解析几何第四版吕林根课后习题答案第二章.doc

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1、第二章第二章轨迹与方程轨迹与方程2.1 平面曲线的方程1.一动点M到A)0,3(的距离恒等于它到点)0,6(B的距离一半，求此动点M的轨迹方程，并指出此轨迹是什么图形？解：动点M在轨迹上的充要条件是MBMA21。设M的坐标),(yx有2222)6(21)3(yxyx化简得36)6(22yx故此动点M的轨迹方程为36)6(22yx此轨迹为椭圆2.有一长度为a2a(0）的线段，它的两端点分别在x轴正半轴与y轴的正半轴上移动，是 求 此 线 段 中 点 的 轨 迹。A，B为 两 端 点，M为 此 线 段 的 中 点。解：如图所示设(,),A x o(,)B o y.则(,)2 2x yM.在Rt A

2、OB中有222()(2)xya.把M点的坐标代入此式得:222()xya(0,0)xy.此线段中点的轨迹为222()xya.3.一动点到两定点的距离的乘积等于定值2m,求此动点的轨迹.解:设两定点的距离为2a,并取两定点的连线为x轴,两定点所连线段的中垂线为y轴.现有:2AMBMm.设(,)M x y在Rt BNM中222()axyAM.(1)在Rt BNM中222()axyBM.(2)由(1)(2)两式得:22222244()2()xyaxyma.4.设,P Q R是等轴双曲线上任意三点,求证PQR的重心H必在同一等轴双曲线上.证明:设等轴双曲线的参数方程为xctcyt11(,)P x y,

3、22(,)Q xy,33(,)R xy.重心H123123(,)33xxxyyy5.任何一圆交等轴双曲线2xyc于四点11(,)cP ctt,22(,)cQ ctt,33(,)cR ctt及44(,)cS ctt.那么一定有1 2 3 41t t t t.证明:设圆的方程22220 xyDxEyF.圆与等轴双曲线交点(,)cctt,则代入得22 22220.cEcc tDctFtt整 理 得:2 4322220.c tDctFtEctc可 知(1,2,3,4)i 是它的四个根,则有韦达定理1234t ttt 242(1)1cc.8.把下面的平面曲线的普通方程化为参数方程.32xy;0,2121

4、21aayx;0,0333aaxyyx.解:tytx32令4cosax,代入方程212121ayx得42212212121sin,sincosayaaay参数方程为44sincosayax.令,txy 代入方程0333axyyx得031233atxxt03132atxtx当0 x时,;0y当313tatx时,3213taty3130tatxx或故参数方程为3231313tatytatx.2.2 曲面的方程1、一动点移动时，与)0,0,4(A及xoy平面等距离，求该动点的轨迹方程。解：设在给定的坐标系下，动点),(zyxM，所求的轨迹为C，则zMACzyxM),(亦即zzyx222)4(0)4(

5、22yx由于上述变形为同解变形，从而所求的轨迹方程为0)4(22yx2、在空间，选取适当的坐标系，求下列点的轨迹方程：（1）到两定点距离之比为常数的点的轨迹；（2）到两定点的距离之和为常数的点的轨迹；（3）到两定点的距离之差为常数的点的轨迹；（4）到一定点和一定平面距离之比等于常数的点的轨迹。解：（1）取二定点的连线为x轴，二定点连接线段的中点作为坐标原点，且令两距离之比的常数为m，二定点的距离为a2，则二定点的坐标为)0,0,(),0,0,(aa，设动点),(zyxM，所求的轨迹为C，则222222)()(),(zyaxmzyaxCzyxM亦即)()(2222222zyaxmzyax经同解变

6、形得：0)1()1(2)(1(2222222amxmazyxm上式即为所要求的动点的轨迹方程。（2）建立坐标系如（1），但设两定点的距离为c2，距离之和常数为a2。设动点),(zyxM，要求的轨迹为C，则azycxzycxCzyxM2)()(),(222222亦即222222)(2)(zycxazycx两边平方且整理后，得：)()(2222222222caazayaxca（1）222cabca令从而（1）为22222222bazayaxb即：22222222bazayaxb由于上述过程为同解变形，所以（3）即为所求的轨迹方程。（3）建立如（2）的坐标系，设动点),(zyxM，所求的轨迹为C，则

7、azycxzycxCzyxM2)()(),(222222类似于（2），上式经同解变形为：1222222czbyax其中)(222acacb（*）（*）即为所求的轨迹的方程。（4）取定平面为xoy面，并让定点在z轴上，从而定点的坐标为),0,0(c，再令距离之比为m。设动点),(zyxM，所求的轨迹为C，则zmzyxCzyxM222),(将上述方程经同解化简为：02)1(22222cczzmyx（*）（*）即为所要求的轨迹方程。3.求下列各球面的方程：（1）中心)3,1,2(，半径为；6R（2）中心在原点，且经过点)3,2,6(；（3）一条直径的两端点是)3,1,4()5,32(与（4）通过原点

8、与)4,0,0(),0,3,1(),0,0,4(解：（1）由本节例 5 知，所求的球面方程为：36)3()1()2(222zyx（2）由已知，球面半径73)2(6222R所以类似上题，得球面方程为Ozyx49222zyx（3）由已知，球面的球心坐标1235,1213,3242cba，球的半径21)35()31()24(21222R，所以球面方程为：21)1()1()3(222zyx（4）设所求的球面方程为：0222222lkzhygxzyx因该球面经过点)4,0,0(),0,3,1(),0,0,4(),0,0,0(，所以08160621008160khggl（1）解（1）有2210kghl所求

9、的球面方程为0424222zyxzyx2.3 母线平行于坐标轴的柱面方程1、画出下列方程所表示的曲面的图形。（1）369422yx解：各题的图形如下：（1）369422yx2.4 空间曲线的方程1、平面cx 与0222xyx的公共点组成怎样的轨迹。解：上述二图形的公共点的坐标满足cxccycxxyx)2(02222从而：（）当20 c时，公共点的轨迹为：cxccy)2(及cxccy)2(即为两条平行轴的直线；（）当0c时，公共点的轨迹为：00 xy即为z轴；（）当2c时，公共点的轨迹为：20 xy即过)0,0,2(且平行于z轴的直线；（）当2c或0c时，两图形无公共点。2、指出下列曲面与三个坐

10、标面的交线分别是什么曲线？（1）6416222zyx；（2）64164222zyx；（3）64164222zyx；（4）zyx10922解：（1）曲面与xoy面的交线为：0640641622222zyxzzyx此曲线是圆心在原点，半径8R且处在xoy面上的圆。同理可求出曲面6416222zyx与yoz面)0(x及zox面)0(y的交线分别为：0641622xzy，0641622yzx它们分别是中心在原点，长轴在y轴上，且处在yoz面上的椭圆，以及中心在原点，长轴在x轴上，且处在zox面上的椭圆；（2）由面64164222zyx与xoy面)0(z，yoz面)0(x，zox面)0(y的交线分别为：

11、064164222zzyx,064164222xzyx,064164222yzyx亦即：064422zyx,016422xzy,0641622yzx即为中心在原点，长轴在x轴上，且处在xoy面上的椭圆；中心在原点，实轴在y轴，且处在yoz面上的双曲线，以及中心在原点，实轴在x轴，且处在zox面上的双曲线。（3）曲面64164222zyx与xoy面)0(z，yoz面)0(x，zox面)0(y的交线分别为：064164222zzyx,064164222xzyx,064164222yzyx亦即064422zyx,06416422xzy,0641622yzx即为中心在原点，实轴在x轴，且处在xoy面上

12、的双曲线；无轨迹以及中心在原点，实轴在x轴上，且处在zox面上的双曲线。（4）曲面zyx16922与xoy面)0(z，yoz面)0(x，zox面)0(y的交线分别为：016922zzyx,016922xzyx,016922yzyx亦即00922zyx,01692xzy,0162yzx即为坐标原点，顶点在原点以z轴为对称轴，且处在yoz面上的抛物线，以及顶点在原点，以z轴为对称轴，且处在zox面上的抛物线。3.求下列空间曲线对三个坐标面的射影柱面方程。（1）1022xzzyx;（2）0100332322zyzxyzzx（3）71023562zyxzyx（4）1)1()1(1222222zyxzy

13、x解：（1）从方程组1022xzzyx分别消去变量zyx,，得：0)1(22zyz亦即：01322zyz（）01 xz（）0122xyx（）（）是原曲线对yoz平面的射影柱面方程；（）是原曲线对zox平面的射影柱面方程；（）是原曲线对xoy平面的射影柱面方程。（2）按照与（1）同样的方法可得原曲线（）对yoz平面的射影柱面方程；01 zy；（）对zox平面的射影柱面方程；0362222zxzx；（）对xoy平面的射影柱面方程。0122222yxyx。（3）原曲线对yoz平面的射影柱面方程：0272 zy原曲线对zox平面的射影柱面方程：03 zx原曲线对xoy平面的射影柱面方程：02327yx（4）原曲线对yoz平面的射影柱面方程：01 zy原曲线对zox平面的射影柱面方程：02222zzx原曲线对xoy平面的射影柱面方程：02222yyx6.求空间曲线22400yzxz的参数方程.解:令2yt,代入方程240yz得2yt再将所得结果代入方程20 xz得4xt.从而知曲线的参数方程为422xtytzt