弹性力学-第六章-弹性力学的边值问题及一般原理ppt课件.ppt

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1、第六章第六章 弹性力学的边值问题及其性质弹性力学的边值问题及其性质6.1 弹弹性力学性力学边值问题边值问题弹性力学弹性力学 主讲主讲 邹祖军邹祖军 第六章第六章 弹性力学的边值问题及其性质弹性力学的边值问题及其性质2.2 2.2 关于关于边值边值条件的条件的进进一步一步说说明明6.3 叠加原理叠加原理6.4 解的存在性和唯一性解的存在性和唯一性6.5 位移解法位移解法6.6 应应力解法力解法6.7 圣圣维维南原理南原理6.8 不均匀不均匀弹弹性体中性体中应应力和力和应变应变的的间间断和断和连续连续第六章第六章 弹性力学的边值问题及其性质弹性力学的边值问题及其性质6.1 弹性力学边值问题弹性力学

2、边值问题一、平衡微分方程一、平衡微分方程二、几何方程二、几何方程（6.1）6.1 弹弹性力学性力学边值问题边值问题（6.2）应变协调方程应变协调方程第六章第六章 弹性力学的边值问题及其性质弹性力学的边值问题及其性质6.1 弹性力学边值问题弹性力学边值问题三、本构方程三、本构方程用应力表示应变的物理方程用应力表示应变的物理方程（6.3b）第六章第六章 弹性力学的边值问题及其性质弹性力学的边值问题及其性质6.1 弹性力学边值问题弹性力学边值问题用应变表示应力的物理方程用应变表示应力的物理方程(6.3a)第六章第六章 弹性力学的边值问题及其性质弹性力学的边值问题及其性质6.1 弹性力学边值问题弹性力

3、学边值问题3个平衡方程个平衡方程,6个几何方程个几何方程,6个物理方程个物理方程.共共15个方程个方程,15个个未知量即未知量即3个位移个位移,6个应变分量个应变分量,6个应力分量个应力分量.四、边界条件四、边界条件（6.4）应力边界条件应力边界条件位移边界条件位移边界条件第六章第六章 弹性力学的边值问题及其性质弹性力学的边值问题及其性质6.1 弹性力学边值问题弹性力学边值问题在在 上上在在 上上（6.5）第一类边值问题第一类边值问题应力边值问题应力边值问题第二类边值问题第二类边值问题位移边值问题位移边值问题第三类边值问题第三类边值问题混合边值问题混合边值问题求应力分量和位移分量求应力分量和位

4、移分量已知体力和面力已知体力和面力求应力分量和位移分量求应力分量和位移分量已知体力和边界位移已知体力和边界位移求应力分量和位移分量求应力分量和位移分量已知体力和部分面力和部分边界位移已知体力和部分面力和部分边界位移弹塑性力学问题就是偏微分弹塑性力学问题就是偏微分方程组的边值问题方程组的边值问题.微分提法微分提法第六章第六章 弹性力学的边值问题及其性质弹性力学的边值问题及其性质6.1 弹性力学边值问题弹性力学边值问题S uS()T(T1,T2,T3)f1,f2,f3第六章第六章 弹性力学的边值问题及一般原理弹性力学的边值问题及一般原理6.2 关于边界条件的进一步说明关于边界条件的进一步说明6.2

5、 关于边界条件的进一步说明关于边界条件的进一步说明设设a是一个单位矢量。则边界上某一点在是一个单位矢量。则边界上某一点在a方向的常见边界条件是方向的常见边界条件是下列三种条件之一：下列三种条件之一：A.已知已知a方向的位移为方向的位移为 ,即即（6.6）B.已知已知a方向的面力为方向的面力为 ,即即（6.7）C.a方向是弹性支撑方向是弹性支撑,即即（6.8）它表示它表示a方向的面力和位移成正比且方向相反。其中方向的面力和位移成正比且方向相反。其中k是已知表是已知表面面S上的点的函数上的点的函数.第六章第六章 弹性力学的边值问题及一般原理弹性力学的边值问题及一般原理6.2 关于边界条件的进一步说

6、明关于边界条件的进一步说明在同一点的同一方向上只能已知一个条件。在同一点的同一方向上只能已知一个条件。弹性体必须满足整体平衡条件。弹性体必须满足整体平衡条件。在实际问题中，对边界上的每一点，必须给出三个相互垂直的方向在实际问题中，对边界上的每一点，必须给出三个相互垂直的方向、和和上的三个独立边界条件。这三个条件可以取上的三个独立边界条件。这三个条件可以取(6.6)、(6.7)和和(6.8)中的任意三个来组成。中的任意三个来组成。只对边界条件只对边界条件(6.4)(6.4)和和(6.5)(6.5)来讨论问题来讨论问题 6.3 6.3 叠加原理叠加原理(d)第六章第六章 弹性力学的边值问题及一般原

7、理弹性力学的边值问题及一般原理6.3 叠加原理叠加原理(a)(b)(c)基本方程和边界条件是线性基本方程和边界条件是线性,叠加原理成立叠加原理成立第六章第六章 弹性力学的边值问题及一般原理弹性力学的边值问题及一般原理6.4 解的存在性和唯一性解的存在性和唯一性6.4 6.4 解的存在性和唯一性解的存在性和唯一性A.解的存在性解的存在性弹性体在载荷作用和合理的约束下总有相应的位移场和应力弹性体在载荷作用和合理的约束下总有相应的位移场和应力场场.实际的弹性力学问题总是有解的实际的弹性力学问题总是有解的.如总体平衡条件不满足如总体平衡条件不满足,边界上位移不连续边界上位移不连续,则弹性力学边值问题不

8、一定存在则弹性力学边值问题不一定存在.B.解的唯一性解的唯一性线性弹性力学解的唯一性定理线性弹性力学解的唯一性定理:对弹性力学边值问题对弹性力学边值问题,应变场应变场和应力场的解是唯一的和应力场的解是唯一的,位移场的解可能不唯一位移场的解可能不唯一,不同的位移场不同的位移场间相差一个刚体位移间相差一个刚体位移,若位移边界条件足以确定刚体位移若位移边界条件足以确定刚体位移,则位则位移场的解也是唯一的移场的解也是唯一的.(a)第六章第六章 弹性力学的边值问题及一般原理弹性力学的边值问题及一般原理6.4 解的存在性和唯一性解的存在性和唯一性(b)(c)(d)设设和和(c)对应对应的的应变应变能密度是

9、能密度是W 第六章第六章 弹性力学的边值问题及一般原理弹性力学的边值问题及一般原理6.4 解的存在性和唯一性解的存在性和唯一性逆解法逆解法:预先选取一组位移或应力函数预先选取一组位移或应力函数,由此确定其它的未知函数由此确定其它的未知函数,然后验证是否满足基本方程和边界条件然后验证是否满足基本方程和边界条件,如果满足如果满足,则根据解的则根据解的唯一性定理唯一性定理,该组位移或应力函数以及由其确定的求知函数的解该组位移或应力函数以及由其确定的求知函数的解就是所求的解就是所求的解.半逆解法半逆解法:在所有的未知量中在所有的未知量中,根据问题特点或已有研究成果根据问题特点或已有研究成果,预预先假设

10、一部分未知量为已知先假设一部分未知量为已知,然后利用基本方程和边界条件然后利用基本方程和边界条件,确定确定其余的未知量其余的未知量.弹性力学空间问题有弹性力学空间问题有15基本方程，基本方程，15个未知函数。实际上解边个未知函数。实际上解边值问题用两种方法：位移解法和应力解法值问题用两种方法：位移解法和应力解法位移解法位移解法（以位移作为基本未知函数，拉梅方程）（以位移作为基本未知函数，拉梅方程）将几何方程代入应变表示应力的物理方程。得弹性方程将几何方程代入应变表示应力的物理方程。得弹性方程（a）6.5 6.5 位移解法位移解法第六章第六章 弹性力学的边值问题及一般原理弹性力学的边值问题及一般

11、原理 6.5 位移解法位移解法展开展开（6.2）(6.3a)（b）将式（将式（a）代入平衡微分方程，整理后得：）代入平衡微分方程，整理后得：（6.9a）式（式（6.9a）是）是以位移表示的平衡微分方程以位移表示的平衡微分方程，又称，又称拉梅方程拉梅方程式中：式中：拉普拉斯算子拉普拉斯算子体积应变体积应变第六章第六章 弹性力学的边值问题及一般原理弹性力学的边值问题及一般原理6.5 位移解法位移解法（6.1）因因（6.9b）（6.9c）在没有体力作用且不考虑固体运动时在没有体力作用且不考虑固体运动时体力为常量时体力为常量时,对式对式(6.9b)取散度则取散度则（6.12）（6.11）第六章第六章

12、弹性力学的边值问题及一般原理弹性力学的边值问题及一般原理6.5 位移解法位移解法所以体力为常量时，体积应力和体积应变均为调和函数所以体力为常量时，体积应力和体积应变均为调和函数体力为常量时体力为常量时,对式对式(6.9b)两边作用两边作用Laplace算子算子,得得用位移表示的应力边界条件为：用位移表示的应力边界条件为：因此体力为常量时，位移、应变和应力都是双调和函数。因此体力为常量时，位移、应变和应力都是双调和函数。第六章第六章 弹性力学的边值问题及一般原理弹性力学的边值问题及一般原理6.5 位移解法位移解法（6.13）从几何关系和上式得从几何关系和上式得（6.14）再用本构关系和上式，得再

13、用本构关系和上式，得（6.15）位移解法位移解法：在给定的边界条件下求解拉梅方程。求得位移分量：在给定的边界条件下求解拉梅方程。求得位移分量.由几何方程确定应变分量，再由物理方程求得应力分由几何方程确定应变分量，再由物理方程求得应力分量量第六章第六章 弹性力学的边值问题及一般原理弹性力学的边值问题及一般原理6.5 位移解法位移解法把把(a)代入代入(6.5)，得，得（a）在在 上上（6.5）（6.10）第六章第六章 弹性力学的边值问题及一般原理弹性力学的边值问题及一般原理6.6 应力解法应力解法将应力表示应变的物理方程代入应变协调方程中，并利用平将应力表示应变的物理方程代入应变协调方程中，并利

14、用平衡微分方程加以简化和整理便得到衡微分方程加以简化和整理便得到应力解法应力解法（应力为基本未知函数，贝脱拉密（应力为基本未知函数，贝脱拉密-米切尔方程）米切尔方程）6.6 6.6 应力解法应力解法P固定固定,使使(3.34b)（a）令令(a)与原来协调方程等价，将胡克定律与原来协调方程等价，将胡克定律(6.3b)代入上式得代入上式得第六章第六章 弹性力学的边值问题及一般原理弹性力学的边值问题及一般原理6.6 应力解法应力解法把平衡方程代入上式的第二项，得把平衡方程代入上式的第二项，得（b）令令，并求和，并求和（c）（6.16a）把式把式(c)代回式代回式(b)，得，得或或（6.16b）式式(

15、6.16)就是就是应力协调方程应力协调方程,又称又称贝脱拉密贝脱拉密-米切尔方程米切尔方程。当体。当体力为常数时，上式又可简化为：力为常数时，上式又可简化为：第六章第六章 弹性力学的边值问题及一般原理弹性力学的边值问题及一般原理6.6 应力解法应力解法应力解法应力解法：在给定的边界条件下求解平衡微分方程与应力协调：在给定的边界条件下求解平衡微分方程与应力协调 方程组成的偏微分方程组。求得应力分量方程组成的偏微分方程组。求得应力分量.由物理方程由物理方程确定应变分量，再由几何方程求得位移分量。确定应变分量，再由几何方程求得位移分量。第六章第六章 弹性力学的边值问题及一般原理弹性力学的边值问题及一

16、般原理6.6 应力解法应力解法对单连通物体，以应力为未知量的应力边值问题可归结为对单连通物体，以应力为未知量的应力边值问题可归结为（6.17）第六章第六章 弹性力学的边值问题及一般原理弹性力学的边值问题及一般原理6.6 应力解法应力解法在边值问题在边值问题(6.17)中，有中，有9个方程，个方程，6个未知函数，这似乎是矛盾的。个未知函数，这似乎是矛盾的。（6.18）（6.19）对式对式(6.16b)两边取散度两边取散度 利用式利用式(c)，上式简化成，上式简化成是调和函数。调和函数有性质：若在边界上调和函数为零，则在是调和函数。调和函数有性质：若在边界上调和函数为零，则在域内也处处为零。所以若

17、在边界上平衡方程成立，则在域内也自域内也处处为零。所以若在边界上平衡方程成立，则在域内也自动成立。因此边值问题动成立。因此边值问题(6.17)和下列边值问题等价。和下列边值问题等价。问题的提出：问题的提出：PPP 求解弹性力学问题时，使应力分量、求解弹性力学问题时，使应力分量、形变分量、位移分量完全满足形变分量、位移分量完全满足8个基本方个基本方程相对容易，但要使边界条件完全满足，程相对容易，但要使边界条件完全满足，往往很困难。往往很困难。如图所示，其力的作用点处的边界如图所示，其力的作用点处的边界条件无法列写。条件无法列写。1.静力等效的概念静力等效的概念 两个力系，若它们的主矢量、主矩相等

18、，则两个力系为两个力系，若它们的主矢量、主矩相等，则两个力系为静力等效力系。静力等效力系。这种等效只是从平衡的观点而言的，对刚体而言完全正确，这种等效只是从平衡的观点而言的，对刚体而言完全正确，但对变形体而言一般是不等效的。但对变形体而言一般是不等效的。6.7 圣维南原理圣维南原理(Saint-Venant Principle)第六章第六章 弹性力学的边值问题及一般原理弹性力学的边值问题及一般原理6.7圣维南原理圣维南原理原理：原理：若把物体的一小部分边界上的面力，变换为分布若把物体的一小部分边界上的面力，变换为分布不同但静力等效的面力，则近处的应力分布将有不同但静力等效的面力，则近处的应力分

19、布将有显著改变，而远处所受的影响可忽略不计。显著改变，而远处所受的影响可忽略不计。PPPP/2P/2第六章第六章 弹性力学的边值问题及一般原理弹性力学的边值问题及一般原理6.7圣维南原理圣维南原理3.圣维南原理的应用圣维南原理的应用(1)对复杂的力边界，用静力等效的分布面力代替。对复杂的力边界，用静力等效的分布面力代替。(2)有些位移边界不易满足时，也可用静力等效的分布面力代替。有些位移边界不易满足时，也可用静力等效的分布面力代替。注意事项：注意事项：(1)必须满足静力等效条件；必须满足静力等效条件；(2)只能在次要边界上用圣维南原理，在主要边界上不能使用。只能在次要边界上用圣维南原理，在主要

20、边界上不能使用。如：如：AB主要边界主要边界P次要边界次要边界第六章第六章 弹性力学的边值问题及一般原理弹性力学的边值问题及一般原理6.7圣维南原理圣维南原理4.圣维南原理的例外圣维南原理的例外第六章第六章 弹性力学的边值问题及一般原理弹性力学的边值问题及一般原理6.7圣维南原理圣维南原理L存在裂缝存在裂缝BADC比作用面很小的尺寸比作用面很小的尺寸例例:图示矩形截面水坝，其右侧受静水图示矩形截面水坝，其右侧受静水压力，顶部受集中力作用。试写出压力，顶部受集中力作用。试写出水坝的应力边界条件。水坝的应力边界条件。左侧面：左侧面：代入应力边界条件公式代入应力边界条件公式右侧面：右侧面：代入应力边

21、界条件公式，有代入应力边界条件公式，有上端面：上端面：为次要边界，可由圣维南原理求解。为次要边界，可由圣维南原理求解。y方向力等效：方向力等效：对对O点的力矩等效：点的力矩等效：x方向力等效：方向力等效：注意：注意：必须按正向假设！必须按正向假设！第六章第六章 弹性力学的边值问题及一般原理弹性力学的边值问题及一般原理6.7圣维南原理圣维南原理xy上端面：上端面：（方法（方法2）取图示微元体，取图示微元体，可见，与前面结果相同。可见，与前面结果相同。注意：注意：必须按正向假设！必须按正向假设！由微元体的平衡求得，由微元体的平衡求得，第六章第六章 弹性力学的边值问题及一般原理弹性力学的边值问题及一

22、般原理6.7圣维南原理圣维南原理6.8 不均匀弹性体中应力和应变的间断和连线不均匀弹性体中应力和应变的间断和连线第六章第六章 弹性力学的边值问题及一般原理弹性力学的边值问题及一般原理6.8不均匀弹性体中应力和应变的间断和连线不均匀弹性体中应力和应变的间断和连线第六章第六章 弹性力学的边值问题及一般原理弹性力学的边值问题及一般原理6.8不均匀弹性体中应力和应变的间断和连线不均匀弹性体中应力和应变的间断和连线第六章第六章 弹性力学的边值问题及一般原理弹性力学的边值问题及一般原理6.8不均匀弹性体中应力和应变的间断和连线不均匀弹性体中应力和应变的间断和连线第六章第六章 弹性力学的边值问题及一般原理弹

23、性力学的边值问题及一般原理6.8不均匀弹性体中应力和应变的间断和连线不均匀弹性体中应力和应变的间断和连线第六章第六章 弹性力学的边值问题及一般原理弹性力学的边值问题及一般原理6.8不均匀弹性体中应力和应变的间断和连线不均匀弹性体中应力和应变的间断和连线第六章第六章 弹性力学的边值问题及一般原理弹性力学的边值问题及一般原理 本章小结本章小结本章小结本章小结第六章第六章 弹性力学的边值问题及一般原理弹性力学的边值问题及一般原理 本章习题本章习题本章习题本章习题第六章第六章 弹性力学的边值问题及一般原理弹性力学的边值问题及一般原理 本章习题本章习题第六章第六章 弹性力学的边值问题及一般原理弹性力学的边值问题及一般原理 本章习题本章习题