《近世代数》ppt课件.ppt

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1、经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用1.1-1.6 目的与要求目的与要求:掌握集合及相关概念 掌握映射的定义及相关概念,学会验证映射的合理性熟练掌握代数运算的概念并会验证.掌握结合律,交换律,分配律的概念及其性质.第一章第一章基本概念基本概念经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用1.集合集合：集合是一个不定义名词，但可以给集合作一些集合是一个不定义名词，但可以给集合作一些描述性的解释描述性的解释.所谓集合就是具

2、有一定属性的事物组成所谓集合就是具有一定属性的事物组成的整体的整体(或集体或集体).通常用英文大写字母通常用英文大写字母A,B,C，等表示等表示.1.1集合集合一、概念一、概念集合中的元素具有集合中的元素具有:2.元素元素（或元）（或元）:组成一个集合的事物组成一个集合的事物.如果如果a是集合是集合A中的元素，记作中的元素，记作；如果如果a不是集合不是集合A的元的元素，记作素，记作或或.几个常用的数集：几个常用的数集：N(自然数集自然数集)，Z(整数集整数集),Q(有理数集有理数集)，R(实数集实数集),C(复数集复数集).确定性确定性;互异性互异性;无序性无序性.AaAa Aa经营者提供商品

3、或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用4子集子集：设：设A,B是集合，则是集合，则(B是是A的子集的子集)是指是指真子集真子集：B是是A的真子集是指的真子集是指且且，但，但.幂集幂集：集合：集合S的幂集是指由的幂集是指由S的全体子集组成的集合，的全体子集组成的集合，记作记作.5集合的表示方法集合的表示方法表示一个集合的方法通常有很多，如表示一个集合的方法通常有很多，如列举法列举法：列出它的所有元素，并用一对花括号括起来：列出它的所有元素，并用一对花括号括起来.描述法描述法：用其中元素所具有的特性来刻画：用其中元素所具

4、有的特性来刻画.图表法图表法：用一些特殊的图形来表示出它的所有元素：用一些特殊的图形来表示出它的所有元素.3空集空集：没有元素的集合，记作：没有元素的集合，记作.经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用6.集合的分类：集合的分类：集合的分类有很多种，常见的有集合的分类有很多种，常见的有（1）有限集有限集（2）可数集可数集（3）无序集无序集等等等等.无限集；无限集；不可数集不可数集；有序集有序集二、集合的运算二、集合的运算 补集补集就是特殊的差，即取就是特殊的差，即取A为全集为全集交：交：且且并：并：或或差

5、：差：且且经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用即由一切从即由一切从里顺序取出元素组成的元素组里顺序取出元素组成的元素组，组成的集合组成的集合例例A=1,2,3，B=4,5,则则下一节我们将考虑集合之间下一节我们将考虑集合之间的一种比较工具的一种比较工具：映射映射积：积：设设是是n个集合，则集合个集合，则集合的积的积(Descartes积积)定义为：定义为：=(1,4),(1,5),(2,4),(2,5),(3,4),(3,5)，=(4,1),(4,2),(4,3),(5,1),(5,2),(5,3)经

6、营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用(3)一般情形，将一般情形，将A换成集合换成集合的积，则的积，则对有对有注注:(1)映射定义中映射定义中“b”的唯一性：映射不能的唯一性：映射不能“一对多一对多”，但可以但可以“多对一多对一”(2)记法：记法：，定义定义1.2.1设设A,B是两个集合是两个集合A到到B的一个映射是指有的一个映射是指有一个对应法则一个对应法则，使得对于，使得对于，存在唯一的存在唯一的元素元素通过通过与之对应与之对应.有时也称对应法则有时也称对应法则是是A到到B的一个映射，其中的一个映射，

7、其中b称为称为a在映射在映射下的像，记下的像，记为为b=(a)，a称为称为b在映射在映射下的一个逆像下的一个逆像(原像原像).A称为称为的定义域，的定义域，B称为称为的值域的值域.1.2映射映射经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用例例2设设则则不是映射不是映射.因为映射要满足每一个元因为映射要满足每一个元都要有一个像都要有一个像而而是一个映射是一个映射例例1设集合设集合,对对定义定义则是则是一个一个到到B的映射的映射经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿

8、的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用例例3设设A1=B=Z，则，则其中其中,不是一个映射，不是一个映射，这是因为这是因为当当时，时，b=此时此时1在在下的像就不唯一下的像就不唯一例例4设设(正整数集正整数集)，则，则：不是一个映射不是一个映射因为因为时，时，经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用例例5设设为正整数集为正整数集定义定义则则.定义定义1.2.2设设是是A到到B的两个映射，若对的两个映射，若对，有有则称则称与与是相等的是相等的,记作记作.注注:映射相等构成映射的三要素（值域、定义域、对

9、映射相等构成映射的三要素（值域、定义域、对应法则）全相同应法则）全相同经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用1.3代数运算代数运算定义定义1.3.1设设A,B,D是三个非空集合是三个非空集合.从从到到D的映的映射叫做一个射叫做一个到到D的的二元代数运算二元代数运算；当；当A=B=D时时,从从到到A的映射简称的映射简称A上的代数运算或二元运算上的代数运算或二元运算.一一个代数运算可以用个代数运算可以用表示，并将表示，并将(a,b)在运算下的像在运算下的像记作记作.注注:（）（）是是A上的代数运算上的代数运

10、算，.（）（）当当A,B是有限集时，是有限集时，到到D的代数运算通常的代数运算通常可以用一个矩形表（即运算表）给出可以用一个矩形表（即运算表）给出.经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用例例设设A=，B=，则，则到到D的一个代数运算的一个代数运算()可表示为可表示为此表也称为凯莱运算表此表也称为凯莱运算表.结合律、交换律、分配律结合律、交换律、分配律下面我们将考虑一些常见的运算定律下面我们将考虑一些常见的运算定律：经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金

11、额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用1.4结合律结合律定义定义1.4.1设设是集合是集合A的一个代数运算的一个代数运算.如果对任意如果对任意有有,则称代数运算则称代数运算适合适合结合律结合律，并且，并且将运算结果统一记成将运算结果统一记成对于对于A中中n个元个元，当元素的排列顺序不变时，当元素的排列顺序不变时(如按下标的自然顺序如按下标的自然顺序)，可以有，可以有种不同的加括种不同的加括号方法号方法.它们的计算结果未必相同它们的计算结果未必相同.不妨用不妨用，来表示这些加括号来表示这些加括号的不同方法的不同方法.经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，

12、增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用定理定理1.4.1设集合设集合A的一个代数运算的一个代数运算适合结合律，则对任意适合结合律，则对任意,所有的所有的都相等，其结果统一记为都相等，其结果统一记为.经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用1.5交换律交换律定义定义1.5.1设设是是到到的代数运算。如果的代数运算。如果有有成立，则称运算成立，则称运算满足交换律满足交换律.定理定理1.5.1假设一个集合假设一个集合A的代数运算的代数运算同时适合结合同时适合结合律与交换律律与交换律,那么在那么在中

13、，元素的次序中，元素的次序可以调换可以调换.例例判定下列有理数集判定下列有理数集Q上的代数运算上的代数运算是否适合结合律，是否适合结合律，交换律？交换律？(1)(适合结合律和交换律适合结合律和交换律)(2)(适合交换律，但不适合结合律适合交换律，但不适合结合律)(3)(适合结合律，但不适合交换律适合结合律，但不适合交换律)(4)(既不适合结合律，也不适合交换律既不适合结合律，也不适合交换律)经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用1.6分配律分配律定义定义1.6.1设设 是是到到的一个代数运算，的一个代数

14、运算，是是上上的一的一个二元代数运算个二元代数运算.若若对对都有都有()=()()成立，则称成立，则称，适合第一分配律适合第一分配律(左分配律左分配律).定理定理1.6.1假设假设适合结合律，且适合结合律，且，适合第一分配律适合第一分配律，则则对对有有()=()()().经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用定义定义1.6.2设设 是是到到的一个代数运算，的一个代数运算，是是上的一上的一个二元代数运算个二元代数运算.若若对对都都有有()=()()成立，则称成立，则称，适合第二分配律适合第二分配律(右分配

15、律右分配律).定理定理1.6.2假设假设适合结合律，且适合结合律，且，适合第二分配适合第二分配律律,则则有有()=()()().经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用1.7-1.9 目的与要求目的与要求:熟练掌握单射,满射以及一一映射的概念以及之间的联系 熟练掌握同态的概念及其性质并会验证.掌握同构与自同构的概念及性质.掌握等价关系与集合的分类的概念以及它们之间的联系并会确定.经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费

16、用1.7一一映射，变换一一映射，变换定义定义1.7.1设设是集合是集合到到的一个映射的一个映射.若对若对，当，当时，有时，有，则称，则称是是到到的一个的一个单射单射；若对若对，使使得得，则称，则称是是到到的一个的一个满射；满射；若若既是满射又是单射，则称既是满射又是单射，则称是是到到的一个的一个一一映一一映射射.定理定理1.7.1设设是是到到间的一一映射，则存在一个间的一一映射，则存在一个到到间的一一映射间的一一映射.注注:一一映射一一映射与与同时存在同时存在.经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用定义

17、定义1.7.2集合集合到到的一个映射的一个映射叫做叫做的的一个变换一个变换.小结为了比较两个集合，我们引入了单射，满射，一为了比较两个集合，我们引入了单射，满射，一一映射和变换的概念一映射和变换的概念.注注:变换变换是是到到自身的一个映射自身的一个映射.返回(1)如果如果是单射，则称是单射，则称是单射变换；是单射变换；(2)如果如果是满射，则称是满射，则称是满射变换是满射变换;(3)如果如果是一一映射，则称是一一映射，则称是一一变换是一一变换.经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用定义定义1.8.1设设

18、,分别是集合的代数运算，分别是集合的代数运算，是一个映是一个映射射,若若，有，有,则称则称是是到到的一个的一个同态同态.1.8同态同态例例1A=Z(整数集整数集)，是普通加法；是普通加法；=1,-1，是普通乘法是普通乘法.则则(1)；是一个是一个同态映射同态映射;(2)；是满的是满的同态映射同态映射;(3)；是映射但不是同态是映射但不是同态.经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用定义定义1.8.2设设，分别是集合分别是集合的代数运算，若的代数运算，若是一是一个单射个单射(满射满射)的同态映射，则称的同态

19、映射，则称是一个是一个同态单射同态单射(满满射射).特别地，当特别地，当是一个同态满射时，对于是一个同态满射时，对于，来说来说称称与与同态同态.定理定理1.8.1设对于代数运算设对于代数运算，来说，来说，与与同态，则同态，则(i)若若适合结合律，适合结合律，也适合结合律；也适合结合律；(ii)若若适合交换律，适合交换律，也适合交换律也适合交换律.定理定理1.8.2假定假定,是是的代数运算，的代数运算，是是的代的代数运算，且存在满射数运算，且存在满射，使得与对于代数运算，使得与对于代数运算,是同态，对于代数运算是同态，对于代数运算,也是同态，则也是同态，则(i)若若,适合第一分配律，适合第一分配

20、律，也适合第一分配律也适合第一分配律;(ii)若若,适合第二分配律，适合第二分配律，也适合第二分配律也适合第二分配律.经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用1.9同构，自同构同构，自同构定义定义1.9.1(1)设设与与分别是集合分别是集合与与的代数运算的代数运算.若若是是到到的一一映射且是同态映射，则称的一一映射且是同态映射，则称是到的是到的一个一个同构映射同构映射.定义定义1.9.2设设是集合是集合的代数运算的代数运算.若若是是到到的的一个同构映射一个同构映射(同态映射同态映射)，则称，则称是是的一个

21、的一个自自同构同构(自同态自同态).小结同态是把代数运算考虑在内的映射，即是用来同态是把代数运算考虑在内的映射，即是用来比较两个代数结构的工具比较两个代数结构的工具.在代数学中在代数学中,两个同构的代数结构一般认为是相同的两个同构的代数结构一般认为是相同的.返回(2)若在若在与与间，对代数运算间，对代数运算与与，存在一个同构，存在一个同构映射，则称对代数运算映射，则称对代数运算与与来说，来说，与与同构同构记作记作.经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用1.10等价关系与集合的分类等价关系与集合的分类定义

22、定义1.10.1设设是集合，是集合，.一个一个到到的映射的映射叫做叫做的元间一个的元间一个关系关系.如果如果，则说，则说与与符合关系符合关系记作记作；如果如果，则，则说说与与不符合关系不符合关系.定义定义1.10.2集合的元间一个关系集合的元间一个关系叫做一个叫做一个等价关系等价关系，如果，如果满足以下规律：满足以下规律：(1)(自反性自反性)；(2)(对称性对称性)；(3)(传递性传递性),.若若，则称，则称与与等价等价.事实上，事实上，的元素间的一个关系就是的元素间的一个关系就是的一个子集的一个子集若若，则说，则说与与有关系有关系，记作，记作；若若，则说，则说与与没有关系没有关系，记作，记

23、作注注:经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用类里任何一个元素称为这个类的一个类里任何一个元素称为这个类的一个代表代表.刚好由每一类刚好由每一类一个代表作成的集合叫做一个一个代表作成的集合叫做一个全体代表团全体代表团.定义定义1.10.3设一个集合设一个集合分成若干个非空子集，使得分成若干个非空子集，使得中每一个元素属于且只属于一个子集，则这些子集中每一个元素属于且只属于一个子集，则这些子集的全体称为的全体称为的一个的一个分类分类.其中每一个子集称为一个其中每一个子集称为一个类类.例例1设设为实数集为实

24、数集.;是是上的上的“”关系关系.;是是上的上的“=”关系，这是一个等价关系关系，这是一个等价关系.经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用定理定理1.10.1集合集合A的一个分类决定的一个分类决定A的元间的一个等的元间的一个等价关系价关系.定理定理1.10.2集合集合A的一个等价关系的一个等价关系决定决定A的一个分的一个分类类.此时将该分类的全体代表团集记为此时将该分类的全体代表团集记为A/.经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价

25、款或接受服务的费用小结我们讨论了集合的元之间的等价关系与集合的分类我们讨论了集合的元之间的等价关系与集合的分类(即拆分成非空子集合的无交并即拆分成非空子集合的无交并)之间的关系之间的关系.这对研这对研究代数结构是非常有用的究代数结构是非常有用的,在今后的学习中将会看到在今后的学习中将会看到.返回例例2A=Z(整数集整数集)，Z(自然数集自然数集).规定规定这是一个等价关系这是一个等价关系.此等价关系决定此等价关系决定A的一个分类，的一个分类，称为模称为模n的剩余类的剩余类.全体剩余类之集记为全体剩余类之集记为Z/nZ或或Zn,其其元素为元素为:,.通常用通常用来作为这个类的全体代表团来作为这个类的全体代表团.