析】1、由SABCbcsin A得2sin A，所以sin A，故A60或120，故选A.2、在钝角ABC中，由a1，A30，c，利用正弦定理可知C120，得到B30，利用面积公式得SABC1.五、课堂小结让学生总结本节课所学主要知识及解题技巧六、板书设计6.4.3 余弦定理、正弦定理第2课时 正弦定理1. 正弦定理 例1 例2 例3 变形： 2.三角形面积公式 例4 例5七、作业课本48页练习，52页习题6.4的7、10题.通过本节课的学习，从学生的情况来看，效果较好，学生能够根据以前学过的相关知识，在老师的指引下证明出正弦定理，能掌握正弦定理的计算方法，能够理解够理解公式中不同量的意义，但是在运用过程中我们发现，学生往往容易忽略解的情况问题，很多学生的出来两个解，但是没用通过以前学的知识“大边对大角”来舍去不符合题意的情况。