平面向量的基本概念及线性运算.ppt

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1、1金太阳新课标资源网金太阳新课标资源网金太阳新课标资源网金太阳新课标资源网 老师都说好老师都说好老师都说好老师都说好!学案学案1 平面向量的基本概念平面向量的基本概念 及线性运算及线性运算2金太阳新课标资源网金太阳新课标资源网金太阳新课标资源网金太阳新课标资源网 老师都说好老师都说好老师都说好老师都说好!填填知学情填填知学情填填知学情填填知学情课内考点突破课内考点突破课内考点突破课内考点突破规规规规 律律律律 探探探探 究究究究考考考考 纲纲纲纲 解解解解 读读读读考考考考 向向向向 预预预预 测测测测知识网络构建知识网络构建知识网络构建知识网络构建3金太阳新课标资源网金太阳新课标资源网金太阳

2、新课标资源网金太阳新课标资源网 老师都说好老师都说好老师都说好老师都说好!返回目录返回目录 4金太阳新课标资源网金太阳新课标资源网金太阳新课标资源网金太阳新课标资源网 老师都说好老师都说好老师都说好老师都说好!考考 纲纲 解解 读读1.平面向量的实际背景及基本概念(1)了解向量的实际背景(2)理解平面向量的概念和两个向量相等的含义.(3)理解向量的几何表示.2.向量的线性运算(1)掌握向量加法、减法的运算，理解其几何意义.(2)掌握向量数乘的运算及其几何意义,理解两个向量共线的含义.(3)了解向量线性运算的性质及其几何意义.返回目录返回目录 5金太阳新课标资源网金太阳新课标资源网金太阳新课标资

3、源网金太阳新课标资源网 老师都说好老师都说好老师都说好老师都说好!考考 向向 预预 测测 主要考查向量的有关概念、运算法则、线线平行的主要考查向量的有关概念、运算法则、线线平行的条件和基本定理，以选择题和填空题出现的可能性较大条件和基本定理，以选择题和填空题出现的可能性较大.对用向量解平面几何问题涉及的可能性也较大对用向量解平面几何问题涉及的可能性也较大.返回目录返回目录 6金太阳新课标资源网金太阳新课标资源网金太阳新课标资源网金太阳新课标资源网 老师都说好老师都说好老师都说好老师都说好!1.向量的有关概念 (1)向量向量:既有既有 ,又有又有 的量的量叫做向量叫做向量,向量的大小叫做向量的向

4、量的大小叫做向量的 (或模或模).(2)零向量零向量:的向量叫做零向量的向量叫做零向量,其方向是其方向是 的的.(3)单位向量单位向量:给定一个非零向量给定一个非零向量a,与与a 且且长度等于长度等于 的向量的向量,叫做向量叫做向量a的单位向量的单位向量.大小大小 方向方向 长度长度 长度为长度为0 任意任意 同方向同方向 1 返回目录返回目录 7金太阳新课标资源网金太阳新课标资源网金太阳新课标资源网金太阳新课标资源网 老师都说好老师都说好老师都说好老师都说好!(4)平行向量平行向量:方向方向 或或 的的 向量向量.平行向量又叫平行向量又叫 ,任一组平行向量都可以移到同一条直线上任一组平行向量

5、都可以移到同一条直线上.规定规定:0与任一向量与任一向量 .(5)相等向量相等向量:长度长度 且方向且方向 的向量的向量.(6)相反向量相反向量:长度长度 且方向且方向 的向量的向量.2.向量的加法和减法 (1)加法加法 法则法则:服从三角形法则、平行四边形法则服从三角形法则、平行四边形法则.运算性质运算性质:相同相同 相反相反 非零非零 共线向量共线向量 平行平行 相等相等 相同相同 相等相等 相反相反 返回目录返回目录 8金太阳新课标资源网金太阳新课标资源网金太阳新课标资源网金太阳新课标资源网 老师都说好老师都说好老师都说好老师都说好!a+b=(交换律交换律);(a+b)+c=(结合律结合

6、律);a+0=.(2)减法减法减法与加法互为逆运算减法与加法互为逆运算;法则法则:服从三角形法则服从三角形法则.3.实数与向量的积(1)长度与方向规定如下长度与方向规定如下:|a|=;b+a a+(b+c)0+a a|a|返回目录返回目录 9金太阳新课标资源网金太阳新课标资源网金太阳新课标资源网金太阳新课标资源网 老师都说好老师都说好老师都说好老师都说好!当当 时时,a与与a的方向相同的方向相同;当当 时时,a与与a的方向相反的方向相反;当当=0时时,a=.(2)运算律运算律:设设,R,则则 (a)=;(+)a=;(a+b)=.4.平行向量基本定理 向量向量a与与b(b0)平行的充要条件是平行

7、的充要条件是 .有且只有一个实有且只有一个实 0|b|,则则ab;（2）若向量）若向量|a|=|b|,则则a与与b的长度相等且方向相同或相的长度相等且方向相同或相反；反；（3）对于任意向量）对于任意向量|a|=|b|,且且a与与b的方向相同，则的方向相同，则a=b;（4）由于）由于0方向不确定，故方向不确定，故0不能与任意向量平行；不能与任意向量平行；（5）起点不同，但方向相同且模相等的几个向量是相）起点不同，但方向相同且模相等的几个向量是相等向量等向量.返回目录返回目录 14金太阳新课标资源网金太阳新课标资源网金太阳新课标资源网金太阳新课标资源网 老师都说好老师都说好老师都说好老师都说好!【

8、解析】【解析】（1）不正确）不正确.因为向量是不同于数量的一种因为向量是不同于数量的一种量，它由两个因素来确定，即大小与方向，所以两个向量量，它由两个因素来确定，即大小与方向，所以两个向量不能比较大小，故（不能比较大小，故（1）不正确）不正确.（2）不正确）不正确.由由|a|=|b|只能判断两向量长度相等，不能判只能判断两向量长度相等，不能判断方向断方向.（3）正确）正确.|a|=|b|,且且a与与b同向，由两向量相等的条件同向，由两向量相等的条件可得可得a=b.（4）不正确）不正确.由零向量性质可得由零向量性质可得0与任一向量平行，可知与任一向量平行，可知（4）不正确）不正确.（5）正确）正

9、确.对于一个向量只要不改变其大小与方向对于一个向量只要不改变其大小与方向,是可是可以任意平行移动的以任意平行移动的.返回目录返回目录 15金太阳新课标资源网金太阳新课标资源网金太阳新课标资源网金太阳新课标资源网 老师都说好老师都说好老师都说好老师都说好!【分析】【分析】【分析】【分析】利用角平分线的性质可解出利用角平分线的性质可解出AD与与DB的关系，的关系，再利用向量的线性运算求解再利用向量的线性运算求解.考点考点考点考点2 2 向量的线性表示向量的线性表示向量的线性表示向量的线性表示 2010年高考大纲全国卷年高考大纲全国卷在在ABC中，点中，点D在边在边AB上，上，CD平分平分ACB.若

10、若CB=a,CA=b,|a|=1,|b|=2,则则CD=()A.a+b B.a+bC.a+b D.a+b返回目录返回目录 16金太阳新课标资源网金太阳新课标资源网金太阳新课标资源网金太阳新课标资源网 老师都说好老师都说好老师都说好老师都说好!【解析】【解析】如图所示如图所示,1=2,CD=CB+BD=a+(b-a)=a+b.故应选故应选B.返回目录返回目录 17金太阳新课标资源网金太阳新课标资源网金太阳新课标资源网金太阳新课标资源网 老师都说好老师都说好老师都说好老师都说好!用几个基本向量表示某个向量问题的基本技巧是用几个基本向量表示某个向量问题的基本技巧是:观察各向量的位置观察各向量的位置;

11、寻找相应的三角形或多边形寻找相应的三角形或多边形;运运用法则找关系用法则找关系;化简结果化简结果.返回目录返回目录 18金太阳新课标资源网金太阳新课标资源网金太阳新课标资源网金太阳新课标资源网 老师都说好老师都说好老师都说好老师都说好!如图，以向量如图，以向量OA=a,OB=b为边作为边作 OADB,BM=BC,CN=CD,用用a,b表示表示OM,ON,MN.返回目录返回目录 19金太阳新课标资源网金太阳新课标资源网金太阳新课标资源网金太阳新课标资源网 老师都说好老师都说好老师都说好老师都说好!BA=OA-OB=a-b,BM=BA=a-b.OM=OB+BM=b+a-b=a+b.又又OD=a+b

12、,ON=OC+CD=OD+OD=OD=a+b.MN=ON-OM=a+b-a-b=a-b.即有即有OM=a+b,ON=a+b,MN=a-b.返回目录返回目录 20金太阳新课标资源网金太阳新课标资源网金太阳新课标资源网金太阳新课标资源网 老师都说好老师都说好老师都说好老师都说好!设两个非零向量设两个非零向量a与与b不共线不共线.(1)若若AB=a+b,BC=2a+8b,CD=3(a-b).求证求证:A,B,D三点共线三点共线;(2)试确定实数试确定实数k,使使ka+b和和a+kb共线共线.【分析】【分析】【分析】【分析】解决点共线或向量共线问题解决点共线或向量共线问题,就要根据两向就要根据两向量共

13、线的条件量共线的条件a=b(b0).考点考点考点考点3 3 向量的共线问题向量的共线问题向量的共线问题向量的共线问题 返回目录返回目录 21金太阳新课标资源网金太阳新课标资源网金太阳新课标资源网金太阳新课标资源网 老师都说好老师都说好老师都说好老师都说好!【解析】【解析】【解析】【解析】(1)证明证明:AB=a+b,BC=2a+8b,CD=3(a-b),BD=BC+CD=2a+8b+3(a-b)=2a+8b+3a-3b=5(a+b)=5AB.AB,BD共线共线,又又它们有公共点它们有公共点B,A,B,D三点共线三点共线.(2)ka+b与与a+kb共线共线,存在实数存在实数,使使ka+b=(a+

14、kb),即即ka+b=a+kb.(k-)a=(k-1)b.a,b是不共线的两个非零向量是不共线的两个非零向量,k-=k-1=0,k2-1=0.k=1.返回目录返回目录 22金太阳新课标资源网金太阳新课标资源网金太阳新课标资源网金太阳新课标资源网 老师都说好老师都说好老师都说好老师都说好!(1)由向量数乘运算的几何意义知非零向量共线是指由向量数乘运算的几何意义知非零向量共线是指存在实数存在实数使两向量能互相表示使两向量能互相表示.(2)向量共线的充要条件中要注意当两向量共线时向量共线的充要条件中要注意当两向量共线时,通通常只有非零向量才能表示与之共线的其他向量常只有非零向量才能表示与之共线的其他

15、向量,要注意待要注意待定系数法的运用和方程思想定系数法的运用和方程思想.(3)证明三点共线问题证明三点共线问题,可用向量共线来解决可用向量共线来解决,但应注但应注意向量与三点共线的区别与联系意向量与三点共线的区别与联系,当两向量共线且有公共当两向量共线且有公共点时点时,才能得出三点共线才能得出三点共线.返回目录返回目录 23金太阳新课标资源网金太阳新课标资源网金太阳新课标资源网金太阳新课标资源网 老师都说好老师都说好老师都说好老师都说好!设两个非零向量设两个非零向量e1和和e2不共线不共线.(1)如果如果AB=e1-e2,BC=3e1+2e2,CD=-8e1-2e2,求证求证:A,C,D三点共

16、线三点共线;(2)如果如果AB=e1+e2,BC=2e1-3e2,CD=2e1-ke2,且且A,C,D三三点共线点共线,求求k的值的值.返回目录返回目录 24金太阳新课标资源网金太阳新课标资源网金太阳新课标资源网金太阳新课标资源网 老师都说好老师都说好老师都说好老师都说好!(1)AB=e1-e2,BC=3e1+2e2,CD=-8e1-2e2,AC=AB+BC=4e1+e2=-(-8e1-2e2)=-CD,AC与与CD共线共线.又又AC与与CD有公共点有公共点C,A,C,D三点共线三点共线.(2)AC=AB+BC=(e1+e2)+(2e1-3e2)=3e1-2e2,A,C,D三点共线三点共线,A

17、C与与CD共线共线,从而存在实数从而存在实数使得使得AC=CD,即即3e1-2e2=(2e1-ke2),由平面向量基本定理由平面向量基本定理,得得 3=2 -2=-k,解得解得=,k=.返回目录返回目录 25金太阳新课标资源网金太阳新课标资源网金太阳新课标资源网金太阳新课标资源网 老师都说好老师都说好老师都说好老师都说好!如图如图4-1-3所示所示,在在ABO中中,OC=OA,OD=OB,AD与与BC相交于点相交于点M,设设OA=a,OB=b.试用试用a和和b表示向量表示向量OM.【分析】【分析】【分析】【分析】从题设及图中可以看出从题设及图中可以看出,直接寻找直接寻找OM与与a,b之间的关系

18、是很难行得通的之间的关系是很难行得通的.因此可先设因此可先设OM=ma+nb,利利用共线向量的知识及待定系数法求出用共线向量的知识及待定系数法求出m,n即可即可.考点考点考点考点4 4 向量知识的综合应用向量知识的综合应用向量知识的综合应用向量知识的综合应用 返回目录返回目录 26金太阳新课标资源网金太阳新课标资源网金太阳新课标资源网金太阳新课标资源网 老师都说好老师都说好老师都说好老师都说好!【解析】【解析】【解析】【解析】设设OM=ma+nb,则则AM=OM-OA=ma+nb-a=(m-1)a+nb.AD=OD-OA=OB-OA=-a+b.又又A,M,D三点共线三点共线,AM与与AD共线共

19、线.存在实数存在实数t,使得使得AM=tAD,即即(m-1)a+nb=t(-a+)b.(m-1)a+nb=-ta+tb.m-1=-t n=,消去消去t得得m-1=-2n.返回目录返回目录 27金太阳新课标资源网金太阳新课标资源网金太阳新课标资源网金太阳新课标资源网 老师都说好老师都说好老师都说好老师都说好!即即 m+2n=1.又又CM=OM-OC=ma+nb-a=(m-)a+nb,CB=OB-OC=b-a=-a+b.又又C,M,B三点共线三点共线,CM与与CB共线共线.存在实数存在实数t1,使得使得CM=t1CB,(m-)a+nb=t1(-a+b),m-=-t1 n=t1,消去消去t1得得4m

20、+n=1.由由得得m=,n=,OM=a+b.返回目录返回目录 28金太阳新课标资源网金太阳新课标资源网金太阳新课标资源网金太阳新课标资源网 老师都说好老师都说好老师都说好老师都说好!在求一个向量用另外两个向量线性表示时在求一个向量用另外两个向量线性表示时,一般有以一般有以下几种方法下几种方法:(1)根据图形根据图形,由加减法的定义由加减法的定义,可直接得出结论可直接得出结论;(2)如果不易找出它们间的关系如果不易找出它们间的关系,可先设该向量可用可先设该向量可用另外两个向量来线性表示另外两个向量来线性表示,再利用共线向量定理再利用共线向量定理,用待定用待定系数法求出它们的系数系数法求出它们的系

21、数,即可得出结论即可得出结论.返回目录返回目录 29金太阳新课标资源网金太阳新课标资源网金太阳新课标资源网金太阳新课标资源网 老师都说好老师都说好老师都说好老师都说好!由由，可得，可得AP O是平面上一定点是平面上一定点,A,B,C是平面上不共线的三个点是平面上不共线的三个点,动点动点P满足满足 0,+),则则P点的轨迹一定通过点的轨迹一定通过ABC的（的（）A.外心外心 B.内心内心 C.重心重心 D.垂心垂心B(如图，作向量如图，作向量AP.由向量加法知由向量加法知OP=OA+AP 由已知可得由已知可得 B返回目录返回目录 30金太阳新课标资源网金太阳新课标资源网金太阳新课标资源网金太阳新

22、课标资源网 老师都说好老师都说好老师都说好老师都说好!式中式中 都是单位都是单位向量，以这两个向量为一组邻边作向量，以这两个向量为一组邻边作 AB1P1C1，这时这时AB1P1C1是菱形，对角线是菱形，对角线AP1平平分分B1AC1，且，且AB1=,AC1=.由由可知可知AP=AP1,再由再由0,+)可知，可知，P点的轨迹是射线点的轨迹是射线AP,所以，所以，P点的轨迹点的轨迹一定通过一定通过ABC的内心的内心.故应选故应选B.)返回目录返回目录 31金太阳新课标资源网金太阳新课标资源网金太阳新课标资源网金太阳新课标资源网 老师都说好老师都说好老师都说好老师都说好!1.1.将向量用其他向量将向

23、量用其他向量将向量用其他向量将向量用其他向量(特别是基向量特别是基向量特别是基向量特别是基向量)线性表示线性表示线性表示线性表示,是是是是十分重要的技能十分重要的技能十分重要的技能十分重要的技能,也是向量坐标形式的基础也是向量坐标形式的基础也是向量坐标形式的基础也是向量坐标形式的基础.2.2.首尾相连的若干向量之和等于以最初的起点为起首尾相连的若干向量之和等于以最初的起点为起首尾相连的若干向量之和等于以最初的起点为起首尾相连的若干向量之和等于以最初的起点为起点点点点,最后的终点为终点的向量最后的终点为终点的向量最后的终点为终点的向量最后的终点为终点的向量;若这两点重合若这两点重合若这两点重合若

24、这两点重合,则和为零则和为零则和为零则和为零向量向量向量向量.3.3.通过向量的共线可以证明三点共线及多点共线通过向量的共线可以证明三点共线及多点共线通过向量的共线可以证明三点共线及多点共线通过向量的共线可以证明三点共线及多点共线,但要注意到向量的平行与直线的平行的区别但要注意到向量的平行与直线的平行的区别但要注意到向量的平行与直线的平行的区别但要注意到向量的平行与直线的平行的区别.4.0 4.0与实数与实数与实数与实数0 0有区别有区别有区别有区别,0,0的模为数的模为数的模为数的模为数0,0,它不是没有方向它不是没有方向它不是没有方向它不是没有方向,而是方向不定而是方向不定而是方向不定而是

25、方向不定.0.0可以看成与任意向量平行可以看成与任意向量平行可以看成与任意向量平行可以看成与任意向量平行.返回目录返回目录 32金太阳新课标资源网金太阳新课标资源网金太阳新课标资源网金太阳新课标资源网 老师都说好老师都说好老师都说好老师都说好!5.5.由由由由a ab,bb,bc c不能得到不能得到不能得到不能得到a ac.c.取不共线的向量取不共线的向量取不共线的向量取不共线的向量a a与与与与c,c,显然有显然有显然有显然有a a0,c0,c0.0.6.6.注意向量加法的三角形法则与向量减法的三角形注意向量加法的三角形法则与向量减法的三角形注意向量加法的三角形法则与向量减法的三角形注意向量加法的三角形法则与向量减法的三角形法则的根本区别与联系法则的根本区别与联系法则的根本区别与联系法则的根本区别与联系.返回目录返回目录