第6章 解线性方程组的迭代法.ppt

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1、数 学 系University of Science and Technology of ChinaDEPARTMENT OF MATHEMATICS第6章 解线性方程组的迭代法 直接法得到的解是理论上准确的，但是我们可以看得出，它们的计算量都是n3数量级，存储量为n2量级，这在n比较小的时候还比较合适（n400），但是对于现在的很多实际问题，往往要我们求解很大的n的矩阵，而且这些矩阵往往是系数矩阵就是这些矩阵含有大量的0元素。对于这类的矩阵，在用直接法时就会耗费大量的时间和存储单元。因此我们有必要引入一类新的方法：迭代法。迭代法具有的特点是速度快。与非线性方程的迭代方法一样，需要我们构造一个

2、等价的方程，从而构造一个收敛序列，序列的极限值就是方程组的根数 学 系University of Science and Technology of ChinaDEPARTMENT OF MATHEMATICS对方程组做等价变换如：令，则则，我们可以构造序列若同时：所以，序列收敛与初值的选取无关与初值的选取无关数 学 系University of Science and Technology of ChinaDEPARTMENT OF MATHEMATICS定义6.1：（收敛矩阵）定理：矩阵G为收敛矩阵，当且仅当G的谱半径eps)x1=x2;for(i=0;in;i+)x2i=0;for(j=

3、0;ji;j+)x2i+=Aij*x1j for(j=i+1;jn;j+)x2i+=Aij*x1j x2i=-(x2i-bi)/Aii 4、输出解x2数 学 系University of Science and Technology of ChinaDEPARTMENT OF MATHEMATICS 迭代矩阵迭代矩阵记数 学 系University of Science and Technology of ChinaDEPARTMENT OF MATHEMATICS易知，Jacobi迭代有数 学 系University of Science and Technology of ChinaDEP

4、ARTMENT OF MATHEMATICS 收敛条件收敛条件 迭代格式收敛的充要条件是G的谱半径eps)for(i=0;in;i+)for(j=0;ji;j+)x2i+=Aij*x2j for(j=i+1;jn;j+)x2i+=Aij*x2j x2i=-(x2i-bi)/Aii 4、输出解x2数 学 系University of Science and Technology of ChinaDEPARTMENT OF MATHEMATICS 迭代矩阵迭代矩阵是否是原来的方程的解？A=(D-L)-U数 学 系University of Science and Technology of Chi

5、naDEPARTMENT OF MATHEMATICS 收敛条件收敛条件 迭代格式收敛的充要条件是G的谱半径eps)for(i=0;in;i+)temp-0 for(j=0;ji;j+)temp+=Aij*x2j for(j=i+1;jn;j+)temp+=Aij*x2j temp=-(x2i-bi)/Aii x2i=(1-omega)*x2i+omega*temp 4、输出解x2数 学 系University of Science and Technology of ChinaDEPARTMENT OF MATHEMATICS 迭代矩阵迭代矩阵定理：松弛迭代收敛定理：A对称正定，则松弛迭代收

6、敛是否是原来的方程的解？数 学 系University of Science and Technology of ChinaDEPARTMENT OF MATHEMATICS SORSOR方法收敛的快慢与松弛因子的选择有密切关系.但是如何选取最佳松弛因子,即选取=*,使()达到最小,是一个尚未很好解决的问题.实际上可采用试算的方法来确定较好的松弛因子.经验上可取1.41.6.数 学 系University of Science and Technology of ChinaDEPARTMENT OF MATHEMATICS 定理定理 若SORSOR方法收敛,则02.证证 设SORSOR方法收敛

7、,则()1,所以|det()|=|12 n|1而 det()=det(D-L)-1(1-)D+U)=det(E-D-1L)-1 det(1-)E+D-1U)=(1-)n于是|1-|1,或 02数 学 系University of Science and Technology of ChinaDEPARTMENT OF MATHEMATICS 定理定理 设A是对称正定矩阵,则解方程组Ax=b的SORSOR方法,当00 (Uy,y)=(y,Ly)=(Ly,y)=-i 0(Ay,y)=(Dy,y)-(Ly,y)-(Uy,y)=-2所以数 学 系University of Science and Te

8、chnology of ChinaDEPARTMENT OF MATHEMATICS当02时,有 (-+)2-(-)2=(2-)(2-)=(2-)(2-)0所以|21,因此()1,即S0R方法收敛.可得 =2/设是B的任一特征值,y是对应的特征向量,则 (L+U)y=Dy于是 (Ly,y)+(Uy,y)=(Dy,y)数 学 系University of Science and Technology of ChinaDEPARTMENT OF MATHEMATICS当A对称正定时,即2-0时,|0而 (2D-A)y,y)=(Dy,y)+(Ly,y)+(Uy,y)=+2即,当A对称正定时,JacobiJacobi迭代法收敛2D-A正定.