动态信号处理(第四、五、六章).ppt

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1、目录v第四章第四章频谱分析频谱分析v第五章第五章数字滤波数字滤波 v第六章第六章细化选带频谱分析细化选带频谱分析 12/29/2022 简介简介 卷积和相关定理卷积和相关定理 连续傅立叶变换连续傅立叶变换 几种典型信号的傅立叶变换几种典型信号的傅立叶变换 傅立叶变换的性质傅立叶变换的性质 频谱的作法频谱的作法(离散傅立叶变换离散傅立叶变换DFT)DFT)和基本用途和基本用途 从连续傅立叶变换到离散傅立叶变换从连续傅立叶变换到离散傅立叶变换 快速傅立叶变快速傅立叶变FFTFFT(Fast(Fast Fourier Transform)Fourier Transform)窗函数与泄漏窗函数与泄漏

2、提高频谱分析精度的其他措施提高频谱分析精度的其他措施(多段平均和零均值化等多段平均和零均值化等)第四章第四章 频谱分析频谱分析12/29/2022 频谱分析是现代信号处理技术的最基本和常用的方法之频谱分析是现代信号处理技术的最基本和常用的方法之一，在生产实践和科学研究中获得日益广泛的应用。例如，一，在生产实践和科学研究中获得日益广泛的应用。例如，对汽车、飞机、轮船、汽轮机等各类旋转机械、电机、机床对汽车、飞机、轮船、汽轮机等各类旋转机械、电机、机床等机器的主体或部件进行实际运行状态下的谱分析，可以提等机器的主体或部件进行实际运行状态下的谱分析，可以提供设计数据和检验设计效果，或者寻找振源和诊断

3、故障，保供设计数据和检验设计效果，或者寻找振源和诊断故障，保证设备的安全运行等；在声纳系统中，为了寻找海洋水面船证设备的安全运行等；在声纳系统中，为了寻找海洋水面船只或潜艇，需要对噪声信号进行谱分析，以提供有用信息，只或潜艇，需要对噪声信号进行谱分析，以提供有用信息，判断舰艇运动速度、方向、位置、大小等。判断舰艇运动速度、方向、位置、大小等。谱分析方法研究是信号处理技术中一个活跃课题。谱分析方法研究是信号处理技术中一个活跃课题。在频谱分析中需要考虑两个重要的问题：在频谱分析中需要考虑两个重要的问题：提高分析速度，包括采用提高分析速度，包括采用FFT FFT 等各类算法、减少分析点等各类算法、减

4、少分析点 数等；数等；提高分析精度，这需要采用加窗、频谱修正等技术压低提高分析精度，这需要采用加窗、频谱修正等技术压低 旁瓣、抑制泄漏或修正时域截断的影响。旁瓣、抑制泄漏或修正时域截断的影响。12/29/20224.1 4.1 卷积与相关定理卷积与相关定理 卷积卷积 相关分析相关分析12/29/2022 1.卷积积分的定义卷积积分的定义 两个函数的卷积或褶积两个函数的卷积或褶积(convolution)，在不在不同的科学领域中，同的科学领域中，代表着不同的物理概念。在这代表着不同的物理概念。在这里，我们首先仅仅把其作为一种数学运算方法来里，我们首先仅仅把其作为一种数学运算方法来研究。研究。函数

5、函数x(t)与与h(t)的卷积积分定义为：的卷积积分定义为：一一.卷积卷积12/29/2022 2.卷积积分的几种图形表示卷积积分的几种图形表示12/29/2022 卷积的图解表示，可以使人们能够直接观察到许卷积的图解表示，可以使人们能够直接观察到许多抽象关系的结果。多抽象关系的结果。函数函数x(t)与与h(t)的卷积运算过程，包含四个部骤：的卷积运算过程，包含四个部骤：(1).反射反射把把h()相对纵轴折叠过去，得到相对纵轴折叠过去，得到h()的镜象的镜象h(-)；(2).平移平移将将h(-)移动移动t1，得到得到h(t1-)；移动移动t2，得到得到h(t2-)；以下类推。以下类推。(3).

6、相乘相乘将位移后的函数将位移后的函数h(ti-)乘以乘以x()；(4).积分积分h(t-)与与x()乘积曲线下所包含面积即乘积曲线下所包含面积即为为t时刻的卷积值，时刻的卷积值，A1 代表代表x()h(t1-)下的面积，是下的面积，是t1时刻的卷积值；时刻的卷积值；A2代表代表x()h(t2-)下的面积，是下的面积，是t2时刻时刻的卷积值。的卷积值。当当h(-)沿整个时间轴经过上述四个步骤后，即可沿整个时间轴经过上述四个步骤后，即可得得x(t)与与h(t)的卷积值。的卷积值。12/29/20223.物理意义物理意义 利用卷积运算，描述线性时不变系统的输出与输入的关系，利用卷积运算，描述线性时不

7、变系统的输出与输入的关系，在物理概念上是十分清楚的，即系统的输出在物理概念上是十分清楚的，即系统的输出y(t)是任意输入是任意输入x(t)与与系统脉冲响应系统脉冲响应h(t)的卷积。这一运算过程可概括为下述三个内容：的卷积。这一运算过程可概括为下述三个内容：(1).信号信号x(t)可以表示为许多宽度为可以表示为许多宽度为t 的窄条面积之和，的窄条面积之和，t=nt时的第时的第n 个窄条宽度为个窄条宽度为x(nt)t，在在t0的情况下，窄的情况下，窄条可以看作是强度等于窄条面积的脉冲。条可以看作是强度等于窄条面积的脉冲。(2).如果已知系统的单位脉冲响应是如果已知系统的单位脉冲响应是h(t)，根

8、据线性系统的齐根据线性系统的齐次性与时不变性，在次性与时不变性，在t=nt时刻，窄条脉冲引起的响应是：时刻，窄条脉冲引起的响应是：(3).根据线性系统的叠加性，由所有脉冲分量引起的响应根据线性系统的叠加性，由所有脉冲分量引起的响应是许多窄条脉冲响应之和，即是许多窄条脉冲响应之和，即 12/29/2022当当t0时，离散和变为积分，并令时，离散和变为积分，并令td，nt，则有则有积分式：积分式：用卷积方法求任意输入下系统的响应用卷积方法求任意输入下系统的响应12/29/2022 函数的筛选性质函数的筛选性质 4.含有脉冲函数的卷积含有脉冲函数的卷积 函数的定义函数的定义12/29/2022含有脉

9、冲函数的卷积含有脉冲函数的卷积其它其它12/29/2022计算：计算：根据根据函数的筛选特性，得：函数的筛选特性，得：用作图法，将用作图法，将x(t)反折反折,然后沿时间轴然后沿时间轴(-,)作位移、相乘、积分，作位移、相乘、积分，也可得到同样结果。也可得到同样结果。由此可知，计算函数由此可知，计算函数x(t)与脉冲函数的卷积，与脉冲函数的卷积，就是简单地将就是简单地将x(t)在产生脉冲函数的坐标位置上重在产生脉冲函数的坐标位置上重新构图。即信号波形对单位脉冲信号的卷积：以新构图。即信号波形对单位脉冲信号的卷积：以脉冲为中心复制信号波形。脉冲为中心复制信号波形。12/29/2022 5.卷积定

10、理卷积定理 卷积定理是卷积与傅里叶变换之间关系的重要定理，具有时卷积定理是卷积与傅里叶变换之间关系的重要定理，具有时域卷积定理和频域卷积定理两个定理，是傅里叶变换的一个重要域卷积定理和频域卷积定理两个定理，是傅里叶变换的一个重要特性，它在推导和论述相关定理中有重要地位。特性，它在推导和论述相关定理中有重要地位。(1).时域卷积定理时域卷积定理证明证明:两个时间函数卷积的频谱等于各个时间函数频谱的复数乘两个时间函数卷积的频谱等于各个时间函数频谱的复数乘积，即在时域中两个信号的卷积，等效于在频域中频谱相乘。积，即在时域中两个信号的卷积，等效于在频域中频谱相乘。12/29/2022 下面以几个例子来

11、说明时域卷积定理的应用。下面以几个例子来说明时域卷积定理的应用。例例1 脉冲序列与矩形脉冲的卷积与傅里叶变换之间的关系。脉冲序列与矩形脉冲的卷积与傅里叶变换之间的关系。脉冲序列脉冲序列h(t)的傅里叶变换仍为脉冲序列；的傅里叶变换仍为脉冲序列；矩形脉冲函数的傅里叶变换是矩形脉冲函数的傅里叶变换是sinc(t)型函数。型函数。脉冲序列与矩形脉冲的卷积与傅立叶变换之间的关系脉冲序列与矩形脉冲的卷积与傅立叶变换之间的关系 12/29/2022(2).频域卷积定理频域卷积定理 此即为频域卷积定理，它说明两时间函数的频谱此即为频域卷积定理，它说明两时间函数的频谱的卷积等效于时域两函数的乘积。需要指出的是

12、其中的卷积等效于时域两函数的乘积。需要指出的是其中频域卷积为复频谱卷积，不是直接的谱频域卷积为复频谱卷积，不是直接的谱(自谱、幅值自谱、幅值谱和对数谱）卷积。谱和对数谱）卷积。复数相乘模相乘，幅角相加复数相乘模相乘，幅角相加12/29/2022 例例2：调制信号：调制信号2调制信号调制信号(谐波信号直流信号谐波信号直流信号)的卷积与傅的卷积与傅里叶变换之间的关系。里叶变换之间的关系。调制信号调制信号2调制信号调制信号(谐波信号直流信号谐波信号直流信号)的卷积与傅立叶变换之间的关系的卷积与傅立叶变换之间的关系12/29/2022例例3利用频域卷积定理研究余弦信号截断利用频域卷积定理研究余弦信号截

13、断(加矩形窗加矩形窗)后的频谱，后的频谱，此例表明了无限长余弦信号的频域能量集中此例表明了无限长余弦信号的频域能量集中-1/T与与1/T，而截断后的余弦信号的频域能量则在而截断后的余弦信号的频域能量则在-1/T与与1/T点附近分点附近分散。实质上，任一谐波信号进行离散傅里叶变换时其频谱散。实质上，任一谐波信号进行离散傅里叶变换时其频谱都不再是都不再是函数，而是函数，而是sinc(t)型函数型函数.12/29/2022 6.用频域卷积定理证明巴什瓦定理用频域卷积定理证明巴什瓦定理巴什瓦巴什瓦(Parseval)定理是信号分析中的一个重要定理，它表定理是信号分析中的一个重要定理，它表明了时域中信号

14、明了时域中信号X(t)的总能量等于频域中计算的信号总能量。的总能量等于频域中计算的信号总能量。如果：如果：则有则有证明：根据卷积定理有证明：根据卷积定理有 令令q0，x(t)h(t)，则有则有 等式左边表示了时域中信号总能量，关于等式右边，根据傅里叶等式左边表示了时域中信号总能量，关于等式右边，根据傅里叶变换性质可知，变换性质可知，X(f)与与X(-f)共轭，而有共轭，而有 因此可证明因此可证明12/29/2022 7.离散卷积及实现方法离散卷积及实现方法 设有设有N点离散等间隔时间序列点离散等间隔时间序列x(i)和和h(i)(i=0,1,2,N-1)，其离散卷积的定义为：其离散卷积的定义为：

15、下面以两个矩形脉冲信号为例说明作离散卷积的步骤：下面以两个矩形脉冲信号为例说明作离散卷积的步骤：两个矩形脉冲信号的离散卷积的步骤两个矩形脉冲信号的离散卷积的步骤 12/29/2022离散频域卷积定理：离散频域卷积定理：离散时域卷积定理：离散时域卷积定理：与连续信号的卷积定理不同的是频域卷积多出一系与连续信号的卷积定理不同的是频域卷积多出一系数数1/N。12/29/2022二、相关分析二、相关分析 相关分析包括自相关函数和相关分析包括自相关函数和互相关函数。相关函数可以描述互相关函数。相关函数可以描述两个信号之间有无关系或其相似两个信号之间有无关系或其相似程度，也可以描述同一信号的现程度，也可以

16、描述同一信号的现在值与过去有无关系，或根据过在值与过去有无关系，或根据过去值、现在值估计未来值。去值、现在值估计未来值。12/29/20221.1.相关函数定义相关函数定义相关函数定义相关函数定义 复函数复函数x(t)的自相关函数的定义为：的自相关函数的定义为：当当x(t)为实函数，其自相关函数可简写为：为实函数，其自相关函数可简写为：复函数复函数x(t)与与y(t)互相关函数的定义为：互相关函数的定义为：当当x(t)与与y(t)为实函数时，其互相关函数可简为实函数时，其互相关函数可简 写为：写为：12/29/20222.相关函数用途相关函数用途 相关测量在工程上有许多应用。相关测量在工程上有

17、许多应用。自相关函数可用于检测淹没在噪声中自相关函数可用于检测淹没在噪声中的周期信号，因为周期函数的自相关的周期信号，因为周期函数的自相关仍然是周期函数，而随机噪声的自相仍然是周期函数，而随机噪声的自相关函数则很快衰减。而互相关函数可关函数则很快衰减。而互相关函数可以用于检测两个同频率信号的相位差以用于检测两个同频率信号的相位差和两个信号的同周期成分。和两个信号的同周期成分。12/29/20223.3.相关与卷积的关系相关与卷积的关系相关与卷积的关系相关与卷积的关系 x(t)与与y(t)的卷积为：的卷积为：为便于比较，把相关函数的变量为便于比较，把相关函数的变量t与与互换，这样互相互换，这样互

18、相关函数可表示为：关函数可表示为：比较两式可知：比较两式可知：故有，故有，上式表明，上式表明，x(t)与与y(t)的互相关函数等于的互相关函数等于x(t)与与y(-t)的的卷积。卷积。12/29/2022 这两种运算过程都包括了位移、相乘、积分三个步这两种运算过程都包括了位移、相乘、积分三个步骤，其差别在于相关运算不要对骤，其差别在于相关运算不要对y(t)进行反折，而卷积进行反折，而卷积运算需要反折。运算需要反折。卷积和相关的运算图形比较卷积和相关的运算图形比较 12/29/20224.4.相关定理相关定理相关定理相关定理证明：证明：同理可证明：同理可证明：12/29/2022 当当x(t)y

19、(t)时，则有时，则有 两信号的互相关函数的傅里叶变换等于两信号的互相关函数的傅里叶变换等于其中一个信号的傅里叶变换乘以另一信号的其中一个信号的傅里叶变换乘以另一信号的傅里叶变换的共轭值，此即相关定理。如果傅里叶变换的共轭值，此即相关定理。如果y(t)为实偶函数，则它的傅里叶变换为实偶函数，则它的傅里叶变换Y()是实是实函数，此时相关定理与卷积定理具有相同结函数，此时相关定理与卷积定理具有相同结果果。相关定理相关定理相关定理相关定理12/29/20225.5.用相关定理证明能量定理用相关定理证明能量定理用相关定理证明能量定理用相关定理证明能量定理(巴什瓦定理巴什瓦定理巴什瓦定理巴什瓦定理)能量

20、定理：时域内能量定理：时域内x2(t)曲线所覆盖的面曲线所覆盖的面积等于频域内积等于频域内 覆盖的面积，覆盖的面积，且等于且等于在原点的自相关函数值。即时域内的总能量在原点的自相关函数值。即时域内的总能量等于频域内的总能量，人们常用这个关系式等于频域内的总能量，人们常用这个关系式来检验谱分析程序是否正确。来检验谱分析程序是否正确。12/29/2022证明：证明：根据相关定理，进行傅里叶变换反变换有根据相关定理，进行傅里叶变换反变换有 当当 时有时有由能量有限信号的自相关函数定义由能量有限信号的自相关函数定义当当 时有：时有：因此有：因此有：12/29/20226.6.离散相关函数的实现方法离散

21、相关函数的实现方法离散相关函数的实现方法离散相关函数的实现方法离散相关函数有两种实现方法，一种是离散相关函数有两种实现方法，一种是直接计算方法，即根据离散相关的数学定义直接计算方法，即根据离散相关的数学定义直接计算的方法，此法最大的缺点是计算速直接计算的方法，此法最大的缺点是计算速度慢，在进行多段平均计算时将需要较大量度慢，在进行多段平均计算时将需要较大量的时间。第二种方法是用的时间。第二种方法是用FFT快速算法计算快速算法计算来实现，此法最大的优点是计算速度快，来实现，此法最大的优点是计算速度快，在在进行多段平均计算时将需要的时间少得多，进行多段平均计算时将需要的时间少得多，但此法要求但此法

22、要求FFT反变换的精度要高，若用软反变换的精度要高，若用软件实现，至少采用实型数来计算。件实现，至少采用实型数来计算。12/29/2022(1)离散自相关函数的计算方法离散自相关函数的计算方法 对于离散化的时间序列对于离散化的时间序列x(i)i=1,2,N，自相关函数自相关函数的直接计算式为：的直接计算式为：式中式中k为时间滞后点数为时间滞后点数,M为总的时间滞后数。为总的时间滞后数。通常采用软件通常采用软件FFT快速算法计算自相关，其步骤为：快速算法计算自相关，其步骤为：a.对离散序列对离散序列x1,x2,x512补零得到补零得到1024点的新序列：点的新序列：x1,x2,x1024 b.对

23、序列对序列xi作作FFT并取其模得自谱：并取其模得自谱：c.对自谱取多段平均得：对自谱取多段平均得：d.对对 作逆作逆FFT变换取实部并乘以修正系数得相关变换取实部并乘以修正系数得相关函数：函数：12/29/2022(2)离散互相关函数的计算方法离散互相关函数的计算方法 对于离散化的时间序列对于离散化的时间序列x(i)和和y(i)i=1,2,N，互互相关函数的直接计算式为：相关函数的直接计算式为：式中式中k为时间滞后点数为时间滞后点数,M为总的时间滞后数。为总的时间滞后数。通常采用软件通常采用软件FFT快速算法计算互相关，其步骤为：快速算法计算互相关，其步骤为：a.对离散序列对离散序列x(i)

24、和和y(i)i=1,2,512补零得到补零得到1024点的新序列：点的新序列：x(i),y(i)i=1,2,1024 b.对序列对序列x(i),y(i)作作FFT得互谱：得互谱：c.对互谱取多段平均得：对互谱取多段平均得：d.对对 作逆作逆FFT变换取实部并乘以修正系数得互相变换取实部并乘以修正系数得互相关函数：关函数：12/29/20224.2 连续傅立叶变换连续傅立叶变换 傅立叶级数傅立叶级数 傅立叶变换傅立叶变换12/29/2022 1.1.周期信号与傅里叶级数周期信号与傅里叶级数周期信号与傅里叶级数周期信号与傅里叶级数 一个周期信号一个周期信号f(t)，当满足狄义赫利当满足狄义赫利(D

25、irichlet)条件，即：周期性函数在一个周期内只条件，即：周期性函数在一个周期内只有有限个极值点，只有有限个第一类间断点有有限个极值点，只有有限个第一类间断点(这种间这种间断点处左、右极限存在断点处左、右极限存在)，而其余各处都是连续的，而其余各处都是连续的，这时可以用一个傅里叶级数来表示：这时可以用一个傅里叶级数来表示：一一.傅里叶级数傅里叶级数12/29/202212/29/2022 2.2.傅里叶级数的物理意义傅里叶级数的物理意义傅里叶级数的物理意义傅里叶级数的物理意义(1).任意一个周期函数，只要满足一定条件，任意一个周期函数，只要满足一定条件，都可以分解为基频都可以分解为基频f0

26、的谐波与整数倍基频的高次谐的谐波与整数倍基频的高次谐波的和，这就是周期信号合成的原理；波的和，这就是周期信号合成的原理；(2).周期信号中的任一阶频率成分的幅值、周期信号中的任一阶频率成分的幅值、相位都可以通过傅里叶级数展开得到，这也是周相位都可以通过傅里叶级数展开得到，这也是周期信号分解的原理。在机械振动分析中，常用这期信号分解的原理。在机械振动分析中，常用这一原理来求旋转机械基频以及高次谐波的幅值和一原理来求旋转机械基频以及高次谐波的幅值和相位，求出不同转速下的基频幅值和相位就构成相位，求出不同转速下的基频幅值和相位就构成了所谓的伯德图和振动矢量图。周期函数的频谱了所谓的伯德图和振动矢量图

27、。周期函数的频谱实质上是由一系列与基频实质上是由一系列与基频 f0 有关的离散频谱构成，有关的离散频谱构成，基波频率基波频率 f0 和谱线间隔和谱线间隔f0 都是都是1/T；12/29/2022 (3).这一原理也可以扩展来求周期信号的这一原理也可以扩展来求周期信号的(nm+k)/m(m,k均为正整数，均为正整数，km)倍谐波，只要将新倍谐波，只要将新周期扩大为原周期的周期扩大为原周期的m倍，在机械振动分析中，常用这倍，在机械振动分析中，常用这一原理来求旋转机械涡流振动的半频成分和扭振中有一原理来求旋转机械涡流振动的半频成分和扭振中有理数分频成分的幅值和相位。理数分频成分的幅值和相位。周期信号

28、的周期信号的(nm+k)/m(m,k均为正整数，均为正整数，km)倍倍谐波的实部和虚部可变换为：谐波的实部和虚部可变换为：相应的幅值和相位为：相应的幅值和相位为：12/29/2022 (4).利用整周期信号的傅里叶级数展利用整周期信号的傅里叶级数展开求出的基频以及高次谐波的幅值和相位对开求出的基频以及高次谐波的幅值和相位对应于对同一周期信号进行整周期截断做傅里应于对同一周期信号进行整周期截断做傅里叶变换叶变换(DFT)求得的各条谱线的幅值和相位。求得的各条谱线的幅值和相位。其实质是对周期信号进行整周期采样、无泄其实质是对周期信号进行整周期采样、无泄漏离散漏离散DFT求出的基频和高次倍频的幅值和

29、求出的基频和高次倍频的幅值和相位。相位。第第n阶的幅值阶的幅值 和相位为：和相位为：12/29/20223.3.傅里叶级数展开式成立的条件傅里叶级数展开式成立的条件傅里叶级数展开式成立的条件傅里叶级数展开式成立的条件 傅里叶级数展开式成立的条件是函数傅里叶级数展开式成立的条件是函数f(t)应满应满足狄义赫利足狄义赫利(Dirichlet)条件，即：周期性函数条件，即：周期性函数f(t)在一个周期内只有有限个极值点，只有有限个在一个周期内只有有限个极值点，只有有限个第一类间断点第一类间断点(在这种间断点处左、右极限存在在这种间断点处左、右极限存在)，而其余各处都是连续的，这时傅里叶级数展开，而其

30、余各处都是连续的，这时傅里叶级数展开式为：式为：12/29/20224.4.傅里叶级数的指数形式傅里叶级数的指数形式傅里叶级数的指数形式傅里叶级数的指数形式 将上两式带入傅立叶级数式并整理有：将上两式带入傅立叶级数式并整理有：根据欧拉公式有：根据欧拉公式有：12/29/20224.4.傅里叶级数的指数形式傅里叶级数的指数形式傅里叶级数的指数形式傅里叶级数的指数形式其中其中写成从写成从 到到 的形式有：的形式有：为傅利叶系数，是一复数，故将上式称为周期信为傅利叶系数，是一复数，故将上式称为周期信号的复数形式傅利叶展开式。由于号的复数形式傅利叶展开式。由于n n可取负数，就意可取负数，就意味着味着

31、“负频率负频率”，这是由复数表示所引起的。，这是由复数表示所引起的。12/29/20225.5.几个典型信号的傅立叶级数几个典型信号的傅立叶级数几个典型信号的傅立叶级数几个典型信号的傅立叶级数(1)(1)矩形波的傅立叶级数展开矩形波的傅立叶级数展开 傅立叶级数展开傅立叶级数展开12/29/2022 12/29/202212/29/2022(2)(2)锯齿波的傅立叶级数展开波的傅立叶级数展开 傅立叶级数展开傅立叶级数展开12/29/202212/29/2022(3)(3)三角波的傅立叶级数展开三角波的傅立叶级数展开12/29/202212/29/2022(4)(4)脉冲序列（采样函数）的傅立叶级

32、数展开脉冲序列（采样函数）的傅立叶级数展开12/29/202212/29/2022 二二.傅里叶变换傅里叶变换1 1 傅利叶变换傅利叶变换 傅傅利利叶叶级级数数是是将将周周期期信信号号分分解解为为离离散散谱谱线线，其其积积分分的的上上、下下限限必必须须满满足足整整周周期期的的条条件件，也也只只能能分分析析离离散散谱谱线线，具具有有很很大大的的局局限限性性。对对于于一一个个非非周周期期信信号号，我我们们可可以以把把它它看看成成一一个个周周期期T T趋趋于于无无穷穷大大的的周周期期信信号号，这这种种信信号号的的基基频频、谱谱线线间间隔隔都都将将变变成成无无穷穷小小而而趋趋近近于于零零。显显然然，这

33、这时时组组成成频频谱谱的的谱谱线线越越来来越越密密集集，从从而而使使离离散散谱谱线线过过渡渡到到连连续续频频谱谱，由由此可引出傅利叶变换对的概念。此可引出傅利叶变换对的概念。12/29/2022 傅利叶正变换的定义傅利叶正变换的定义：傅利叶逆变换的定义傅利叶逆变换的定义：傅利叶变换对：傅利叶变换对：12/29/2022 傅利叶变换的物理意义是建立了傅利叶变换的物理意义是建立了时间域和频率域的关系，可以将连续时间域和频率域的关系，可以将连续的时间域函数变换成连续的频率域函的时间域函数变换成连续的频率域函数，观察信号的频率分布；也可以将数，观察信号的频率分布；也可以将连续的频率域函数变换成连续的时

34、间连续的频率域函数变换成连续的时间域函数，观察信号的波形特征。域函数，观察信号的波形特征。傅利叶正变换的定义傅利叶正变换的定义：12/29/20222.2.傅利叶积分存在的条件傅利叶积分存在的条件：一般来说，在实际的科学分析和一般来说，在实际的科学分析和实际应用中所遇到的大多数函数，其实际应用中所遇到的大多数函数，其傅立叶变换或其逆变换是存在的。我傅立叶变换或其逆变换是存在的。我们不想就傅立叶变换存在性质进行深们不想就傅立叶变换存在性质进行深奥的理论探讨，而只是指出存在的条奥的理论探讨，而只是指出存在的条件，并给出有关这些条件的例子。件，并给出有关这些条件的例子。12/29/2022条件条件1

35、 1：如果：如果x(t)x(t)在下式意义上是可积的，即在下式意义上是可积的，即：则它的傅立叶变换存在则它的傅立叶变换存在 应应着着重重指指出出，条条件件1 1是是傅傅立立叶叶变变换换存存在在的的充充分分条条件件，但但不不是是必必要要条条件件。有有一一些些函函数数，它它不不满满足足条条件件1 1，但但却却存存在在傅傅立立叶叶逆逆变变换换，这这类类函数在条件函数在条件2 2中涉及到。中涉及到。12/29/2022例例1 1矩形脉冲（对称矩形窗）的傅立叶变换。矩形脉冲（对称矩形窗）的傅立叶变换。12/29/202212/29/202212/29/2022由于矩形脉冲函数满足条件由于矩形脉冲函数满足

36、条件1 1，逆变换存在且满足。，逆变换存在且满足。12/29/2022令积分区间为原区间的一半令积分区间为原区间的一半-T-T0 0/2,T/2,T0 0/2/2，则有：则有：12/29/2022条件条件2 2：如果如果 （f f和和a a是任是任意常数），其中意常数），其中 是单调函数，而且对是单调函数，而且对于充分大的正数于充分大的正数 当当 函数函数 在条在条件件1 1的意义下是绝对可积的，则存在并满的意义下是绝对可积的，则存在并满足傅立叶逆变换公式。足傅立叶逆变换公式。这方面的一个重要例子就是函数这方面的一个重要例子就是函数 ，它并不满足条件，它并不满足条件1 1的可积的可积性要求，但

37、根据例性要求，但根据例1 1其傅立叶变换存在且其傅立叶变换存在且为一矩形脉冲。为一矩形脉冲。12/29/2022条件条件3 3：尽管没有作特别说明，对满足条件尽管没有作特别说明，对满足条件1 1和条和条件件2 2的所有函数都是假定为有界变差的。也就的所有函数都是假定为有界变差的。也就是说，它们的函数图象在任意有限时间间隔是说，它们的函数图象在任意有限时间间隔内是一条有限长度的曲线。条件内是一条有限长度的曲线。条件3 3中，我们将中，我们将理论推广到奇异函数（即脉冲宽度为零，而理论推广到奇异函数（即脉冲宽度为零，而幅值为无穷大的脉冲函数）。幅值为无穷大的脉冲函数）。建立脉冲函数的傅立叶变换是重要

38、的，建立脉冲函数的傅立叶变换是重要的，因为它的使用可极大的简化许多变换的推导。因为它的使用可极大的简化许多变换的推导。12/29/2022脉冲函数脉冲函数 定义为定义为：脉冲函数脉冲函数 的筛选特性的筛选特性(采样特性采样特性)12/29/2022例例2 2函数的傅立叶变换函数的傅立叶变换函数函数函数的傅立叶变换为函数的傅立叶变换为12/29/202212/29/2022的傅立叶逆变换为的傅立叶逆变换为第二个积分的被积函数是奇函数，在对称区间的积分为零。第二个积分的被积函数是奇函数，在对称区间的积分为零。即存在下列关系式即存在下列关系式12/29/20224.3 4.3 几种典型信号的傅里叶变

39、换几种典型信号的傅里叶变换 本节给出一些典型信号的傅里叶本节给出一些典型信号的傅里叶变换对，了解它们变换过程和结果，变换对，了解它们变换过程和结果，可使我们进一步加深对傅里叶变换的可使我们进一步加深对傅里叶变换的理解，深入认识信号从时域到频域的理解，深入认识信号从时域到频域的转换过程，为今后的推导和了解傅里转换过程，为今后的推导和了解傅里叶变换的性质提供帮助。叶变换的性质提供帮助。12/29/2022 1.1.余弦信号余弦信号其傅里叶变换为：其傅里叶变换为：余弦信号的傅里叶变换为纯实数，虚部为零余弦信号的傅里叶变换为纯实数，虚部为零.12/29/2022余弦信号的傅里叶变换对余弦信号的傅里叶变

40、换对：(a).时域波形 (b).傅立叶变换图4.3.1 余弦信号的傅立叶变换12/29/20222.2.正弦信号正弦信号12/29/2022 正弦信号的傅里叶变换为纯虚数，实部为零正弦信号的傅里叶变换为纯虚数，实部为零.正弦信号的傅里叶变换对正弦信号的傅里叶变换对：(a).时域波形 (b).傅立叶变换图4.3.2 正弦信号的傅立叶变换12/29/2022 3.3.一般谐波信号一般谐波信号12/29/2022一般谐波信号的傅里叶变换为复数，显然令一般谐波信号的傅里叶变换为复数，显然令即余弦信号的傅里叶变换即余弦信号的傅里叶变换 令令即正弦信号的傅里叶变换即正弦信号的傅里叶变换12/29/2022

41、一般谐波信号的傅里叶变换对：一般谐波信号的傅里叶变换对：12/29/20224.4.直流信号直流信号 x(t)=kx(t)=k 其傅里叶变换为其傅里叶变换为：直流信号的傅里叶变换为纯实数，是频率为零而直流信号的傅里叶变换为纯实数，是频率为零而幅值为幅值为K K的的函数，函数，直流信号的傅里叶变换对：直流信号的傅里叶变换对：12/29/2022直流信号的傅里叶变换直流信号的傅里叶变换(a).时域波形 (b).傅立叶变换12/29/2022 5.5.哈明哈明(HanningHanning)和海宁和海宁(Hamming)(Hamming)窗窗12/29/2022令令:则则:(1).(1).哈明哈明(

42、HanningHanning)窗：令窗：令 a a0.50.5，新的区间为原区间的新的区间为原区间的一半，即一半，即T=TT=T0 0/2,/2,则哈明则哈明(HanningHanning)窗的傅里叶变换为：窗的傅里叶变换为：12/29/2022 令令则则:令令则则:12/29/2022哈明哈明(HanningHanning)窗的傅里叶变换窗的傅里叶变换(a).时域波形 (b).傅立叶变换12/29/20222).2).海宁海宁(Hamming)(Hamming)窗窗：令令a a0.540.54，新的区间为原区间的一半，即，参照新的区间为原区间的一半，即，参照哈明哈明HanningHannin

43、g)窗的傅里叶变换推导得到海宁窗的傅里叶窗的傅里叶变换推导得到海宁窗的傅里叶变换对：变换对：12/29/2022(a).(a).时域波形时域波形 (b).(b).傅里叶变换傅里叶变换海宁海宁(Hamming)(Hamming)窗的傅里叶变换窗的傅里叶变换12/29/2022 6.6.脉冲序列脉冲序列(采样函数采样函数)用脉冲序列用脉冲序列(采样函数采样函数)傅里叶级数的指数形式展开傅里叶级数的指数形式展开式进行傅里叶变换得式进行傅里叶变换得:12/29/2022(a)时域波形 (b)傅立叶级数图4.3.7 脉冲序列(采样函数)函数的傅立叶变换12/29/2022 7.指数函数12/29/202

44、2指数函数的傅里叶变换指数函数的傅里叶变换12/29/20224.4 傅里叶变换的性质傅里叶变换的性质 线性性线性性 时间尺度的变化时间尺度的变化 频率尺度的变化频率尺度的变化 对称性对称性 时间位移时间位移 频率位移频率位移 偶函数偶函数 奇函数奇函数 复时间函数复时间函数 小结小结12/29/2022 如果如果 x(t)和和y(t)分别有傅里叶变换分别有傅里叶变换X(f)和和Y(f)，则它们则它们的和的和x(t)+y(t)的傅里叶变换是的傅里叶变换是X(f)+Y(f)。即时域相信号相即时域相信号相加对应于频域傅里叶变换复数相加。这个性质证明如下：加对应于频域傅里叶变换复数相加。这个性质证明

45、如下：一一.线性性线性性傅里叶变换对傅里叶变换对：是相当重要的，因为它表明：在线性系统分析中傅里叶是相当重要的，因为它表明：在线性系统分析中傅里叶变换是完全适用的。变换是完全适用的。12/29/2022例例1.的傅里叶变换对的傅里叶变换对由线性定理有：由线性定理有：12/29/2022图4.4.1 傅立叶变换的线性性质12/29/2022二二.时间尺度的变化时间尺度的变化如果如果 的傅里叶变换是的傅里叶变换是 ,则则 和和 为一对傅里叶变换对，即：为一对傅里叶变换对，即：证明：设证明：设k为大于零的实常数，为大于零的实常数，的傅里叶变换可在的傅里叶变换可在傅里叶积分式中用代换傅里叶积分式中用代

46、换t=kt而求得，即：而求得，即：当当k为负时，因为积分限互换，故右边的项改变符号。为负时，因为积分限互换，故右边的项改变符号。12/29/2022奇脉冲函数的时间尺度变化是一个特例奇脉冲函数的时间尺度变化是一个特例12/29/2022 在科学工作的许多领域里，傅里叶变换的在科学工作的许多领域里，傅里叶变换的时间尺度变化这一性质是为大家所熟悉的。矩时间尺度变化这一性质是为大家所熟悉的。矩形窗函数，时间尺度的扩展相应于频率尺度的形窗函数，时间尺度的扩展相应于频率尺度的压缩。注意，压缩。注意，当时间尺度扩展时，不仅频率尺当时间尺度扩展时，不仅频率尺度缩小，而且频域里的垂直幅度增大，以使曲度缩小，而

47、且频域里的垂直幅度增大，以使曲线下的面积保持不变。在雷达和天线理论中，线下的面积保持不变。在雷达和天线理论中，这是一个在大家所熟悉的概念。这是一个在大家所熟悉的概念。12/29/2022三三.频率尺度的变化频率尺度的变化 如果如果X(f)的傅里叶逆换是的傅里叶逆换是x(t)，k是实常数，则是实常数，则X(kf)的傅里叶逆变换由下面傅里叶变换对给出的傅里叶逆变换由下面傅里叶变换对给出对逆变换公式作对逆变换公式作f=kf的代换即可，即的代换即可，即注意，脉冲函数的频率尺度改变由下式确定注意，脉冲函数的频率尺度改变由下式确定12/29/2022 与时间尺度改变类似，频率尺度的扩展导致时间尺度与时间尺

48、度改变类似，频率尺度的扩展导致时间尺度的压缩。当频率尺度扩展时，时间函数的幅度就增大。其的压缩。当频率尺度扩展时，时间函数的幅度就增大。其实使用对称特性和时间尺度变化关系也可以得到实使用对称特性和时间尺度变化关系也可以得到频率尺度变化的性质频率尺度变化的性质12/29/2022例例2 许多书中常用角频率许多书中常用角频率来表示傅里叶变换对，来表示傅里叶变换对，采样序列函数的傅里叶变换对是：采样序列函数的傅里叶变换对是：根据频率尺度变化性质可得根据频率尺度变化性质可得用频率参量用频率参量f这就是用频率参量这就是用频率参量f表示的采样序列函数的傅里叶变换对表示的采样序列函数的傅里叶变换对12/29

49、/2022四四.对称性对称性 如果如果x(t)和和X(f)是一个傅里叶变换对，则有：是一个傅里叶变换对，则有：例例3 为了说明这个性质，考虑傅里叶变换对为了说明这个性质，考虑傅里叶变换对由对称性定理得由对称性定理得12/29/2022如果的自变量被移动一个常量，则作代换，傅立叶变换为：如果的自变量被移动一个常量，则作代换，傅立叶变换为：于是有：于是有：如果的自变量时间位移一个常量，则引起相角变化量取决如果的自变量时间位移一个常量，则引起相角变化量取决于频率和两个参数，且随频率于频率和两个参数，且随频率f f线性变化，时线性变化，时(直流分量直流分量)无无相位变化，见图相位变化，见图4.4.4

50、五五.时间位移时间位移12/29/2022 要注意的是，时间位移不改变傅里叶变换幅值的大要注意的是，时间位移不改变傅里叶变换幅值的大小。这是因为小。这是因为因此，其幅值大小由下式给出：因此，其幅值大小由下式给出：12/29/2022图图4.4.4 时间位移性质时间位移性质12/29/2022六六.频率位移频率位移 如果如果 的自变量移动一个常量的自变量移动一个常量 ,则它的傅里则它的傅里叶逆变换被乘以叶逆变换被乘以 ,要得到这一傅里叶变换对，要得到这一傅里叶变换对，可对傅里叶逆变换式作代换可对傅里叶逆变换式作代换 ，即：，即：12/29/2022 为了说明频率位移的效应，我们假定频率函数为了说