工程力学chapter08.ppt

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1、第八章第八章 圆轴的圆轴的扭转8.2 扭矩、扭矩图扭矩、扭矩图8.1 扭转的概念与实例扭转的概念与实例8.3 圆轴扭转时的应力与变形圆轴扭转时的应力与变形8.4 圆圆轴扭转轴扭转的的强度条件和刚度条件强度条件和刚度条件8.5 静不定问题和弹塑性问题静不定问题和弹塑性问题1工程构件分类工程构件分类:板板板板块体块体块体块体杆杆杆杆杆的基本变形杆的基本变形:轴向拉压弯 曲xyz 扭 转28.1 扭转的概念与实例扭转的概念与实例研究对象：研究对象：研究对象：研究对象：圆截面直杆圆截面直杆圆截面直杆圆截面直杆受力特点：受力特点：受力特点：受力特点：作用在垂直于轴线的不作用在垂直于轴线的不作用在垂直于轴

2、线的不作用在垂直于轴线的不同平面内的外力偶，且同平面内的外力偶，且同平面内的外力偶，且同平面内的外力偶，且满足平衡方程满足平衡方程满足平衡方程满足平衡方程:S S S SMMx x=0=0变形特征：相对扭转角变形特征：相对扭转角变形特征：相对扭转角变形特征：相对扭转角 f f f fABAB圆轴各横截面将绕其轴线发生相对转动。圆轴各横截面将绕其轴线发生相对转动。圆轴各横截面将绕其轴线发生相对转动。圆轴各横截面将绕其轴线发生相对转动。xyz0 0MM0 0MM变形前变形前变形后变形后f fAB汽车转向轴汽车转向轴传动轴传动轴38.2 扭矩与扭矩与扭矩图扭矩图扭矩：扭矩：T是横截面上的内力偶矩。是

3、横截面上的内力偶矩。内力内力由截面法求得。由截面法求得。取左边部分取左边部分平衡平衡由平衡方程：由平衡方程：MM0 0MM0 0假想切面假想切面外力偶外力偶 MM0 0内力偶内力偶 T T4由平衡方程：由平衡方程：取右边部分取右边部分T 和和T 是同一截面上的内力，是同一截面上的内力，应当有相同的大小和正负。应当有相同的大小和正负。TMM0 0MM0 0假想切面假想切面取左边部分取左边部分平衡平衡外力偶外力偶 MM0 0 扭矩扭矩 T T扭矩扭矩外力偶外力偶 平衡平衡T T MM0 05扭矩的符号规定：扭矩的符号规定：按右手螺旋按右手螺旋法则确定扭法则确定扭矩的矢量方矩的矢量方向，扭矩矢向，扭

4、矩矢量的指向与量的指向与截面的外法截面的外法线方向一致线方向一致者为正，反者为正，反之为负。之为负。负负MM0 0T TMM0 0T T正正6 以平行于杆轴线的坐标以平行于杆轴线的坐标以平行于杆轴线的坐标以平行于杆轴线的坐标x x表示截面的位置，以垂表示截面的位置，以垂表示截面的位置，以垂表示截面的位置，以垂直于直于直于直于x x轴的坐标表示轴的坐标表示轴的坐标表示轴的坐标表示截面截面截面截面扭矩值，即得到扭矩值，即得到扭矩值，即得到扭矩值，即得到扭矩图扭矩图扭矩图扭矩图。201 10画扭矩图：画扭矩图：xoC CA AB BA AB BC CAB段段：BC段段：75kN5kN3kNF FN

5、N 图图图图+-5kN2kN8kN5kN2kN8kN5kN+向简捷画法简捷画法：201 10A AB BC C 在左端取参考正向，按载在左端取参考正向，按载在左端取参考正向，按载在左端取参考正向，按载荷荷荷荷大小画水平线；遇集大小画水平线；遇集大小画水平线；遇集大小画水平线；遇集中载荷作用则内力相应增减；至右端回到零。中载荷作用则内力相应增减；至右端回到零。中载荷作用则内力相应增减；至右端回到零。中载荷作用则内力相应增减；至右端回到零。F FN N图（轴力）图（轴力）图（轴力）图（轴力）按右手法确定按右手法确定+向xoC CA AB BT T 图图图图8解解解解：由由由由功功功功率率率率转转转

6、转速速速速关关关关系计算外力偶矩系计算外力偶矩系计算外力偶矩系计算外力偶矩例例例例 某传动轴如图，转速某传动轴如图，转速某传动轴如图，转速某传动轴如图，转速n=700r/minn=700r/min，主动轮的输入功主动轮的输入功主动轮的输入功主动轮的输入功率为率为率为率为P PA A=400=400KWKW，从动轮从动轮从动轮从动轮B B、C C和和和和D D的输出功率分别为的输出功率分别为的输出功率分别为的输出功率分别为P PB B=P PC C=120=120KWKW，P PD D=160=160KWKW。试作轴的扭矩图。试作轴的扭矩图。试作轴的扭矩图。试作轴的扭矩图。B BMMB BMMC

7、 CC CMMA AMMD DA AD D9最大扭矩在最大扭矩在最大扭矩在最大扭矩在ABAB段，且段，且段，且段，且求各截面内力：求各截面内力：BC段段CA段段AD段段B BMMB BMMC CC CMMA AMMD DA AD DT1B BMMB BB BMMB BMMC CC CT2MMD DD D T3ACBDT/kN.m1.643.282.18T T 图图图图10简捷画法简捷画法：B BMMB BMMC CC CMMA AMMD DA AD D3.282.18ACBDT/kN.mT T 图图图图按右手法确定按右手法确定+向1.6411讨论：讨论：试作扭矩图试作扭矩图2010T T 图图

8、图图按右手法确定按右手法确定+向xoC CA AB B40kN.mD D20kN.m10kN.m10kN.mA AB BC CD D20 xoC CA AB B40kN.mD D10kN.m10kN.m求反力偶：求反力偶：2010T T 图图图图按右手法确定按右手法确定+向A AB BC CD D20128.3 圆轴扭转时的应力与变形圆轴扭转时的应力与变形变形体静力学的基本研究思路：变形体静力学的基本研究思路：静力平衡条件静力平衡条件静力平衡条件静力平衡条件变形几何条件变形几何条件变形几何条件变形几何条件材料物理关系材料物理关系材料物理关系材料物理关系+1.变形几何条件变形几何条件刚性平面假设

9、：刚性平面假设：变形前后，扭转圆轴各变形前后，扭转圆轴各个横截面仍然保持为平个横截面仍然保持为平面，二平面间距离不变，面，二平面间距离不变，其半径仍然保持为直线其半径仍然保持为直线且半径大小不变。且半径大小不变。变形前变形前变形前变形前变形后变形后变形后变形后8.3.1 8.3.1 圆轴扭转的应力公式圆轴扭转的应力公式圆轴扭转的应力公式圆轴扭转的应力公式13取长为取长为取长为取长为d dx x的微段研究，在扭矩作用下，右端面刚性的微段研究，在扭矩作用下，右端面刚性的微段研究，在扭矩作用下，右端面刚性的微段研究，在扭矩作用下，右端面刚性转动角转动角转动角转动角d df f f f，原来的矩形，原

10、来的矩形，原来的矩形，原来的矩形ABCDABCD变成为菱形变成为菱形变成为菱形变成为菱形ABCABC D D 。1.变形几何条件变形几何条件g g g g是微元的直角改变量，即是微元的直角改变量，即是微元的直角改变量，即是微元的直角改变量，即半径半径半径半径r r各处的剪应变。因为各处的剪应变。因为各处的剪应变。因为各处的剪应变。因为CCCC =g g g gd dx x=rd=rdf f f f ,故有：故有：故有：故有：d df f f f/d dx x ,称为单位扭转角。称为单位扭转角。称为单位扭转角。称为单位扭转角。对半径为对半径为对半径为对半径为r r r r的其它各处，可的其它各处

11、，可的其它各处，可的其它各处，可作类似的分析。作类似的分析。作类似的分析。作类似的分析。dxOCDA AB Brr r r rC D dfdfg gT Tg g141.变形几何条件变形几何条件对半径为对半径为对半径为对半径为r r r r的其它各处，的其它各处，的其它各处，的其它各处，作类似的分析。作类似的分析。作类似的分析。作类似的分析。剪应变剪应变剪应变剪应变g g g g的大小与半径的大小与半径的大小与半径的大小与半径r r r r成正比。与单位扭转成正比。与单位扭转成正比。与单位扭转成正比。与单位扭转角角角角d df f f f/d/dx x成正比。成正比。成正比。成正比。即得变形几何

12、条件为：即得变形几何条件为：即得变形几何条件为：即得变形几何条件为：-(1)同样有：同样有：同样有：同样有：CC CC =g g g gd dx x=r r r rd df f f fdxOCDA AB Brr r r rC D dfT Tg g g gr r r rg g g gr r r r152.物理关系物理关系 材料的应力材料的应力-应变关系应变关系在线性弹性范围内，剪切虎克定律为：在线性弹性范围内，剪切虎克定律为：在线性弹性范围内，剪切虎克定律为：在线性弹性范围内，剪切虎克定律为：GG是是是是-g-g-g-g曲线的斜率，如图，曲线的斜率，如图，曲线的斜率，如图，曲线的斜率，如图，称为

13、剪切弹性模量。称为剪切弹性模量。称为剪切弹性模量。称为剪切弹性模量。-(2)半径为半径为半径为半径为r r r r处的剪应力则为：处的剪应力则为：处的剪应力则为：处的剪应力则为：圆轴扭转时圆轴扭转时圆轴扭转时圆轴扭转时无正应力无正应力无正应力无正应力1GOtg g1Gts材料的剪应力与剪应变之间有与拉压类似的关系。材料的剪应力与剪应变之间有与拉压类似的关系。材料的剪应力与剪应变之间有与拉压类似的关系。材料的剪应力与剪应变之间有与拉压类似的关系。16讨论讨论：圆轴扭转时横截面上的剪应力分布：圆轴扭转时横截面上的剪应力分布圆轴几何及圆轴几何及圆轴几何及圆轴几何及MMT T给定，给定，给定，给定，d

14、 df f f f/d/dx x为为为为常数；常数；常数；常数；GG是材料常数。是材料常数。是材料常数。是材料常数。-(3)dxOCDA AB Brr r r rC D dfMMT Tg g g gr r r rg g g gr r r r r r r rT To r r r rr r r r maxmax最大剪应力在圆轴最大剪应力在圆轴表面处。表面处。截面上任一点的剪应力与该点截面上任一点的剪应力与该点截面上任一点的剪应力与该点截面上任一点的剪应力与该点到轴心的距离到轴心的距离到轴心的距离到轴心的距离r r r r成正比；成正比；成正比；成正比；剪应变在剪应变在剪应变在剪应变在ABCDABC

15、D面内，故剪应面内，故剪应面内，故剪应面内，故剪应力与半径垂直，指向由截面扭力与半径垂直，指向由截面扭力与半径垂直，指向由截面扭力与半径垂直，指向由截面扭矩方向确定。矩方向确定。矩方向确定。矩方向确定。173.力的平衡关系力的平衡关系应力是内力应力是内力应力是内力应力是内力(扭矩扭矩扭矩扭矩)在微截面上的分布集度。各微截在微截面上的分布集度。各微截在微截面上的分布集度。各微截在微截面上的分布集度。各微截面上内力对轴心之矩的和应与截面扭矩相等。面上内力对轴心之矩的和应与截面扭矩相等。面上内力对轴心之矩的和应与截面扭矩相等。面上内力对轴心之矩的和应与截面扭矩相等。取微面积如图，有：取微面积如图，有

16、：取微面积如图，有：取微面积如图，有：-(3)利用利用利用利用(3)(3)式，得到：式，得到：式，得到：式，得到：r r r rT To r r r rr r r r maxmaxdA183.力的平衡关系力的平衡关系 令：令：最后得到：最后得到：最后得到：最后得到：-(4)I Ir r r r 称为截面对圆心的极惯性称为截面对圆心的极惯性称为截面对圆心的极惯性称为截面对圆心的极惯性矩，只与截面几何相关。矩，只与截面几何相关。矩，只与截面几何相关。矩，只与截面几何相关。r r r rT To r r r rr r r r mamax x maxmax在圆轴表面处，且在圆轴表面处，且在圆轴表面处，

17、且在圆轴表面处，且W =I /rW =I /r，称为抗称为抗称为抗称为抗扭截面模量。扭截面模量。扭截面模量。扭截面模量。T T T Tr r r r求求I Ir r，WT?198.3.2 圆截面的极惯性矩和抗扭截面模量圆截面的极惯性矩和抗扭截面模量抗扭截面模量抗扭截面模量抗扭截面模量抗扭截面模量 W =I /r W =I /r T T T Tr r r rd dD Do o讨论内径讨论内径讨论内径讨论内径d d，外径，外径，外径，外径D D的空心圆的空心圆的空心圆的空心圆截面，取微面积截面，取微面积截面，取微面积截面，取微面积 dA=2 dA=2rrrrd dr r r r,则有：则有：则有：

18、则有：极惯性矩极惯性矩极惯性矩极惯性矩:=AdAI2rr rr r r rd dr r r rdAdA极惯极惯极惯极惯性矩性矩性矩性矩)1(3232)(244442/2/3apprrpr r-=-=DdDdIDd抗扭截面模量：抗扭截面模量：抗扭截面模量：抗扭截面模量：1616/)1 1()2 2/(/(4 43 3a a a ap p p pr r r r-=D DD DI IWWT Ta a=d/D=d/D20圆截面的极惯性矩和抗扭截面模量圆截面的极惯性矩和抗扭截面模量d dD Do o空空空空心心心心圆圆圆圆轴轴轴轴实实实实心心心心圆圆圆圆轴轴轴轴D Do o极惯极惯极惯极惯性矩性矩性矩性

19、矩r r=)1(3244ap-DI抗扭截抗扭截抗扭截抗扭截面模量面模量面模量面模量 )1(1643a ap p-=DWTa=d/D=0324DIp pr r=16163 3D DWWT Tp p p p=21研究思路：研究思路：变形几何条件变形几何条件变形几何条件变形几何条件dx -(1)d/r rg g=+材料物理关系材料物理关系材料物理关系材料物理关系dxdGG r rg gt tr rr r=-(2)静力平衡关系静力平衡关系静力平衡关系静力平衡关系+ATdAdxdG=2r r-(3)圆轴扭转剪应力公式：圆轴扭转剪应力公式：圆轴扭转剪应力公式：圆轴扭转剪应力公式：r r r rr r r

20、rr r r rt t t tI IT T =-(4)且由且由且由且由(2)(2)、(4)(4)可知可知可知可知单位扭转角为：单位扭转角为：单位扭转角为：单位扭转角为：r r GITdxd/=-(5)22结论：结论：1 1 1 1）圆轴扭转时，横截面上只有剪应力，剪应力在横）圆轴扭转时，横截面上只有剪应力，剪应力在横）圆轴扭转时，横截面上只有剪应力，剪应力在横）圆轴扭转时，横截面上只有剪应力，剪应力在横 截面上线性分布，垂直与半径，指向由扭矩的转截面上线性分布，垂直与半径，指向由扭矩的转截面上线性分布，垂直与半径，指向由扭矩的转截面上线性分布，垂直与半径，指向由扭矩的转 向确定。向确定。向确定

21、。向确定。2 2）截面任一处截面任一处截面任一处截面任一处 截面外圆周处（表面）截面外圆周处（表面）截面外圆周处（表面）截面外圆周处（表面）r r=T r r/Ir r max=T/WT d dD Do o空空空空心心心心圆圆圆圆轴轴轴轴实实实实心心心心圆圆圆圆轴轴轴轴D Do o T T r r r r maxmax T T r r r r maxmax23讨论：讨论：2 2）下列圆轴扭转的剪应力分布图是否正确）下列圆轴扭转的剪应力分布图是否正确）下列圆轴扭转的剪应力分布图是否正确）下列圆轴扭转的剪应力分布图是否正确?1 1）已知二轴长度及所受外力矩完全相同。若二轴截）已知二轴长度及所受外力

22、矩完全相同。若二轴截）已知二轴长度及所受外力矩完全相同。若二轴截）已知二轴长度及所受外力矩完全相同。若二轴截 面尺寸不同，其扭矩图相同否面尺寸不同，其扭矩图相同否面尺寸不同，其扭矩图相同否面尺寸不同，其扭矩图相同否?若二轴材料不同、截面尺寸相同，若二轴材料不同、截面尺寸相同，若二轴材料不同、截面尺寸相同，若二轴材料不同、截面尺寸相同，各段应力是否相同？各段应力是否相同？各段应力是否相同？各段应力是否相同？变形是否相同？变形是否相同？变形是否相同？变形是否相同？相同相同相同相同不同不同o oT To oT To oT To oT T24思考题思考题:8-2，8-3习题：习题：8-1(b)(c)，

23、8-2第一次作业：第一次作业：25第八章第八章 圆轴的圆轴的扭转8.2 扭矩、扭矩图扭矩、扭矩图8.3 圆轴扭转时的应力与变形圆轴扭转时的应力与变形8.4 圆圆轴扭转轴扭转的的强度条件和刚度条件强度条件和刚度条件8.1 扭转的概念与实例扭转的概念与实例8.5 静不定问题和弹塑性问题静不定问题和弹塑性问题26前节回顾前节回顾（圆轴扭转问题）（圆轴扭转问题）剪应力剪应力剪应力剪应力 在横截面上线性分布，垂直在横截面上线性分布，垂直在横截面上线性分布，垂直在横截面上线性分布，垂直与半径，指向由扭矩的转向确定。与半径，指向由扭矩的转向确定。与半径，指向由扭矩的转向确定。与半径，指向由扭矩的转向确定。单

24、位扭转角为：单位扭转角为：单位扭转角为：单位扭转角为：d d /d/dx x=T T/GI/GIr r r r内力是扭矩内力是扭矩内力是扭矩内力是扭矩 T T 最大剪应力在表面处最大剪应力在表面处最大剪应力在表面处最大剪应力在表面处(r r r r=r)=r)，且，且，且，且 maxmax=T T/W/WT To oMMT Tr r r rr r r rt t t tI IT T r r r r=极惯性矩极惯性矩极惯性矩极惯性矩抗扭截面模量抗扭截面模量抗扭截面模量抗扭截面模量324DIp pr r=16163 3D DWWT Tp p p p=实实实实心心心心轴轴轴轴r r=)1(3244ap

25、-DI)1(1643a ap p-=DWT空空空空心心心心轴轴轴轴278.3.3 扭转圆轴任一点的应力状态扭转圆轴任一点的应力状态 T Tdx T T dxcAdy 研究两横截面相距研究两横截面相距研究两横截面相距研究两横截面相距d dx x的任一的任一的任一的任一A A处单位厚度微元，左处单位厚度微元，左处单位厚度微元，左处单位厚度微元，左右二边为横截面，上下二边为过轴线的径向面。右二边为横截面，上下二边为过轴线的径向面。右二边为横截面，上下二边为过轴线的径向面。右二边为横截面，上下二边为过轴线的径向面。AA A的平衡？的平衡？的平衡？的平衡？S S S SMMC C(F F)=)=d dx

26、 xd dy y-d dy yd dx x=0=0 =剪应力互等定理：剪应力互等定理：物体内任一点处物体内任一点处二相互垂直的截面上，二相互垂直的截面上，剪应力总是同时存在剪应力总是同时存在的，它们大小相等，的，它们大小相等，方向是共同指向或背方向是共同指向或背离二截面的交线。离二截面的交线。288.3.3 扭转圆轴任一点的应力状态扭转圆轴任一点的应力状态 dxcAdy 纯剪应力状纯剪应力状纯剪应力状纯剪应力状态等价于转过态等价于转过态等价于转过态等价于转过4545 后微元的后微元的后微元的后微元的二向等值拉压二向等值拉压二向等值拉压二向等值拉压应力状态。应力状态。应力状态。应力状态。纯剪应力

27、状态纯剪应力状态纯剪应力状态纯剪应力状态:微元各面只有剪应力作用。微元各面只有剪应力作用。微元各面只有剪应力作用。微元各面只有剪应力作用。4545 斜截面上的应力：斜截面上的应力：斜截面上的应力：斜截面上的应力：4545 dxc 45 4545 d dx x+(+(4545 d dx x/cos45/cos45 )cos45)cos45 +(+(4545 d dx x/cos45/cos45 )sin45)sin45 =0=0还有：还有：还有：还有：-4545 =；-4545 =0=0 d dx x-(4545 d dx x/cos45/cos45 )sin45)sin45 +(+(4545

28、d dx x/cos45/cos45 )cos45)cos45 =0=0解得：解得：解得：解得：4545 =-=-；4545 =0=0。A 一些脆性材料一些脆性材料(例如粉笔、铸铁等例如粉笔、铸铁等)承受扭转承受扭转作用时发生沿轴线作用时发生沿轴线45 方向的破坏，就是由方向的破坏，就是由此拉应力控制的。此拉应力控制的。298.3.4 圆轴的扭转变形圆轴的扭转变形单位扭转角为：单位扭转角为：相对扭转角相对扭转角相对扭转角相对扭转角 ：B B截面相对于截面相对于截面相对于截面相对于A A截面的扭转角。若截面的扭转角。若截面的扭转角。若截面的扭转角。若AB=LAB=L，则，则，则，则ABABGI

29、GI 称为抗扭刚度，反映轴抵抗变形的能力。称为抗扭刚度，反映轴抵抗变形的能力。称为抗扭刚度，反映轴抵抗变形的能力。称为抗扭刚度，反映轴抵抗变形的能力。r r r r若扭矩、材料，截面尺寸改变，则需分段求解。若扭矩、材料，截面尺寸改变，则需分段求解。若扭矩、材料，截面尺寸改变，则需分段求解。若扭矩、材料，截面尺寸改变，则需分段求解。dxOCDA AB BrC D ddg gT Tg gT T T T ABABLBAg gdxGITdL LABAB =0 0r r r r 若若若若ABAB间扭矩不变，材料不变，截面尺寸不变，则间扭矩不变，材料不变，截面尺寸不变，则间扭矩不变，材料不变，截面尺寸不变

30、，则间扭矩不变，材料不变，截面尺寸不变，则T T/GI/GIr r r r=const.,=const.,故有：故有：故有：故有：r r GILTAB/=30例例例例2.2.空心圆轴如图，已知空心圆轴如图，已知空心圆轴如图，已知空心圆轴如图，已知MMA A=150N.m=150N.m，MMB B=50N.m=50N.m MMC C=100N.m=100N.m，材料，材料，材料，材料G=80G=80GpaGpa，试求（试求（试求（试求（1 1）轴内的最大剪应力；）轴内的最大剪应力；）轴内的最大剪应力；）轴内的最大剪应力；（2 2）C C截面相对截面相对截面相对截面相对A A截面的扭转角。截面的扭

31、转角。截面的扭转角。截面的扭转角。解解解解:1):1)画扭矩图。画扭矩图。画扭矩图。画扭矩图。2)2)计算各段应力计算各段应力计算各段应力计算各段应力:ABAB段：段：段：段：N-mm-Mpa单位制单位制 f f22 f f18 f f2410001000ABCMMB BMMC CMMA AA AB BC C150100T T/N.m/N.m312)2)计算各段应力计算各段应力计算各段应力计算各段应力:BCBC段：段：段：段：故故故故 maxmax=86.7Mpa=86.7Mpa f f22 f f18 f f2410001000ABCMMB BMMC CMMA AA AB BC C15010

32、0T T/N.m/N.m3)3)计算扭转角计算扭转角计算扭转角计算扭转角 ACACradGIlT2GIT1BCBCABlABAC183.0=+=r rr r N-mm-MpaN-mm-Mpa单位制单位制单位制单位制328.4 圆圆轴扭转轴扭转的的强度条件和刚度条件强度条件和刚度条件拉压拉压 s/n(延延延延)=b/n (脆脆脆脆)max s/n (延延延延)=b/n (脆脆脆脆)扭转强度条件扭转强度条件max =0.50.6=0.50.6 (钢材，延性钢材，延性钢材，延性钢材，延性)与与与与 之关系：之关系：之关系：之关系：=0.81.0=0.81.0 (铸铁，脆性铸铁，脆性铸铁，脆性铸铁，脆

33、性)1.1.强度条件强度条件/maxss=AFN/maxt tt t=TWT33轴轴AB间的相对扭转角为：间的相对扭转角为：AB=TL/GIr r扭转圆轴必须满足强度条件，以保证不破坏；扭转圆轴必须满足强度条件，以保证不破坏；扭转圆轴必须满足强度条件，以保证不破坏；扭转圆轴必须满足强度条件，以保证不破坏；另一方面，轴类零件若变形过大，则不能正常工作，另一方面，轴类零件若变形过大，则不能正常工作，另一方面，轴类零件若变形过大，则不能正常工作，另一方面，轴类零件若变形过大，则不能正常工作，即还须满足刚度条件。即还须满足刚度条件。即还须满足刚度条件。即还须满足刚度条件。单位长度的扭转角为：单位长度的

34、扭转角为：q q=AB/L=T/GIr r扭转刚度条件则为：扭转刚度条件则为：扭转刚度条件则为：扭转刚度条件则为：q q q qmamax x q q q q -许用扭转角许用扭转角许用扭转角许用扭转角机械设计手册建议：机械设计手册建议：机械设计手册建议：机械设计手册建议：q q q q=0.250.5=0.250.5 /m;/m;精度高的轴；精度高的轴；精度高的轴；精度高的轴；q q q q=0.51.0=0.51.0 /m;/m;一般传动轴。一般传动轴。一般传动轴。一般传动轴。2.刚度条件刚度条件单位统一为单位统一为单位统一为单位统一为 /m/m，则有：则有：则有：则有：（弧度转换为角度）

35、（弧度转换为角度）（弧度转换为角度）（弧度转换为角度）180maxq qp pq qr r =ooGI T343.扭转圆扭转圆轴轴的的设计设计二者二者均须均须满足满足扭转圆轴的设计计算：强度、刚度校核；扭转圆轴的设计计算：强度、刚度校核；扭转圆轴的设计计算：强度、刚度校核；扭转圆轴的设计计算：强度、刚度校核；确定许用载荷（扭矩）；确定许用载荷（扭矩）；确定许用载荷（扭矩）；确定许用载荷（扭矩）；设计轴的几何尺寸。设计轴的几何尺寸。设计轴的几何尺寸。设计轴的几何尺寸。强度条件：强度条件：/maxt tt t=TWT刚度条件：刚度条件：180maxq qp pq qr r =ooGIT极惯极惯极惯

36、极惯性矩性矩性矩性矩324DIp pr r=抗扭截抗扭截抗扭截抗扭截面模量面模量面模量面模量 163DWTp p=35解解解解:1):1)画扭矩图。画扭矩图。画扭矩图。画扭矩图。例例例例4.4.实心圆轴如图，已知实心圆轴如图，已知实心圆轴如图，已知实心圆轴如图，已知MMB B=MMC C=1.64kN.m=1.64kN.m，MMD D=2.18kN.m =2.18kN.m 材料材料材料材料G=80GPG=80GPa a，=40MPa=40MPa，q q q q=1=1 /m/m，试设计轴的直径。，试设计轴的直径。，试设计轴的直径。，试设计轴的直径。最大扭矩在最大扭矩在最大扭矩在最大扭矩在ABA

37、B段，且段，且段，且段，且B BMMB BMMC CC CMMA AMMD DA AD D3.282.18ACBDT/kN.m1.642)2)按强度设计，有：按强度设计，有：按强度设计，有：按强度设计，有：1616/3 3mamax xt t t tp p p pt t t t =D D T TWW T TT TN-m-PaN-m-Pa单位制单位制单位制单位制362)按刚度设计，有：按刚度设计，有：同时满足强度与刚度要求，则应取大者同时满足强度与刚度要求，则应取大者18032/1804maxq qp pp pp pq qr r =ooooDGTGIMT则有：则有：42max18032q qp

38、pG TD 42911080180328032=p p N-m-PaN-m-Pa单位制单位制单位制单位制)(109.693m-=mm70=37讨论：若取讨论：若取a a=0.5，试设计空心圆轴尺寸。，试设计空心圆轴尺寸。故：故：故：故：=76.4mm34 max)1(16t ta ap p-TD3641040)5.01(328016-=p p按刚度设按刚度设计，有：计，有：18032/)1(44maxq qp pa ap pq q -=ooDGTmax则有：则有：取取取取 D=78D=78mmmm=71mm44291)1(1080180328032-a ap pD扭矩图不变，按强度设计，有：扭

39、矩图不变，按强度设计，有：扭矩图不变，按强度设计，有：扭矩图不变，按强度设计，有：maxmaxt tt t=TT16/)1(43maxa ap p-DWT)5.0(a a=1/)1()2/()2/()2/(2222a ag gp pg ga ap pp p-=-=LDLDD实心轴实心轴空心轴空心轴重量比：重量减轻重量比：重量减轻重量比：重量减轻重量比：重量减轻25%25%，尺寸略大一点。，尺寸略大一点。，尺寸略大一点。，尺寸略大一点。38例例例例5.5.联联联联轴轴轴轴节节节节如如如如图图图图。轴轴轴轴径径径径D=100mmD=100mm，四四四四个个个个直直直直径径径径d=20mmd=20m

40、m的的的的螺螺螺螺栓栓栓栓对对对对称称称称置置置置于于于于D D1 1=320mm=320mm的的的的圆圆圆圆周周周周上上上上，t=12mmt=12mm。若若若若 =80=80MPaMPa，j j=120MPa=120MPa。试确定许用的试确定许用的试确定许用的试确定许用的扭矩扭矩扭矩扭矩MM。解：解：解：解：1)1)考虑考虑考虑考虑 轴的扭转轴的扭转轴的扭转轴的扭转 强度条件强度条件强度条件强度条件:16/3maxmaxt tp pt t=DMWTT16/3DM扭扭扭扭p pt t mkNmmN.7.15.107.1516/1008063=p pt tt tD D1 1MMo oD D392

41、)2)考虑考虑考虑考虑 螺栓剪切螺栓剪切螺栓剪切螺栓剪切 强度强度强度强度:=F FQQ/(/(d d2 2/4)/4)有：有：有：有：F FQQ d d2 2/4=25.12 kN 4=25.12 kN 2)2)考虑考虑考虑考虑 螺栓挤压螺栓挤压螺栓挤压螺栓挤压 强度：强度：强度：强度：j j=F Fj j/A/Aj j=F Fj j/td/td j j 有有有有:F Fj j tdtd j j=28.8kN=28.8kN M=minMi=15.7 kN.mt tt tD D1 1MMo oD DF FQQF FQQF FQQF FQQD D1 1MMo oF Fj jF Fj jF Fj

42、jF Fj j 由平衡条件有由平衡条件有由平衡条件有由平衡条件有 4 4F FQQ(D(D1 1/2)=/2)=MM MM剪剪剪剪=4=4F FQQ(D(D1 1/2)/2)425.120.16=16.1 kN 425.120.16=16.1 kN mm由平衡条件有：由平衡条件有：由平衡条件有：由平衡条件有：4 4F Fj j(D(D1 1/2)=/2)=MM 故故故故 MM挤挤挤挤=428.80.16=18.4 kN.m=428.80.16=18.4 kN.m。408.5 静不定问题和弹塑性问题静不定问题和弹塑性问题求解变形体静力学问题的基本方程求解变形体静力学问题的基本方程求解变形体静力学

43、问题的基本方程求解变形体静力学问题的基本方程:力的平衡方程力的平衡方程力的平衡方程力的平衡方程、材料的、材料的、材料的、材料的物理方程物理方程物理方程物理方程和变形和变形和变形和变形几何方程几何方程几何方程几何方程。变形变形体静体静力学力学问题问题研究对象研究对象受力图受力图平衡方程平衡方程求反力？求反力？静不定静不定物理物理方程方程几何几何方程方程静定静定求求内力内力应力应力求求变变形形物物理理求求位位移移几几何何联立求解联立求解反力、内反力、内力、应力力、应力 变形、位变形、位移等移等静不定问题有多余的变形约束静不定问题有多余的变形约束静不定问题有多余的变形约束静不定问题有多余的变形约束弹

44、塑性问题弹塑性问题 物理方程不同物理方程不同41静不定问题静不定问题例例例例6 6 两端固定的圆截面杆两端固定的圆截面杆两端固定的圆截面杆两端固定的圆截面杆ABAB，在，在，在，在C C截面处受外力偶截面处受外力偶截面处受外力偶截面处受外力偶MMc c作用，试求两固定端的支反力偶矩。作用，试求两固定端的支反力偶矩。作用，试求两固定端的支反力偶矩。作用，试求两固定端的支反力偶矩。解解解解:静力平衡方程静力平衡方程静力平衡方程静力平衡方程 :MMC C=MMA A+MMB B -(1)-(1)物理方程物理方程物理方程物理方程(力力力力变形关系变形关系变形关系变形关系)ACAC=-=-MMA Aa

45、a/GI/GIr r r r;CBCB=MMB Bb/GIb/GIr r r r -(3)(3)(3)(3)几何方程几何方程几何方程几何方程:ABAB=ACAC+CBCB=0 -=0 -(2)(2)abA AMMC CC CB BMMA AMMB BT TA A=MMA AT TB B=MMB BT T 图图图图(3)(3)代入代入代入代入(2)(2)，再与，再与，再与，再与(1)(1)联立求解，得联立求解，得联立求解，得联立求解，得:C CB BMMb ba aa aMM+=C CA AMMb ba ab bMM+=;42弹塑性问题弹塑性问题例例例例7 7 空心圆轴承受扭转作用，材料服从理想

46、弹塑性剪空心圆轴承受扭转作用，材料服从理想弹塑性剪空心圆轴承受扭转作用，材料服从理想弹塑性剪空心圆轴承受扭转作用，材料服从理想弹塑性剪 应力应力应力应力-剪应变关系。试估计轴开始发生屈服时的扭剪应变关系。试估计轴开始发生屈服时的扭剪应变关系。试估计轴开始发生屈服时的扭剪应变关系。试估计轴开始发生屈服时的扭 矩矩矩矩T TS S，及轴可承受的最大扭矩，及轴可承受的最大扭矩，及轴可承受的最大扭矩，及轴可承受的最大扭矩T TU U。解：解：解：解：解：解：解：解：1 1）弹性阶段：（）弹性阶段：（）弹性阶段：（）弹性阶段：（T T T TS S）对于理想弹塑性材料，已经屈对于理想弹塑性材料，已经屈对

47、于理想弹塑性材料，已经屈对于理想弹塑性材料，已经屈服的部分材料承担的载荷不再进一服的部分材料承担的载荷不再进一服的部分材料承担的载荷不再进一服的部分材料承担的载荷不再进一步增加，步增加，步增加，步增加，s s。随着扭矩的进一步。随着扭矩的进一步。随着扭矩的进一步。随着扭矩的进一步增大，截面上的剪应力由外向内逐增大，截面上的剪应力由外向内逐增大，截面上的剪应力由外向内逐增大，截面上的剪应力由外向内逐渐进入屈服；未屈服的弹性材料部渐进入屈服；未屈服的弹性材料部渐进入屈服；未屈服的弹性材料部渐进入屈服；未屈服的弹性材料部分，剪应力仍呈线性分布。分，剪应力仍呈线性分布。分，剪应力仍呈线性分布。分，剪应

48、力仍呈线性分布。T T=T TS S r r r r mmaxax=t t t ts sor r r r T TT TU U T T T TS S mmaxax=t t t ts s44 =R Rr rs sA As sU Ud ddAdAMMr r r rprprprprt t t tr r r rt t t t2 22 2)1 1(3 32 23 33 3a a a at t t tp p p p-=s sR R对于实心圆轴，对于实心圆轴，对于实心圆轴，对于实心圆轴，a a a a=0=0，则有：，则有：，则有：，则有：屈服扭矩屈服扭矩屈服扭矩屈服扭矩 极限扭矩极限扭矩极限扭矩极限扭矩 r

49、 r r r mmaxax=t t t tysysor r r rMMT TMMU UMMT T MMS S mmaxax=t t t ts sor r r r T T T T=T TU UdAdA极限扭矩与屈服扭矩之比为极限扭矩与屈服扭矩之比为极限扭矩与屈服扭矩之比为极限扭矩与屈服扭矩之比为:T TU U/T TS S=4/3=4/3弹塑性问题弹塑性问题4 4）塑性极限扭矩：（）塑性极限扭矩：（）塑性极限扭矩：（）塑性极限扭矩：（T T=T TU U）全部材料进入屈服，截面上各全部材料进入屈服，截面上各全部材料进入屈服，截面上各全部材料进入屈服，截面上各处应力均到达处应力均到达处应力均到达处

50、应力均到达 s s，载荷不再能继续，载荷不再能继续，载荷不再能继续，载荷不再能继续增加。此载荷称为极限扭矩增加。此载荷称为极限扭矩增加。此载荷称为极限扭矩增加。此载荷称为极限扭矩T TU U。45理想弹塑性扭转理想弹塑性扭转 r r r r mmaxaxor r r r T T T T=T TS S开始屈服开始屈服开始屈服开始屈服 r r r ror r r r T T mmaxax=t t t ts s T T=T TU U极限状态极限状态极限状态极限状态 mmaxax=t t t ts sor r r r T T r r r r mmaxax=t t t ts sor r r r T TT