第三章 输运现象与分子动理学理论的非平衡态理论 1.ppt

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1、第三章第三章 输运现象与分子动理学理论的非平衡态理论输运现象与分子动理学理论的非平衡态理论 处于非平衡态的系统的基本特征是：处于非平衡态的系统的基本特征是：在没有外界影响的条件下系统的各部分宏观性质会在没有外界影响的条件下系统的各部分宏观性质会自发地自发地自发地自发地发发生变化，直到系统中建立了平衡态为止生变化，直到系统中建立了平衡态为止eg：金属金属金属金属棒棒棒棒沸水沸水沸水沸水沸水沸水 冰水混合物冰水混合物冰水混合物冰水混合物冰水混合物冰水混合物 t足够时温度稳定分布于金属棒中足够时温度稳定分布于金属棒中若将外界条件去掉，若将外界条件去掉，金属金属金属金属棒棒棒棒由于系统内温度分布不均匀

2、引起的能量由高温端向低温端传由于系统内温度分布不均匀引起的能量由高温端向低温端传递的现象称为递的现象称为热传导热传导热传导热传导。则能量流会自发地从高温端流向低则能量流会自发地从高温端流向低温端，直到棒内温度达到均衡为止温端，直到棒内温度达到均衡为止因此两端维持不同温度的金属棒处于非平衡态。因此两端维持不同温度的金属棒处于非平衡态。流体各部分宏观流动速度分布的不均匀也可导致系统处于非平衡态。流体各部分宏观流动速度分布的不均匀也可导致系统处于非平衡态。自发地自发地自发地自发地能流能流能流能流 流体各部分宏观流动速度分布的不均匀也可导致系统处于非平衡态。流体各部分宏观流动速度分布的不均匀也可导致系

3、统处于非平衡态。此时流体相邻各部分之间在平行速度方向的交界面上互相施加此时流体相邻各部分之间在平行速度方向的交界面上互相施加力的作用，从而使流动较慢的部分加速，而流动较快的部分减力的作用，从而使流动较慢的部分加速，而流动较快的部分减速，这种现象称为流体的速，这种现象称为流体的黏滞现象黏滞现象黏滞现象黏滞现象或或内摩擦现象内摩擦现象内摩擦现象内摩擦现象 多元系中各组元浓度分布的不均匀也可导致系统处于非平衡态。多元系中各组元浓度分布的不均匀也可导致系统处于非平衡态。此时系统内各种组元的物质由浓度大的部分向浓度小的部分迁此时系统内各种组元的物质由浓度大的部分向浓度小的部分迁移，这个现象称为移，这个现

4、象称为扩散现象扩散现象扩散现象扩散现象。热传导现象、黏滞现象和扩散现象称为输运现象热传导现象、黏滞现象和扩散现象称为输运现象热传导现象、黏滞现象和扩散现象称为输运现象热传导现象、黏滞现象和扩散现象称为输运现象，是近平衡的，是近平衡的非平衡态中最为典型的例子非平衡态中最为典型的例子这些现象中存在着由于动量、热量、质量的传递而促使系统从这些现象中存在着由于动量、热量、质量的传递而促使系统从非平衡态过渡到平衡态的过程，称为非平衡态过渡到平衡态的过程，称为输运过程输运过程输运过程输运过程。由于系统内温度分布不均匀引起的能量由高温端向低温端传递由于系统内温度分布不均匀引起的能量由高温端向低温端传递的现象

5、称为的现象称为热传导热传导热传导热传导。两端维持不同温度的金属棒处于非平衡态。两端维持不同温度的金属棒处于非平衡态。3.1 黏性现象的宏观规律黏性现象的宏观规律 3.1.1 牛顿黏性定律牛顿黏性定律 层流、湍流与混沌层流、湍流与混沌 一、层流、湍流与混沌一、层流、湍流与混沌1.层流：层流：流速较小时，流体作分层平行流动，流速较小时，流体作分层平行流动，流体内每一质点的轨迹流体内每一质点的轨迹（流线）是有规则的光滑曲线，而（流线）是有规则的光滑曲线，而相邻质点的轨迹线彼此略有不相邻质点的轨迹线彼此略有不同，同，这样的流体流动称为这样的流体流动称为层流层流2.湍流：湍流：与层流对应的流动。与层流对

6、应的流动。当流体的流动因为局部的速度、压力等力学量在时间、空当流体的流动因为局部的速度、压力等力学量在时间、空间中发生不规则脉动时即为湍流间中发生不规则脉动时即为湍流eg：点燃香烟后的烟柱，是热气流在自由对流的上升和加速过程中形成的点燃香烟后的烟柱，是热气流在自由对流的上升和加速过程中形成的层流变湍流的典型例子层流变湍流的典型例子3.雷诺数雷诺数Re：定义：定义：v 流体的平均流速流体的平均流速如管道的直径，处于流体中的球的半径，如管道的直径，处于流体中的球的半径，机翼的宽度等。机翼的宽度等。l 物体的某一特征长度物体的某一特征长度 流体的密度流体的密度 流体的黏度流体的黏度雷诺数小表示黏性大

7、，即黏性力影响显著；雷诺数小表示黏性大，即黏性力影响显著；雷诺数小表示黏性大，即黏性力影响显著；雷诺数小表示黏性大，即黏性力影响显著；雷诺数大则意味着惯性力影响显著。雷诺数大则意味着惯性力影响显著。雷诺数大则意味着惯性力影响显著。雷诺数大则意味着惯性力影响显著。任何流体都存在一个临界雷诺数任何流体都存在一个临界雷诺数Re*当当Re Re*,流体作湍流流动流体作湍流流动 eg：在光滑金属圆管中的流体：在光滑金属圆管中的流体：Re*=2000 2300 在滑阀阀口的流体：在滑阀阀口的流体：Re*=260 平时打开水龙头，水流多为几十厘米每秒，所平时打开水龙头，水流多为几十厘米每秒，所以管内流动多为

8、湍流。以管内流动多为湍流。解：解：例：日常自来水管内径为例：日常自来水管内径为 d=0.0254m,临界雷诺数为临界雷诺数为Re*=2000，水在一大气压下，水在一大气压下，20oC时的黏滞系数时的黏滞系数 =1.0 10-3Pa s，水，水的的 密度密度 =1.0 103kg/m3.求：管内平均流速求：管内平均流速v 等于多少时，流动将从层流转变为湍流？等于多少时，流动将从层流转变为湍流？4.混沌：混沌：指自然界中普遍存在的在决定性的动力学系统中出现的貌似指自然界中普遍存在的在决定性的动力学系统中出现的貌似随机性的宏观现象。随机性的宏观现象。混沌现象对初始条件十分敏感，是非线性现象。混沌现象

9、对初始条件十分敏感，是非线性现象。与与“分子混沌性理论分子混沌性理论”的混沌概念截然不同的混沌概念截然不同:而这里的混沌是指在决定性的动力学系统中出现的貌似而这里的混沌是指在决定性的动力学系统中出现的貌似随机性的宏观现象。它是一种对初始条件依赖十分明显的非随机性的宏观现象。它是一种对初始条件依赖十分明显的非线性现象。线性现象。分子混沌性是指：在没有外场时，处于平衡态的气体分子分子混沌性是指：在没有外场时，处于平衡态的气体分子应均匀分布于容器中。在平衡态下任何系统的任何分子都没有应均匀分布于容器中。在平衡态下任何系统的任何分子都没有运动速度的择优方向。除了相互碰撞外，分子间的速度和位置运动速度的

10、择优方向。除了相互碰撞外，分子间的速度和位置都相互独立。都相互独立。分分子混沌性来源于子混沌性来源于19世纪世纪70年代玻耳兹曼所提出的分子年代玻耳兹曼所提出的分子混沌性拟设混沌性拟设.二、二、稳恒层流中的黏性现象稳恒层流中的黏性现象 流体作层流，且流体中各层的速度不随时间而变化，这种流体作层流，且流体中各层的速度不随时间而变化，这种流动叫稳恒层流。流动叫稳恒层流。1.稳恒层流：稳恒层流：2.黏性力和黏性现象：黏性力和黏性现象：当两层流体有相对运动时，在他们的当两层流体有相对运动时，在他们的 接触面上有平行于接触面的一对力，接触面上有平行于接触面的一对力，力的方向总是阻碍他们间的相对运动。力的

11、方向总是阻碍他们间的相对运动。即：运动快的流层对运动慢的流层施以拉力，运动慢的流即：运动快的流层对运动慢的流层施以拉力，运动慢的流层对运动快的流层施以阻力，层对运动快的流层施以阻力，这一对力大小相等。这一对力大小相等。这一对力称为内摩擦力，也称黏性力。这一对力称为内摩擦力，也称黏性力。流体具有内摩擦力的性质称为流体具有内摩擦力的性质称为流体具有内摩擦力的性质称为流体具有内摩擦力的性质称为黏性黏性黏性黏性。液体、气体均有黏性。液体、气体均有黏性。直圆管中流体的速度分布直圆管中流体的速度分布 黏性现象是非平衡现象。黏性现象是非平衡现象。2.分析：分析：流体中的水平板，流体中的水平板，下面一块静止，

12、上面下面一块静止，上面一块在外力一块在外力F作用下作用下以恒定速度以恒定速度u0作水平作水平运动。运动。由于上面平板由于上面平板的带动，附近的流体的带动，附近的流体产生流动。产生流动。达到稳态时，流体分成了许多不同速度的水平薄层而作层流。达到稳态时，流体分成了许多不同速度的水平薄层而作层流。分析：分析：流体最高层黏附在运动平板上以速度流体最高层黏附在运动平板上以速度u0运动，与次一层流体间运动，与次一层流体间发生相对运动。发生相对运动。而次一层流体受到反向的推动力，而次一层流体受到反向的推动力，因而顶层流体受到黏性阻力，因而顶层流体受到黏性阻力，使次一层流体向前加速运动。使次一层流体向前加速运

13、动。次一层流体运动后与再次一层流体间发生相对运动次一层流体运动后与再次一层流体间发生相对运动最后，附着在静止平板上的最下层流体也受到一个向前的作用最后，附着在静止平板上的最下层流体也受到一个向前的作用力，但这个力被静止平板对他的作用力所平衡。力，但这个力被静止平板对他的作用力所平衡。最终所有流层达到稳恒流动的状态，从这个状态开始，流体中最终所有流层达到稳恒流动的状态，从这个状态开始，流体中各层的速度不随时间而变化各层的速度不随时间而变化,此时各流层流速随高度分布情况如图。此时各流层流速随高度分布情况如图。达到稳定流动后：达到稳定流动后：考察任一层面考察任一层面积为积为dA的平行于流的平行于流速

14、方向的流体：速方向的流体：由于流速不变，由于流速不变，上一层流体对他作用上一层流体对他作用的推动力的推动力df 必等于必等于下一层流体对他作用下一层流体对他作用的阻力的阻力df因而稳定流动后每一层流体所受合力为零。因而稳定流动后每一层流体所受合力为零。达到稳定流动后每一层流体所受合力为零。达到稳定流动后每一层流体所受合力为零。达到稳定流动后达到稳定流动后,考察任一面积为考察任一面积为dB的平行于流速方向的的平行于流速方向的相邻两层流体相邻两层流体相邻两层流体相邻两层流体：作用在上一层流体上的阻力作用在上一层流体上的阻力df必等于作用于下一层流体上的必等于作用于下一层流体上的加速力加速力df。这

15、种力称为黏性力。这种力称为黏性力。静止平板也受向静止平板也受向左的力左的力F实验指出：实验指出：图示情况达稳图示情况达稳定流动后，速度梯定流动后，速度梯度也是一常数：度也是一常数：三、牛顿黏性定律：三、牛顿黏性定律：1.速度梯度速度梯度 设流体中设流体中z 和和z+dz 处的流层流速分别为处的流层流速分别为u 和和u+du，则定义则定义z 处的速度梯度的大小为处的速度梯度的大小为物理意义：物理意义：给出了流速沿给出了流速沿z 方向的变化率。方向的变化率。稳恒层流中速度梯度处处相等稳恒层流中速度梯度处处相等稳恒层流中速度梯度处处相等稳恒层流中速度梯度处处相等。2.牛顿黏性定律牛顿黏性定律 流体层

16、所受到的黏性力的大小与流体流动的速度梯度流体层所受到的黏性力的大小与流体流动的速度梯度dudz的大小的大小及切向面积及切向面积A 成正比，即成正比，即牛顿黏性定律牛顿黏性定律牛顿黏性定律牛顿黏性定律其中负号表示若其中负号表示若，则牛顿黏性阻力与流速方向相反，则牛顿黏性阻力与流速方向相反方向指向速度增大的方向方向指向速度增大的方向牛顿黏性定律牛顿黏性定律牛顿黏性定律牛顿黏性定律2.说明：说明：负号表示若负号表示若，则牛顿黏性阻力的方向与流速方向相反，则牛顿黏性阻力的方向与流速方向相反 比例系数比例系数 流体的黏度（或动力黏度、黏性系数）流体的黏度（或动力黏度、黏性系数）单位：单位：帕斯卡秒（帕斯

17、卡秒（Pas）常用单位泊（常用单位泊（P）：）：黏度黏度 与流体的流动性质有关。与流体的流动性质有关。流动性好的流体黏度小。流动性好的流体黏度小。黏度黏度 与温度有关与温度有关:液体的黏度随温度升高而减小；液体的黏度随温度升高而减小；液体的黏度随温度升高而减小；液体的黏度随温度升高而减小；气体的黏度随温度升高而增大。气体的黏度随温度升高而增大。气体的黏度随温度升高而增大。气体的黏度随温度升高而增大。这说明气体与液体产生黏性力的微观机理不同。这说明气体与液体产生黏性力的微观机理不同。流体流体t/流体流体t/流体流体t/01.7010000水汽水汽00.0087水水201.0甘油甘油201410C

18、O200.0127400.516081H2200.0089血液血液374.000.0171N200.0167机油机油30200空气空气200.0182O200.0199蓖麻蓖麻400.0193CH400.0103油油209860 习惯上把符合牛顿黏性定律的流体称为牛顿流体，否则称为习惯上把符合牛顿黏性定律的流体称为牛顿流体，否则称为非牛顿流体非牛顿流体各种流体的黏度各种流体的黏度 适用条件：适用条件：流速不太高的层流流速不太高的层流四、牛顿黏性定律的另一表达式四、牛顿黏性定律的另一表达式1.切向动量流切向动量流单位时间内相邻流体层之间所转移的沿流体层切向的定向单位时间内相邻流体层之间所转移的沿

19、流体层切向的定向动量，动量，黏性力黏性力 f 就是切向动量流：就是切向动量流：2.切向动量流密度切向动量流密度 在单位横截面积上所转移的切向动量流称为切向动量流在单位横截面积上所转移的切向动量流称为切向动量流密度，以密度，以Jp 表示表示:3.牛顿黏性定律的另一表达式：牛顿黏性定律的另一表达式：动量定理：动量定理：牛顿黏性定律：牛顿黏性定律：负号表示定向动量沿流速变小的方向输运，负号表示定向动量沿流速变小的方向输运，负号表示定向动量沿流速变小的方向输运，负号表示定向动量沿流速变小的方向输运，即：动量迁移的方向与速度梯度的方向相反即：动量迁移的方向与速度梯度的方向相反即：动量迁移的方向与速度梯度

20、的方向相反即：动量迁移的方向与速度梯度的方向相反例例1旋转黏度计是为测定气体的黏度而设计的仪器，旋转黏度计是为测定气体的黏度而设计的仪器，其结构如图所示。扭丝悬吊了一只外径为其结构如图所示。扭丝悬吊了一只外径为R、长为、长为L 的内圆筒，筒外同心套上一只长亦为的内圆筒，筒外同心套上一只长亦为L的、内的、内径为径为R+的外圆筒（的外圆筒（R）,内、外筒间的隔内、外筒间的隔层层内装有被测气体。使外筒以恒定角速度内装有被测气体。使外筒以恒定角速度 旋转，旋转，内筒所受到的气体黏性力产生的力矩被扭丝的扭内筒所受到的气体黏性力产生的力矩被扭丝的扭转力矩转力矩G 所平衡。所平衡。G 可由装在扭丝上的反光镜

21、可由装在扭丝上的反光镜M 的偏转角度测定。的偏转角度测定。试导出被测气体的黏度表达式。试导出被测气体的黏度表达式。解：解：平衡时内筒静止平衡时内筒静止ui=0，外筒，外筒两筒间流体旋转线速度梯度大小：两筒间流体旋转线速度梯度大小：流体黏性力大小：流体黏性力大小：黏性力对纽丝的合力矩大小：黏性力对纽丝的合力矩大小：气体黏度为：气体黏度为：2.对于压强非常低的气体以及所有的液体，其黏性产生的微观对于压强非常低的气体以及所有的液体，其黏性产生的微观机理与气体不相同。机理与气体不相同。不遵从牛顿黏性定律的流体称为非牛顿流体。如泥浆、橡不遵从牛顿黏性定律的流体称为非牛顿流体。如泥浆、橡胶、血液、油漆、沥

22、青等。胶、血液、油漆、沥青等。五、非牛顿流体五、非牛顿流体 速度梯度与相互垂直的黏性力间不成线性函数关系，速度梯度与相互垂直的黏性力间不成线性函数关系，如泥浆、橡胶、血液等如泥浆、橡胶、血液等 黏性系数会随时间而变成与流体此前的历史过程有关。黏性系数会随时间而变成与流体此前的历史过程有关。对形变具有部分弹性恢复作用，如沥青等黏弹性物质。对形变具有部分弹性恢复作用，如沥青等黏弹性物质。六、气体黏性的微观机理六、气体黏性的微观机理1.常压下气体的黏性是由流速不同的气体层之间的定向动量的常压下气体的黏性是由流速不同的气体层之间的定向动量的 迁移（输运）产生的。迁移（输运）产生的。由于气体分子无规的热

23、运动，在相邻气体层间交换分子对的同时，交由于气体分子无规的热运动，在相邻气体层间交换分子对的同时，交换了相邻气体层的定向运动动量。结果使流动较快的层净失定向动量，流换了相邻气体层的定向运动动量。结果使流动较快的层净失定向动量，流动较慢的层净得定向动量，黏性力由此而产生动较慢的层净得定向动量，黏性力由此而产生.3.1.2泊肃叶定律泊肃叶定律现以长为现以长为L，半径为半径为r 的水平直圆管中的流体来讨论。的水平直圆管中的流体来讨论。从动力学观点看来，要使存在黏性内摩擦力的流体作匀速运从动力学观点看来，要使存在黏性内摩擦力的流体作匀速运动，必须有外力来抵消黏性力，这个外力就来源于流体两端的压动，必须

24、有外力来抵消黏性力，这个外力就来源于流体两端的压强差强差P.一、一、泊肃叶定律泊肃叶定律定义：定义：体积流率体积流率dV/dt，单位时间内流过管道截面上的流体体积。单位时间内流过管道截面上的流体体积。由动力学方法可以证明，对于水平直圆管有：由动力学方法可以证明，对于水平直圆管有：泊肃叶定律泊肃叶定律泊肃叶定律泊肃叶定律 1841年法国生理学家泊肃叶研究静脉、动脉中血液流动时发现年法国生理学家泊肃叶研究静脉、动脉中血液流动时发现 流体只要流过管道就会有体积流率的量值，流体只要流过管道就会有体积流率的量值，因而流体流过管道因而流体流过管道时必定会产生压强降。时必定会产生压强降。适用于水平直圆管，且

25、流体流量不大，即层流。适用于水平直圆管，且流体流量不大，即层流。压强降与管道长度、管径、体积流率有关：压强降与管道长度、管径、体积流率有关：若管道确定，则压强降正比于体积流率：若管道确定，则压强降正比于体积流率：速度梯度速度梯度压强降压强降P：克服流体黏性力的外界推动力克服流体黏性力的外界推动力 若若体积流率确定，则压强降与管道形状有关：体积流率确定，则压强降与管道形状有关：二、管道流阻二、管道流阻体积流量体积流量流阻流阻泊肃叶定律泊肃叶定律泊肃叶定律泊肃叶定律流阻流阻体积流量体积流量物理意义：物理意义：流阻一定时，单位时间内的体积流量与流体两端压强差流阻一定时，单位时间内的体积流量与流体两端

26、压强差P 成正比。成正比。这与电流的欧姆定律十分类似：这与电流的欧姆定律十分类似：流阻：流阻：电阻：电阻：是决定流体流动性质的特征量是决定流体流动性质的特征量是决定流体流动性质的特征量是决定流体流动性质的特征量 是反映导体导电性质的特征量是反映导体导电性质的特征量是反映导体导电性质的特征量是反映导体导电性质的特征量与电阻的串并联相类似，如果流体连续通过几个水平管，与电阻的串并联相类似，如果流体连续通过几个水平管，则总的流阻等于各管流阻之和，即则总的流阻等于各管流阻之和，即当几个水平管并联时当几个水平管并联时流阻：流阻：电阻：电阻：是决定流体流动性质的特征量是决定流体流动性质的特征量是决定流体流

27、动性质的特征量是决定流体流动性质的特征量 是反映导体导电性质的特征量是反映导体导电性质的特征量是反映导体导电性质的特征量是反映导体导电性质的特征量但是，当病人患有动脉粥样硬化后，动脉通径显著减小，但是，当病人患有动脉粥样硬化后，动脉通径显著减小，由于压降由于压降P与与r 4 成反比，因而流经动脉的压降将明显增加。成反比，因而流经动脉的压降将明显增加。在动脉流阻增加后，为了保证血液的正常流动就必须加强心脏在动脉流阻增加后，为了保证血液的正常流动就必须加强心脏对血液的压缩，在临床上反映就是血压的升高。对血液的压缩，在临床上反映就是血压的升高。解：解：这一结果说明在人体的主动脉中血液的压强降落是微不

28、足这一结果说明在人体的主动脉中血液的压强降落是微不足道的。道的。例例2 成年人主动脉的半径约为成年人主动脉的半径约为r=1.310-2m，试求在一段，试求在一段0.2m长长的主动脉中的血压降的主动脉中的血压降P。设血流量。设血流量，血液黏度血液黏度一、斯托克斯定律一、斯托克斯定律1.内容内容斯托克斯（斯托克斯（Stokes）定律）定律3.1.3斯托克斯定律斯托克斯定律云、雾中的水滴云、雾中的水滴由于流体有黏滞性，物体在流体内运动时会受到阻力的作用。由于流体有黏滞性，物体在流体内运动时会受到阻力的作用。可以证明半径为可以证明半径为r的球形物体在黏度系数为的球形物体在黏度系数为 的流体中以的流体中

29、以速率速率v 运动时所受阻力为：运动时所受阻力为：注意：注意：适用于雷诺数适用于雷诺数Re 1，则力，则力f与黏度系数与黏度系数 无关：无关：二、云雾中的水滴二、云雾中的水滴斯托克斯定律在解释云雾形成过程时起重要作用。斯托克斯定律在解释云雾形成过程时起重要作用。随着随着v 的增加阻力的增加阻力f 也增加，当也增加，当mg=f 时水滴将以收尾速度时水滴将以收尾速度vmax作匀速运动，故作匀速运动，故水滴在重力驱动下从静止开始加速下降。水滴在重力驱动下从静止开始加速下降。1.当水滴大小为当水滴大小为R1 10-6m时时:收尾速度非常小，这种小水滴将在气流的作用下在空中漂收尾速度非常小，这种小水滴将

30、在气流的作用下在空中漂游，大量的水滴就构成云。游，大量的水滴就构成云。2.当水滴半径增大到当水滴半径增大到R2 10-3m时，时，实际上对应于这样的收尾速度，这时的雷诺数实际上对应于这样的收尾速度，这时的雷诺数Re达达104量级，量级，斯托克斯公式已不适用。斯托克斯公式已不适用。其收尾速度为其收尾速度为0.04ms-1，气流托不住这种水滴而下落。，气流托不住这种水滴而下落。实验也测出，云、雾中的水滴约为实验也测出，云、雾中的水滴约为10-6m数量级左右。数量级左右。由由可知可知例例3：若旋转黏度计中的：若旋转黏度计中的A的半径为的半径为R2，它和，它和B的半径的半径R1之差为之差为 （令（令R

31、2-R1=），而），而 与与R1相比不是相比不是很小。试问：当扭丝扭转力矩为很小。试问：当扭丝扭转力矩为G，圆筒旋转速，圆筒旋转速度为度为 时所测得的流体的黏度是多少？时所测得的流体的黏度是多少？解：解：由于由于 与与R2相比不是很小，在两个圆筒之相比不是很小，在两个圆筒之间沿半径方向的速度不能认为是处处相同的。间沿半径方向的速度不能认为是处处相同的。在稳态时在待测气体中隔离出一层同轴同在稳态时在待测气体中隔离出一层同轴同长的气体薄圆筒，如图：长的气体薄圆筒，如图：当圆筒夹层内的气体达到稳态时，夹层内当圆筒夹层内的气体达到稳态时，夹层内气体受到的合力矩为零。气体受到的合力矩为零。因而图示气体薄

32、圆筒中的气体所受到的相因而图示气体薄圆筒中的气体所受到的相对于圆筒中心轴的合外力矩等于零，这层气体对于圆筒中心轴的合外力矩等于零，这层气体对圆筒中心轴的角动量守恒。对圆筒中心轴的角动量守恒。分析分析dR气体薄圆筒所受外力：气体薄圆筒所受外力：分析分析dR气体薄圆筒所受外力：气体薄圆筒所受外力：内、外表面所受的压力，内、外表面所受的压力，他们对轴的力矩均为零；他们对轴的力矩均为零；内表面所受的粘性力内表面所受的粘性力F，它对轴的力矩为它对轴的力矩为-FR，负号表示其方向与圆筒转动方向相反；负号表示其方向与圆筒转动方向相反；外表面所受的粘性力外表面所受的粘性力F+dF，它对轴的力矩为它对轴的力矩为 +(+(F+dF)(R+dR),正号表示其方向与圆筒转动方向一致；正号表示其方向与圆筒转动方向一致；由角动量守恒得：由角动量守恒得：略去二阶无穷小项得：略去二阶无穷小项得：由牛顿粘性定律得：由牛顿粘性定律得：积分，并考虑边界条件：积分，并考虑边界条件：则可得到：则可得到：则薄圆筒所受的粘性力对中心轴的力矩为：则薄圆筒所受的粘性力对中心轴的力矩为：因而被测气体的粘性系数为：因而被测气体的粘性系数为：