第3章 流体运动学_下.ppt

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1、3.4 3.4 连续方程连续方程 质量守恒定律在流体力学中的应用。质量守恒定律在流体力学中的应用。它反映了它反映了cs上速度分布与上速度分布与cv内密度变化之间的积分关系。内密度变化之间的积分关系。在在流流场场中中任任取取一一空空间间固固定定的的封封闭闭曲曲面面S（控控制制面面control surface），所所 围围 体体 积积 V（控控 制制 体体 control volume）。）。质量守恒：单位时间流出控制面的净质量质量守恒：单位时间流出控制面的净质量=控制体内流体控制体内流体质量的减少质量的减少 3.4.1 3.4.1 3.4.1 3.4.1 积分形式的连续方程积分形式的连续方程积

2、分形式的连续方程积分形式的连续方程 Euler型连续性方程型连续性方程特例：特例：（流入、流出（流入、流出CS 体积相等）体积相等）流体不可压缩流体不可压缩流体不可压缩流体不可压缩 ：沿流管定常流动：沿流管定常流动：沿流管定常流动：沿流管定常流动：流动定常（流动定常（流动定常（流动定常（）：）：）：）：沿流管不可压流动：沿流管不可压流动：沿流管不可压流动：沿流管不可压流动：（流入、流出（流入、流出CS 质量相等）质量相等）（沿流管）（沿流管）（沿流管）（沿流管）不不可可压压流流动动中中，流流管管的的截截面面积积与与流流速速成成反反比比，S小的地方流速快，小的地方流速快，S大的地方流速慢。大的地

3、方流速慢。平平面面流流动动：流流线线间间距距大大，流流速速慢慢；间间距距小小，流速快。即流线的疏密反映了流速的大小。流速快。即流线的疏密反映了流速的大小。例例例例3-3 3-3 某瞬时水流通过具有自由某瞬时水流通过具有自由某瞬时水流通过具有自由某瞬时水流通过具有自由面的蓄水通道。面的蓄水通道。面的蓄水通道。面的蓄水通道。解：解：解：解：3.4.2 3.4.2 3.4.2 3.4.2 微分形式的连续方程微分形式的连续方程微分形式的连续方程微分形式的连续方程连续流场中空间任意点上速度和密连续流场中空间任意点上速度和密度必须满足的微分（连续）方程。度必须满足的微分（连续）方程。（流场中）流场中）Ga

4、uss公式公式 不可压流动连续方程：不可压流动连续方程：不可压流动连续方程：不可压流动连续方程：速度场的散度为速度场的散度为0 体积膨胀速率为体积膨胀速率为0。3.5 3.5 流体微团的运动分析流体微团的运动分析 流流体体在在运运动动过过程程中中可可能能发发生生变变形形或或旋旋转转，只只要要微微团团的的运运动动分分析析清清楚楚了了，流流场场的的运运动动就知道了。就知道了。流流流流体体体体微微微微团团团团：指指大大量量流流体体质质点点组组成成的的具具有有线线性尺度性尺度效应的微小流体团。效应的微小流体团。zxyMM0dxdydz一般运动一般运动一般运动一般运动 平移平移平移平移 线变形线变形线变

5、形线变形 旋转旋转旋转旋转 角变形角变形角变形角变形 M0M3.5.1 3.5.1 3.5.1 3.5.1 亥姆霍兹（亥姆霍兹（亥姆霍兹（亥姆霍兹（HelmholtzHelmholtzHelmholtzHelmholtz）速度分解定理速度分解定理速度分解定理速度分解定理 Taylor展开并略去高阶小量，有展开并略去高阶小量，有 t t 时刻：流体微团时刻：流体微团 流体的变形张量：流体的变形张量：流体的变形张量：流体的变形张量：二阶对称张量，有二阶对称张量，有二阶对称张量，有二阶对称张量，有6 6 6 6个独立分量。个独立分量。个独立分量。个独立分量。流体运动的涡量流体运动的涡量流体运动的涡量

6、流体运动的涡量流体平均旋转角速度流体平均旋转角速度流体平均旋转角速度流体平均旋转角速度HelmholtzHelmholtz速度分解定理速度分解定理速度分解定理速度分解定理 流体微团中任意两点间速度关系：流体微团中任意两点间速度关系：流体微团中任意两点间速度关系：流体微团中任意两点间速度关系：可见，流体微团中任意一点的速度由可见，流体微团中任意一点的速度由可见，流体微团中任意一点的速度由可见，流体微团中任意一点的速度由平移、变形和旋转三部分速度构成。平移、变形和旋转三部分速度构成。平移、变形和旋转三部分速度构成。平移、变形和旋转三部分速度构成。一般运动一般运动一般运动一般运动 平移平移平移平移

7、（线变形（线变形（线变形（线变形 角角角角变形变形变形变形 ）旋转旋转旋转旋转3.5.2 3.5.2 3.5.2 3.5.2 流体微团的运动（几何）分析流体微团的运动（几何）分析流体微团的运动（几何）分析流体微团的运动（几何）分析1.1.1.1.平移运动平移运动平移运动平移运动平移速度平移速度v v 代表微团平移运动。代表微团平移运动。2.2.线形变运动线形变运动线形变运动线形变运动 ：x x方向流体线的线变形速率方向流体线的线变形速率方向流体线的线变形速率方向流体线的线变形速率;：y y方向流体线的线变形速率方向流体线的线变形速率方向流体线的线变形速率方向流体线的线变形速率;：z z 方向流

8、体线的线变形速率。方向流体线的线变形速率。方向流体线的线变形速率。方向流体线的线变形速率。微团体积膨胀率：微团体积膨胀率：微团体积膨胀率：微团体积膨胀率：流体微团的体积在单位时间的相对变化。流体微团的体积在单位时间的相对变化。绕平行于绕平行于绕平行于绕平行于z z 轴的转动轴旋转角速度轴的转动轴旋转角速度轴的转动轴旋转角速度轴的转动轴旋转角速度 ：4 4 旋转运动旋转运动旋转运动旋转运动 绕绕绕绕z z轴的轴的轴的轴的平均旋转角速度平均旋转角速度平均旋转角速度平均旋转角速度：由对应的角速度由对应的角速度由对应的角速度由对应的角速度 3.3.角变形运动角变形运动角变形运动角变形运动 平面上两垂直

9、流体线的平面上两垂直流体线的平面上两垂直流体线的平面上两垂直流体线的平均角变形速率平均角变形速率平均角变形速率平均角变形速率：Summary:Summary:流体微团的运动由三部分组成流体微团的运动由三部分组成流体微团的运动由三部分组成流体微团的运动由三部分组成：以速度以速度以速度以速度 v v 作平移运动；作平移运动；作平移运动；作平移运动；绕某瞬时轴以平均角速度绕某瞬时轴以平均角速度绕某瞬时轴以平均角速度绕某瞬时轴以平均角速度 旋转，不引起微团形状的改变；旋转，不引起微团形状的改变；旋转，不引起微团形状的改变；旋转，不引起微团形状的改变；纯变形运动：线变形速率纯变形运动：线变形速率纯变形运

10、动：线变形速率纯变形运动：线变形速率 使微团的体使微团的体使微团的体使微团的体积膨胀或缩小，角变形速率积膨胀或缩小，角变形速率积膨胀或缩小，角变形速率积膨胀或缩小，角变形速率 使微团发生使微团发生使微团发生使微团发生角变形。角变形。角变形。角变形。流体微团的旋转运动与刚体转动的不同？流体微团的旋转运动与刚体转动的不同？流体微团的旋转运动与刚体转动的不同？流体微团的旋转运动与刚体转动的不同？速度分解定理的意义速度分解定理的意义速度分解定理的意义速度分解定理的意义：（1 1）旋转运动从一般运动中分离出来，分为）旋转运动从一般运动中分离出来，分为）旋转运动从一般运动中分离出来，分为）旋转运动从一般运

11、动中分离出来，分为无旋无旋无旋无旋和和和和有旋运动有旋运动有旋运动有旋运动;（2 2）变形运动从一般运动中分离出来，流体的变形速率与应）变形运动从一般运动中分离出来，流体的变形速率与应）变形运动从一般运动中分离出来，流体的变形速率与应）变形运动从一般运动中分离出来，流体的变形速率与应力联系起来，研究粘性流体运动规律。力联系起来，研究粘性流体运动规律。力联系起来，研究粘性流体运动规律。力联系起来，研究粘性流体运动规律。Description and Classification Description and Classification of Fluid Motionsof Fluid Mot

12、ions 1-D2-D3-DLaminarunsteadysteadyTurbulentirrotationalrotationalContinuum Fluid MechanicsViscousCompressibleIncompressible Inviscid CompressibleIncompressibleTimeSpaceBehaviorclassification classification classification classification of fluid motionof fluid motionof fluid motionof fluid motion 例例

13、例例3-5 3-5 3-5 3-5 已知流场的速度分布为已知流场的速度分布为已知流场的速度分布为已知流场的速度分布为 ，求求求求:流体质点的运动迹线和旋转角速度。流体质点的运动迹线和旋转角速度。流体质点的运动迹线和旋转角速度。流体质点的运动迹线和旋转角速度。（在（在 流场中，流场中，irrotational flow）（在（在 流场中，流场中，rotational flow）3.6 3.6 3.6 3.6 有旋运动的一般性质有旋运动的一般性质有旋运动的一般性质有旋运动的一般性质 (R(R(R(Rotational Flowotational Flow)有旋运动的基本特征有旋运动的基本特征有旋运

14、动的基本特征有旋运动的基本特征:存在涡量场存在涡量场存在涡量场存在涡量场 。Description of velocity field:Streamline,Path line and Flowrate3.6.1 3.6.1 涡线、涡管、涡通量和环量涡线、涡管、涡通量和环量涡线、涡管、涡通量和环量涡线、涡管、涡通量和环量(Description of Description of vorticityvorticity field)field)积分时时间变量积分时时间变量t 作常数处理。作常数处理。涡涡涡涡线线线线 (Vortex(Vortex line):line):任任一一时时刻刻，涡涡线线

15、上上每每一一点点的的切切向向量量都都与与该点的涡向量相切。涡线微分方程该点的涡向量相切。涡线微分方程涡管涡管涡管涡管(vortex tube)(vortex tube):某一时刻，由涡线组成的管状曲面。截某一时刻，由涡线组成的管状曲面。截某一时刻，由涡线组成的管状曲面。截某一时刻，由涡线组成的管状曲面。截面积无限小的涡管称为涡束（涡线）。面积无限小的涡管称为涡束（涡线）。面积无限小的涡管称为涡束（涡线）。面积无限小的涡管称为涡束（涡线）。涡通量涡通量涡通量涡通量(vortex(vortex flowrateflowrate):涡量场的通量（涡强）。涡量场的通量（涡强）。速度环量速度环量速度环量

16、速度环量(velocity circulation):velocity circulation):3.6.2 3.6.2 速度环量定理（速度环量定理（速度环量定理（速度环量定理（StokesStokes定理）定理）定理）定理）沿任意开口曲面边界线的速度环量等于通过该曲面的涡通沿任意开口曲面边界线的速度环量等于通过该曲面的涡通沿任意开口曲面边界线的速度环量等于通过该曲面的涡通沿任意开口曲面边界线的速度环量等于通过该曲面的涡通量。即：量。即：量。即：量。即：涡通量和速度环量都是反映旋涡作用的强弱。涡通量和速度环量都是反映旋涡作用的强弱。涡通量和速度环量都是反映旋涡作用的强弱。涡通量和速度环量都是反

17、映旋涡作用的强弱。3.6.3 3.6.3 涡管强度守恒定理涡管强度守恒定理涡管强度守恒定理涡管强度守恒定理(Conservation of vortex(Conservation of vortex flowrateflowrate)证证证证明：明：明：明：在同一瞬时，沿涡管长度各截面的涡通量保持不变。在同一瞬时，沿涡管长度各截面的涡通量保持不变。可见，涡量与截面积可见，涡量与截面积可见，涡量与截面积可见，涡量与截面积S S S S成反比，成反比，成反比，成反比，S S S S大涡量小，大涡量小，大涡量小，大涡量小，S S S S小涡量大。若小涡量大。若小涡量大。若小涡量大。若S S S S缩

18、为零，则涡量或角速度将增至无穷大。物理上不可能。缩为零，则涡量或角速度将增至无穷大。物理上不可能。缩为零，则涡量或角速度将增至无穷大。物理上不可能。缩为零，则涡量或角速度将增至无穷大。物理上不可能。若涡量在截面若涡量在截面若涡量在截面若涡量在截面 上均匀分布，记为上均匀分布，记为上均匀分布，记为上均匀分布，记为 ，得，得，得，得 涡管强度守恒定理的推论：涡管强度守恒定理的推论：涡管强度守恒定理的推论：涡管强度守恒定理的推论：涡涡管管不不可可能能在在流流体体中中开开始始或或终终止止，它它只只能能自自成成封封闭闭形形，或或开开始始、终终止止于于边界面或伸展到无穷远。边界面或伸展到无穷远。如如烟烟圈

19、圈成成呈呈环环形形、龙龙卷卷风风开开始始和和终终止于地面与云层。止于地面与云层。3.7 3.7 无旋运动的势函数无旋运动的势函数(Velocity Potential)积积分分与与路路径径无无关关，时时间间 t 为为参参数数，积积分分时当作常数处理。时当作常数处理。速度势速度势速度势速度势 速度势函数的性质：速度势函数的性质：速度势函数的性质：速度势函数的性质：1.1.速度势沿任一方向的方向导数等于速度在该方向的投影；速度势沿任一方向的方向导数等于速度在该方向的投影；速度势沿任一方向的方向导数等于速度在该方向的投影；速度势沿任一方向的方向导数等于速度在该方向的投影；势流：势流：势流：势流：不可

20、压缩流体的无旋流动。不可压缩流体的无旋流动。不可压缩流体的无旋流动。不可压缩流体的无旋流动。2.2.等势面与流面垂直等势面与流面垂直等势面与流面垂直等势面与流面垂直 (平面流平面流平面流平面流:等势线与流线等势线与流线等势线与流线等势线与流线垂直垂直垂直垂直)梯度梯度梯度梯度(速度速度速度速度)垂直等势面，流面与速度相切，故等势面垂直流面。垂直等势面，流面与速度相切，故等势面垂直流面。垂直等势面，流面与速度相切，故等势面垂直流面。垂直等势面，流面与速度相切，故等势面垂直流面。3.3.不可压缩流体的势函数为调和函数不可压缩流体的势函数为调和函数不可压缩流体的势函数为调和函数不可压缩流体的势函数为

21、调和函数 直系中直系中直系中直系中:4.4.势函数具有可叠加性势函数具有可叠加性势函数具有可叠加性势函数具有可叠加性 若若若若 令令令令3.8 3.8 流函数流函数 (Stream Function)符符符符号号号号：流流函函数数沿沿某某方方向向导导数数等等于于沿沿此此方方向向顺顺时时针针转转 所所对对应应方向上的速度分量。方向上的速度分量。平面极坐标系中平面极坐标系中:积分与路径无关，时间积分与路径无关，时间 t 为参数，积分时当作常数。为参数，积分时当作常数。不不不不可可可可压压压压平平平平面面面面流连续方程流连续方程流连续方程流连续方程 引入引入 1.1.即流线即流线即流线即流线 ；2.

22、2.两点流函数之差等于通过其连线的体积流量两点流函数之差等于通过其连线的体积流量两点流函数之差等于通过其连线的体积流量两点流函数之差等于通过其连线的体积流量.For For axisymmetricalaxisymmetrical flow:flow:流函数的几个性质流函数的几个性质流函数的几个性质流函数的几个性质：流函数的几个性质流函数的几个性质流函数的几个性质流函数的几个性质：3.3.不可压不可压不可压不可压平面平面平面平面无旋流的无旋流的无旋流的无旋流的 是调和函数是调和函数是调和函数是调和函数,且满足且满足且满足且满足 C-R C-R 条条条条件件件件 Cauchy-Riemann Condition:Cauchy-Riemann Condition:4.4.势函数具有可叠加性势函数具有可叠加性势函数具有可叠加性势函数具有可叠加性流函数流函数流函数流函数 const const 即流线即流线即流线即流线