【2022高中数学精品教案】6.4.3 余弦定理、正弦定理（第3课时）余弦定理、正弦定理的应用举例（1）.docx

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1、6.4.3 余弦定理、正弦定理第3课时 余弦定理、正弦定理的应用本节课选自普通高中课程标准数学教科书-必修第二册（人教A版）第六章平面向量及其应用，本节课主要学习利用正弦定理、余弦定理来求不能到达的两点之间的距离、底部不能到达的建筑物的高、角度问题。正弦定理、余弦定理是学生学习了平面向量之后要掌握的两个重要定理，运用这两个定理可以初步解决几何及工业测量等实际问题，是解决有关三角形问题的有力工具。这是一节关于正、余弦定理应用举例课.利用应用举例培养学生的数学建模能力。把应用正余弦定理解决有关距离、高度、角度等问题融合起来，让学生经历情景的过程中解决数学问题。 课程目标学科素养A.进一步熟悉余弦定

2、理、正弦定理；B.了解常用的测量相关术语；C.能运用余弦定理、正弦定理等知识和方法解决有关距离、高度、角度的实际问题。1.数学抽象：常用的测量相关术语；2.逻辑推理：将实际问题转化为数学问题；3.数学运算：利用余弦定理、正弦定理求高度、距离、角；4.数学模型：在适当的三角形中解高度、距离、角度。1.教学重点：实际问题中抽象出一个或几个三角形，然后逐个解决三角形，得到实际问题的解；2.教学难点：根据题意建立数学模型，画出示意图。多媒体教学过程教学设计意图核心素养目标一、 复习回顾，温故知新1.正弦定理：2.正弦定理的变形： 3.余弦定理：变形：4.三角形中的结论：5.情境引入：（1）现实生活中,

3、人们是怎样测量底部不可到达的建筑物的高度呢？又怎样在水平飞行的飞机上测量飞机下方山顶的海拔高度呢？（2）在实际的航海生活中,人们也会遇到如下的问题：在浩瀚的海面上如何确保轮船不迷失方向，保持一定的航速和航向呢？二、探索新知类型一 距离问题 例1 如图， A，B两点都在河的对岸（不可到达），设计一种测量A，B两点间的距离的方法.并求出A，B间的距离。解：测量者可以在河岸边选定两点C，D，测得CD=a，并且在C，D两点分别测得BCA=，ACD=，CDB=， BDA=，在ADC和BDC中，应用正弦定理得于是，在ABC中，应用余弦定理可得A，B两点间的距离思考：在上述测量方案下，还有其他计算A，B两点

4、间距离的方法吗？【分析】先求AD，BD的长度，进而在三角形ABD中，求A，B间的距离。可见，在研究三角形时，灵活根据两个定理可以寻找到多种解决问题的方案，但有些过程较繁复，如何找到最优的方法，最主要的还是分析两个定理的特点，结合题目条件来选择最佳的计算方式. 1.基线：在测量过程中，我们把根据测量的需要而确定的线段叫做基线。如例1中的CD，为使测量具有较高精准度，应根据实际需要选取合适的基线长度，基线越长，精确到越高。如：类型二 底部不可到达的建筑物的高度例2 如图，AB是底部B不可到达的一座建筑物，A为建筑物的最高点，设计一种测量建筑物高度AB的方法.并求出建筑物的高度。【分析】如图，求AB

5、长的关键是先求AE，在 ACE中，如能求出C点到建筑物顶部A的距离CA，再测出由C点观察A的仰角，就可以计算出AE的长.【解析】选择一条水平基线HG，使H、G、B三点在同一条直线上.由在H,G两点用测角仪器测得A的仰角分别是,CD=a，测角仪器的高是h，那么，在ACD中，根据正弦定理可得类型三 角度问题例3.位于某海域A处的甲船获悉，在其正东方向相距20 n mile的B处有一艘渔船遇险后抛锚等待营救。甲船立即前往营救，同时把消息告知位于甲船南偏西，且与甲船相距7 n mile的C处的乙船，那么乙船前往营救遇险渔船时的目标方向线（由观测点看目标的视线）的方向是北偏东多少度（精确到 ）？需要航行

6、的距离是多少海里（精确到1 n mile）？解：根据题意，画出示意图，如图。由余弦定理，得于是由正弦定理，得，于是 由于，所以因此，乙船前往营救遇险渔船时的方向约是北偏东 大约需要航行24n mile.通过复习前面所学知识，引入本节新课。建立知识间的联系，提高学生概括、类比推理的能力。通过例题让学生进一步理解用正弦定理、余弦定理求距离，提高学生的解决问题、分析问题的能力。通过思考，进一步理解用正弦定理、余弦定理求距离问题的一题多解，提高学生分析问题、概括能力。通过例题让学生进一步理解用正弦定理、余弦定理求高度，提高学生的解决问题、分析问题的能力。通过例题让学生进一步理解用正弦定理、余弦定理求角

7、度，提高学生的用数学知识解决实际问题的能力、分析问题的能力。三、达标检测1如图所示，已知两座灯塔A和B与海洋观察站C的距离相等，灯塔A在观察站C的北偏东40，灯塔B在观察站C的南偏东60，则灯塔A在灯塔B的()A北偏东5B北偏西10C南偏东5 D南偏西10【答案】B【解析】由题意可知ACB180406080.ACBC，CABCBA50，从而可知灯塔A在灯塔B的北偏西10.2如图，D，C，B三点在地面同一直线上，DC100米，从C，D两点测得A点仰角分别是60，30，则A点离地面的高度AB等于()A50米 B100米C50米 D100米【答案】A【解析】因为DACACBD603030，所以ADC

8、为等腰三角形，所以ACDC100米，在RtABC中，ABACsin 6050米3一艘船上午9：30在A处，测得灯塔S在它的北偏东30的方向，且与它相距8海里，之后它继续沿正北方向匀速航行，上午10：00到达B处，此时又测得灯塔S在它的北偏东75的方向，此船的航速是()A8()海里/时B8()海里/时C16()海里/时D16()海里/时【答案】D【解析】由题意得在SAB中，BAS30，SBA18075105，BSA45.由正弦定理得，即，得AB8()，因此此船的航速为16()(海里/小时)4在高出海平面200 m的小岛顶上A处，测得位于正西和正东方向的两船的俯角分别是45与30，此时两船间的距离

9、为 m.【答案】200(1)【解析】过点A作AHBC于点H，由图易知BAH45，CAH60，AH200 m，则BHAH200 m，CHAHtan 60200 m.故两船距离BCBHCH200(1) m5海上某货轮在A处看灯塔B在货轮北偏东75，距离为12海里；在A处看灯塔C，在货轮的北偏西30，距离为8海里；货轮向正北由A处航行到D处时看灯塔B在北偏东120，求：(1)A处与D处之间的距离；(2)灯塔C与D处之间的距离【解析】由题意，画出示意图(1)在ABD中，由已知ADB60，B45，AB12.由正弦定理得ADsin 4524(海里)(2)在ADC中，由余弦定理得CD2AD2AC22ADAC

10、cos 30242(8)22248(8)2，CD8(海里)即A处与D处之间的距离为24海里，C，D之间的距离为8海里通过练习巩固本节所学知识，通过学生解决问题的能力，感悟其中蕴含的数学思想，增强学生的应用意识。四、小结1、解决应用题的思想方法是什么？把实际问题转化为数学问题，即数学建模思想。2.求解三角形应用题的一般步骤：（1）、审题（分析题意，弄清已知和所求，根据提意，画出示意图；（2）.建模（将实际问题转化为解斜三角形的数学问题）（3）求模（正确运用正、余弦定理求解）（4）还原。五、作业习题6.4 8,9题通过总结，让学生进一步巩固本节所学内容，提高概括能力,提高学生的数学运算能力和逻辑推理能力。本节课是学习了正弦定理、余弦定理及三角形中的几何计算之后的一节实际应用课,可以说是为正弦定理、余弦定理的应用而设计的,因此本节课的学习具有理论联系实际的重要作用。并根据本节课的教学内容以及学生的认知水平,确定了本节课的教学目标，学生已经学习了正弦定理和余弦定理,能够运用解决一些三角形问题,具有了一定的基础。但学生在运用正弦定理和余弦定理解三角形时候不能将实际问题转化成数学问题的问题,构造模型的能力有待提高。我认为本堂课学生难点在于:实际问题中抽象出一个或几个三角形,然后解三角形,得到实际问题的解，并且能根据题意建立数学模型,画出示意图。