广义积分的概念与计算.ppt

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1、第十一章 广义积分主讲人：陈志勇副教授12/29/202212/29/20221 1宁波大学教师教育学院宁波大学教师教育学院二、无界函数的二、无界函数的广义广义积分积分1常义积分积分限有限被积函数有界推广一、无穷限的广义积分一、无穷限的广义积分广义积分广义积分的概念与计算12/29/202212/29/20222 2宁波大学教师教育学院宁波大学教师教育学院一、无穷限的一、无穷限的广义广义积分积分引例引例.曲线和直线及 x 轴所围成的开口曲边梯形的面积 可记作其含义可理解为 12/29/202212/29/20223 3宁波大学教师教育学院宁波大学教师教育学院定义定义定义定义1.1.设设若存在,

2、则称此极限为 f(x)的无穷限广义积分积分,记作这时称广义积分收敛;如果上述极限不存在,就称广义积分发散.类似地,若则定义12/29/202212/29/20224 4宁波大学教师教育学院宁波大学教师教育学院则定义(c 为任意取定的常数)只要有一个极限不存在,就称发散.无穷限的广义广义积分也称为第一类第一类广义广义积分积分.并非不定型,说明说明:上述定义中若出现 它表明该广义积分发散.12/29/202212/29/20225 5宁波大学教师教育学院宁波大学教师教育学院引入记号则有类似牛 莱公式的计算表达式:12/29/202212/29/20226 6宁波大学教师教育学院宁波大学教师教育学院

3、例例例例1.1.计算计算广义广义积分积分解解:思考思考:分析分析:原积分发散!注意注意:对广义积分,只有在收敛的条件下才能使用“偶倍奇零”的性质,否则会出现错误.12/29/202212/29/20227 7宁波大学教师教育学院宁波大学教师教育学院例例例例2.2.证明第一类证明第一类 p p 积分积分证证:当 p=1 时有 当 p 1 时有 当 p 1 时收敛;p1 时发散.因此,当 p 1 时,广义积分收敛,其值为当 p1 时,广义积分发散.12/29/202212/29/20228 8宁波大学教师教育学院宁波大学教师教育学院例例例例3.3.计算计算广义广义积分积分解解:12/29/2022

4、12/29/20229 9宁波大学教师教育学院宁波大学教师教育学院二、无界函数的二、无界函数的广义广义广义广义积分积分引例引例:曲线所围成的与 x 轴,y 轴和直线开口曲边梯形的面积可记作其含义可理解为 12/29/202212/29/20221010宁波大学教师教育学院宁波大学教师教育学院定义定义定义定义2.2.设设而在点 a 的右邻域内无界,存在,这时称广义积分收敛;如果上述极限不存在,就称广义积分发散.类似地,若而在 b 的左邻域内无界,若极限数 f(x)在 a,b 上的广义积分（也叫瑕积分）,则定义则称此极限为函 记作12/29/202212/29/20221111宁波大学教师教育学院

5、宁波大学教师教育学院若被积函数在积分区间上仅存在有限个第一类 说明说明说明说明:而在点 c 的无界函数的积分又称作第二类广义积分第二类广义积分,无界点常称邻域内无界,为瑕点瑕点(奇点奇点).例如,间断点,而不是广义积分.则本质上是常义积分,则定义12/29/202212/29/20221212宁波大学教师教育学院宁波大学教师教育学院注意注意注意注意:若瑕点若瑕点计算表达式:则也有类似牛 莱公式的若 b 为瑕点,则若 a 为瑕点,则若 a,b 都为瑕点,则则可相消吗可相消吗?12/29/202212/29/20221313宁波大学教师教育学院宁波大学教师教育学院下述解法是否正确:,积分收敛例例例

6、例4.4.计算广义积分计算广义积分解解:显然瑕点为 a,所以原式例例5.讨论广义积分的收敛性.解解:所以广义积分发散.12/29/202212/29/20221414宁波大学教师教育学院宁波大学教师教育学院例例例例6.6.证明广义积分证明广义积分证证:当 q=1 时,当 q 1 时收敛;q1 时发散.当 q1 时所以当 q 1 时,该广义积分收敛,其值为当 q 1 时,该广义积分发散.12/29/202212/29/20221515宁波大学教师教育学院宁波大学教师教育学院例例例例7.7.解解：求的无穷间断点,故 I 为广义积分.12/29/202212/29/20221616宁波大学教师教育学

7、院宁波大学教师教育学院内容小结内容小结 1.广义积分积分区间无限被积函数无界常义积分的极限 2.两个重要的广义积分12/29/202212/29/20221717宁波大学教师教育学院宁波大学教师教育学院说明说明说明说明:(1)(1)有时通过换元有时通过换元,广义积分和常义积分可广义积分和常义积分可以互以互 相转化.例如,(2)当一题同时含两类广义积分时,应划分积分区间,分别讨论每一区间上的广义积分.12/29/202212/29/20221818宁波大学教师教育学院宁波大学教师教育学院 (3)(3)有时需考虑有时需考虑主值意义下的广义积主值意义下的广义积分分.义积分收敛.注意注意:主值意义下广

8、义积分存在不等于一般意义下广思考与练习思考与练习其定义为12/29/202212/29/20221919宁波大学教师教育学院宁波大学教师教育学院解解练习练习1 112/29/202212/29/20222020宁波大学教师教育学院宁波大学教师教育学院当为k何值时，广义积分 求其最大值.当k为何值时，这广义积分发散？又当k为何值时，这广义积分取得最小值？收敛？提示：练习练习212/29/202212/29/20222121宁波大学教师教育学院宁波大学教师教育学院备用题备用题 试试证证,并求其值.解解:令12/29/202212/29/20222222宁波大学教师教育学院宁波大学教师教育学院12/29/202212/29/20222323宁波大学教师教育学院宁波大学教师教育学院作业P.2771（2）（3）（4）P.2891（2）（3）12/29/202212/29/20222424宁波大学教师教育学院宁波大学教师教育学院