3静定结构内力计算.ppt

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1、3 静定结构内力计算静定结构内力计算3.1 杆件变形的概念杆件变形的概念3.1.1 3.1.1 变形体及其基本假形体及其基本假设 结构构件构构件非非刚体，内部受力、体，内部受力、变形形受力受力产生生变形：形：拉拉压、弯曲、剪切、弯曲、剪切等等3.1.1.1.1.1.1 变形体形体变形体形体固体材料，外力作用，固体材料，外力作用，产生生变形形 弹性性变形形外力撤除，恢复原来形状和尺寸的外力撤除，恢复原来形状和尺寸的变形形 塑性塑性变形形外力撤除，外力撤除，变形不能完全消失，形不能完全消失，有残余有残余变形形材料材料均匀均匀连续、各向同性各向同性的的弹性体性体 （1）均匀连续：）均匀连续：连续：固

2、体内部毫无空隙连续：固体内部毫无空隙变形、位移等连续变形、位移等连续均匀：物体内处处材料力学性质是相同的均匀：物体内处处材料力学性质是相同的（2）各向同性：）各向同性：物体在各个方向上具有完全相同的力学性质。物体在各个方向上具有完全相同的力学性质。（3）完全弹性体：）完全弹性体：外力不超过一定限度，物体视为完全弹性体外力不超过一定限度，物体视为完全弹性体3.1.1.2.1.1.2 基本假基本假设3.1.2.1.1.2.1 杆件杆件杆件杆件长度度 其他两个方向的尺寸其他两个方向的尺寸几何元素：几何元素：横截面、轴线横截面、轴线等截面直杆等截面直杆轴线为直线、横截面相同的杆件轴线为直线、横截面相同

3、的杆件建筑力学建筑力学研究：等截面直杆研究：等截面直杆3.1.2.1.2 杆件杆件变形的基本形式形的基本形式（图（图32）1.1.轴向拉伸（压缩轴向拉伸（压缩）受大小相等方向相反，作用线与杆轴重合的二力作用受大小相等方向相反，作用线与杆轴重合的二力作用杆件杆件伸长（缩短）伸长（缩短）2.2.剪切剪切受大小相等、方向相反，受大小相等、方向相反，作用线与杆轴垂直作用线与杆轴垂直且有很小距离的二力作用且有很小距离的二力作用引起杆的两部分引起杆的两部分沿着外力作用方向沿着外力作用方向发生发生相对错动的变形相对错动的变形3.1.2.2.1.2.2 杆件杆件变形的基本形式形的基本形式3.3.扭转扭转在垂直

4、于杆轴线的在垂直于杆轴线的两平面内的力偶作用下，两平面内的力偶作用下，杆的横截面发生杆的横截面发生相对转动相对转动4.4.弯曲弯曲在垂直于杆轴的横向力作用下，在垂直于杆轴的横向力作用下，或一对力偶作用或一对力偶作用杆件杆件轴线成弯曲轴线成弯曲3.1.3.1.3 内力、截面法内力、截面法3.1.3.1.1.3.1 内力内力1、外力：、外力：一个物体对另一个物体的一个物体对另一个物体的作用作用。例：荷载、支座反力、重力。例：荷载、支座反力、重力。2、内力：、内力：在外力的作用下发生变形，在外力的作用下发生变形，引起构件引起构件内部相邻各部分间的相互作用内部相邻各部分间的相互作用。3、内力的性质：、

5、内力的性质：指一截面上分布内力的指一截面上分布内力的合力合力，像外力一样内力可以是一个力也可是一个力偶（弯矩）像外力一样内力可以是一个力也可是一个力偶（弯矩）外力外力变形内力变形内力材料材料强度强度破坏破坏1、求内力目的：、求内力目的：为了研究杆件的为了研究杆件的强度强度 求出由外力的作用而引起的内力。求出由外力的作用而引起的内力。2、确定内力的方法：、确定内力的方法：截面法截面法（图（图3-3）FFFNDmmB截面法：截面法：求求D截面内力截面内力轴力轴力FND1、假想一横假想一横截面截面在在D处切开，取一段为处切开，取一段为隔离体隔离体2、受力分析受力分析画受力图（未知力按正方向假设）画受

6、力图（未知力按正方向假设）3、平衡方程：平衡方程：X=0FND-F-F=0FND=2FFABCDF3.1.3.1.3.2.2 截面法截面法2、特点：、特点：受力特点：受力特点：直杆、外力作用线与杆的轴线相重合。直杆、外力作用线与杆的轴线相重合。变形特点：变形特点：沿杆轴线方向的伸长或缩短沿杆轴线方向的伸长或缩短 （也叫纵向伸长或缩短）（也叫纵向伸长或缩短）简化以后的受力图是：简化以后的受力图是：F压FAB3.2.1.2.1 轴向拉伸（向拉伸（压缩）的概念的概念1、工程实例、工程实例拉F3.2 轴向拉伸（压缩）时的内力轴向拉伸（压缩）时的内力3.2.2.2.2 轴力力直杆的轴向拉伸或压缩直杆的轴

7、向拉伸或压缩直杆直杆内部截面内部截面受沿杆轴线的一对力作用，受沿杆轴线的一对力作用，发生的纵向变形发生的纵向变形杆：杆：拉杆或压杆拉杆或压杆力：力：轴力轴力轴力：轴力：轴向拉压杆的内力，轴向拉压杆的内力，作用线沿杆件的轴线作用线沿杆件的轴线轴力轴力FN单位：单位：（与外力相同）（与外力相同）牛顿（牛顿（N），），千牛顿（千牛顿（kN）。）。符号：符号：拉为正拉为正【例【例31】（1）AB段段（2）BC段段注意：注意：计算杆件内力时计算杆件内力时力的可传性力的可传性和和力偶的可移性力偶的可移性不适用不适用仅在研究对物体的仅在研究对物体的运动效果运动效果时适用时适用11223 3.2.3 .2.3

8、 轴力图轴力图表示沿杆长各截面轴力变化规律的图形表示沿杆长各截面轴力变化规律的图形坐标系：坐标系：以平行杆轴线以平行杆轴线坐标坐标x，表示截面的表示截面的位置位置轴力的大小：轴力的大小：以垂直以垂直于杆轴的于杆轴的坐标坐标FN表示相应截面上表示相应截面上轴力轴力正值的轴力正值的轴力画在画在x轴的上侧轴的上侧轴力图作用：轴力图作用：1）可以显示各段杆的轴力的）可以显示各段杆的轴力的大小、拉压大小、拉压性质及作用性质及作用截面位置截面位置2）迅速确定杆内）迅速确定杆内最大（小）轴力最大（小）轴力的位置的位置3）可以）可以显示显示各段杆变形各段杆变形（拉压）（拉压）情况情况【例【例32】（FP2位置

9、有误）位置有误）（1）各段轴力）各段轴力ABBCCD（2）轴力图轴力图3 3.2.4.2.4 平面桁架的内力计算平面桁架的内力计算 计算简图计算简图（1 1）杆轴线为直线）杆轴线为直线（2 2）不考虑自重）不考虑自重（3 3）结点）结点理想铰理想铰（4 4）外力作用在结点上，）外力作用在结点上，与轴线同一平面与轴线同一平面各杆只有轴力各杆只有轴力基本计算方法：基本计算方法：1 1、结点法、结点法汇交力系汇交力系（结点（结点脱脱离体）离体）两个独立平衡方程两个独立平衡方程2 2、截面法、截面法平面一般力系平面一般力系（两个以上结点（两个以上结点隔隔离体）离体）三个独立平衡方程三个独立平衡方程求解

10、步骤求解步骤（1）反力）反力（2）零杆判断）零杆判断（3）结点脱离体）结点脱离体求解方法求解方法按几何组成的相反次序求解按几何组成的相反次序求解 避免解联立方程避免解联立方程 每个结点隔离体仅二个未知力。每个结点隔离体仅二个未知力。平衡方程平衡方程 力方程：力方程：适当投影轴适当投影轴 力矩方程：力矩方程：平衡平衡平面内任意点，主矩平面内任意点，主矩=0 力力沿作用线可任意平移沿作用线可任意平移力矩力矩将力可分解为投影计算将力可分解为投影计算（1 1）L L型结点：型结点：无荷载，无荷载，N N1 1=N=N2 2=0=0（2 2）T T型结点：型结点：无荷载，其中二杆共线无荷载，其中二杆共线

11、N N1 1=N=N2 2，N N3 3=0,=0,（3 3）X X型结点：型结点：无荷载，两两共线无荷载，两两共线N N1 1=N=N2 2 ，N N3 3=N=N4 4（4 4）K K型结点：型结点：无荷载，其中二杆共线，其余二杆在同无荷载，其中二杆共线，其余二杆在同侧，且夹角相等侧，且夹角相等。N N3 3=N N4 4零杆判定零杆判定三角分解（比例关系）三角分解（比例关系）F Fy【例【例33】结点结点G、D、F2525杆：杆：M M3 30 0；3434杆：杆：M M5 50 0；3535杆：杆：M M1 10 0：F FN35N35移到移到5 5点，分解点，分解【例【例3 34 4

12、】求指定杆件】求指定杆件2525、3434、3535内力内力【图【图314】联合桁架联合桁架联合应用结点法和截面法联合应用结点法和截面法3.3.3 剪切与扭转的内力剪切与扭转的内力3.3.1.3.1 剪切剪切的概念的概念剪切变形：剪切变形：一对力大小相等、方向相反、一对力大小相等、方向相反、作用线垂直于杆轴线且距离很近作用线垂直于杆轴线且距离很近杆件在二力之间截面，沿外力作用方向杆件在二力之间截面，沿外力作用方向相对错动相对错动1）受剪面（剪切面）：）受剪面（剪切面）：发生相对错动截面发生相对错动截面2）剪力（）剪力（Fs）：）：构件在剪切时受剪面内力构件在剪切时受剪面内力单位：单位：N、kN

13、（图图316）螺栓、铆钉螺栓、铆钉键、销钉键、销钉*剪切受力和变形复杂，实用计算法，剪切受力和变形复杂，实用计算法，均匀分布均匀分布=F/A，结果与实际接近结果与实际接近3.3.2.3.2 扭扭转3.3.2.1.3.2.1 扭扭转的概念的概念扭转变形：扭转变形：在垂直于杆轴线的平面内，在垂直于杆轴线的平面内，一对力大小相等、方向相反的一对力大小相等、方向相反的力偶作用力偶作用杆件在二力之间的杆件在二力之间的截面截面沿着外力偶作用方向发生沿着外力偶作用方向发生相对转动相对转动扭转角扭转角：两个截面发生相对转动的角度两个截面发生相对转动的角度剪切角剪切角：杆件表面纵向直线转动的角度杆件表面纵向直线

14、转动的角度外扭矩外扭矩MT：外力偶外力偶3.3.2.2.3.2.2 扭矩扭矩扭矩（扭矩（Mn）与外力偶平衡的截面内力与外力偶平衡的截面内力 单位：单位：Nm、kNm右手螺旋法则右手螺旋法则方向：方向：拇指指向离开截面为拇指指向离开截面为正正【例【例35】截面法求截面法求扭矩扭矩（1 1）ABAB段：段：M Mn1n1=M=MA A（2 2）BCBC段：段：M Mn2n2=M=MA A-M-MB B（3 3）CDCD段：段：（左）（左）M Mn3n3=M=MA A-M-MB B+M+MC C或（右）或（右）M Mn3n3=M=MD D3.4 平面弯曲内力平面弯曲内力3.4.1 梁的平面弯曲梁的平

15、面弯曲3.4.1.1梁的变形和平面弯曲梁的变形和平面弯曲弯曲变形：弯曲变形：外力垂直于杆的轴线，外力垂直于杆的轴线，直杆的轴线变为曲线直杆的轴线变为曲线 挠曲线：挠曲线：弯曲变形后的轴线。弯曲变形后的轴线。横向力：横向力：垂直于杆轴线的外力垂直于杆轴线的外力平面弯曲的概念：平面弯曲的概念：横截面：横截面：至少有一个对称轴至少有一个对称轴 纵向对称平面：纵向对称平面：对称轴与梁轴线组成对称轴与梁轴线组成 外力（荷载、反力）：外力（荷载、反力）：都在此对称平面内都在此对称平面内 平面弯曲平面弯曲3.4.1.2 梁的类型梁的类型（1）简支梁）简支梁（2）外伸梁）外伸梁（3）悬臂梁）悬臂梁分析：分析：

16、1、反力、反力 由由 MA=0 FY=0 得：得：FYA=F/3 FYB=2F/33 3.4.2.4.2 梁的内力梁的内力3 3.4.2.1.4.2.1 剪力和弯矩剪力和弯矩1、内力分析：、内力分析：梁横截面梁横截面内力内力计算计算（图（图3-23）简支梁简支梁AB，外力外力F作用，求作用，求m-m截面的内力截面的内力2、截面法、截面法求求m-m上的内力上的内力假想沿假想沿m-m截面截面将梁将梁截开截开，取左取左（或右）段（或右）段为研究对象。为研究对象。BFYBA2L/3FFYAmmaL/32、内力（、内力（Am段）段）FY=0 FYA-FQ=0 FQ=F/3 Mm=0 M-FYA a=0

17、M=Fa/3结论：梁弯曲时横截面上的内力有两种：结论：梁弯曲时横截面上的内力有两种：1）剪力（剪力（FQ）位于（或相切于）横截面上的位于（或相切于）横截面上的内力内力2）弯矩（弯矩（M）作用面垂直横截面（于对称平面内）作用面垂直横截面（于对称平面内）的的内力偶内力偶FYAFQMa3 3.4.2.2.4.2.2 剪力和弯矩的符号剪力和弯矩的符号1、剪力的正负号、剪力的正负号剪力剪力FQ：对脱离体顺时针对脱离体顺时针为正；反之为负为正；反之为负返回2、弯矩的正负号、弯矩的正负号弯矩弯矩M：使脱离体弯曲变形为上凹下凸时，使脱离体弯曲变形为上凹下凸时，即使脱离体下面受拉即使脱离体下面受拉弯矩为正；反之

18、为负弯矩为正；反之为负3 3.4.2.3.4.2.3 求指定截面的剪力和弯矩求指定截面的剪力和弯矩截面法截面法求指定截面内力求指定截面内力l将杆件在拟求内力将杆件在拟求内力截面截面截开截开取一侧作取一侧作脱离体脱离体l受力分析受力分析受力图受力图l平衡方程平衡方程求所有内力求所有内力脱离体受力图脱离体受力图l全部联系（约束）全部联系（约束）要截断，以相应的约束力代替要截断，以相应的约束力代替l全部所受的力全部所受的力要画全（荷载、约束力）要画全（荷载、约束力）l未知力按正方向假设，未知力按正方向假设，已知力按实际方向画已知力按实际方向画（包括前面步骤求出的力）（包括前面步骤求出的力）未知力未知

19、力结果符号结果符号即未知力符号（正，负）即未知力符号（正，负）M的方向的方向确定杆件的受拉面确定杆件的受拉面【例】【例】（类同（类同【例【例3 37 7】）】）(1)(1)支座反力：支座反力：（图（图1 1）M MB B=0,=0,12 123+23+24 41-41-4F FAYAY=0=0F FY Y=0,=0,11+F 11+FB B-12-2-12-24=04=0 F FAYAY=11kN,F=11kN,FB B=9kN=9kN(2)1-1(2)1-1截面：截面：（图（图2 2）F FY Y=0,=0,11-12-F 11-12-FQ1Q1=0=0M M1 1=0,=0,M M1A1A

20、+12+121-111-112=02=0 F FQ1Q1=-1kN,M=-1kN,M1A1A=10kN=10kN m m(3)2-2(3)2-2截面：截面：（图（图3 3）F FY Y=0,=0,F FQ2Q2+9-4+9-41=01=0M M1 1=0,=0,M M2B2B+4+41 10.5-90.5-91=01=0 F FQ2Q2=-5kN,M=-5kN,M2B2B=7kN=7kN m m3 3.5.5 梁的内力图梁的内力图3 3.5.1.5.1 函数法作梁的内力函数法作梁的内力图剪力、弯矩函数（方程）剪力、弯矩函数（方程）用用函数函数表示表示剪力和弯矩剪力和弯矩随截面位置随截面位置X的

21、的变化规律变化规律FQ=FQ（X）M=M（X）剪力图和弯矩图剪力图和弯矩图用用图形图形表示表示剪力和弯矩剪力和弯矩随截面位置随截面位置X的的变化规律变化规律FQ、M方程：方程：（0 xL）FQ=-qxM=-qx2/2由由FQ(x)可知梁上的可知梁上的剪力剪力FQ是是X的一次函数式，的一次函数式，剪力沿梁的轴线按直线规律变化。剪力沿梁的轴线按直线规律变化。X=0FQ=0X=LFQ=-qL由由M(x)可知梁上的可知梁上的弯矩弯矩M是是X的二次函数式，的二次函数式，弯矩沿梁的轴线按抛物线规律变化。弯矩沿梁的轴线按抛物线规律变化。X=0,M=0X=L/2，M=-qL2/8X=L，M=-qL2/2M（X

22、）Fs（X）XBAXqqlql2/2【例【例38】悬臂梁在自由端受集中力作用悬臂梁在自由端受集中力作用1、建立内力方程、建立内力方程 由截面法求出：由截面法求出：FQ=-F 0 x L M=-F x 0 x L2、作剪力图弯矩图作剪力图弯矩图 正值的剪力画在正值的剪力画在X轴的上方轴的上方 正值的弯矩画在正值的弯矩画在X轴的下方轴的下方BLAFXM（X）Fs（X）FLF【例39】1)1)求支反力求支反力F FYAYA=F=FYBYB=qL/2=qL/22)2)列内力方程列内力方程绘制内力图绘制内力图F Fs s(x)=F(x)=FYAYA-qx-qx 0XL 0XLl lx=0 Fx=0 Fx

23、=0 Fx=0 Fs s s s=qLqLqLqL/2/2/2/2l lx=L Fx=L Fx=L Fx=L Fs s s s=-=-=-=-qL qL qL qL/2/2/2/2M(x)=M(x)=F FYAYAx x-qx-qx2 2/2/2 0XL0XLl lx=0 M=0 x=0 M=0 x=0 M=0 x=0 M=0l lx=L M=0 x=L M=0 x=L M=0 x=L M=03 3）求极值：求极值：l l令令令令dMdMdMdM(x)/(x)/(x)/(x)/dxdxdxdx=0=0=0=0l lqL/2-qx=0 x=L/2qL/2-qx=0 x=L/2qL/2-qx=0

24、x=L/2qL/2-qx=0 x=L/2l ldMdMdMdM2 2 2 2(x)/dx(x)/dx(x)/dx(x)/dx2 2 2 2=-q0=-q0=-q0=-q0l l 有极大值（下凸）有极大值（下凸）有极大值（下凸）有极大值（下凸）M Mmaxmax=qL=qL2 2/8/8M:qL2/8ABLqFQqL/2qL/2XM（X）Fs（X）AFYA画画FQ、M 图的具体步骤：图的具体步骤：1）利用静力平衡方程）利用静力平衡方程求支反力求支反力。2）截面法（取）截面法（取x段）段）列列FQ、M方程方程。3）根据剪力方程和弯矩方程）根据剪力方程和弯矩方程作图作图。根据方程确定图形的根据方程确

25、定图形的形状形状 定点（找定点（找控制点控制点）水平线：水平线：1点点 斜直线：斜直线：2点点 抛物线：抛物线：3点点 正值的剪力正值的剪力画在画在X轴的上方，轴的上方，正值的弯矩正值的弯矩画在画在X轴的下方（轴的下方（杆受拉一侧杆受拉一侧）。）。4）确定）确定最大剪力和最大弯矩最大剪力和最大弯矩的的数值数值 以及它们所在以及它们所在截面的位置截面的位置。剪力方程剪力方程对对x的一阶导数的一阶导数分布荷载集度分布荷载集度；弯矩方程弯矩方程对对x的一阶导数的一阶导数剪力方程剪力方程；3 3.5.2.5.2 利用荷利用荷载内力关系作内力内力关系作内力图3 3.5.2.1.5.2.1 q q、M M

26、、F FQ Q的关系的关系 弯矩、剪力、荷载集度间的弯矩、剪力、荷载集度间的微分关系微分关系FQ=-qxM=-qx2/2XBAXqqlql2/2微分关系的应用微分关系的应用利用微分关系可画出剪力图和弯矩图，利用微分关系可画出剪力图和弯矩图，也可检查已画出的内力图的正确性。也可检查已画出的内力图的正确性。（1）无分布荷载，）无分布荷载，q(x)=0q(x)=0剪力剪力FQ=常量，常量，剪力图剪力图水平线，水平线，弯矩图弯矩图斜直线。斜直线。（2）均布荷载，）均布荷载，q(x)=q(x)=常量常量。FQ：x 一次函数，一次函数，剪力图剪力图斜直线。斜直线。M：x 二次函数，二次函数，弯矩图弯矩图抛

27、物线。抛物线。（3）若分布荷载向下）若分布荷载向下：dFdFs s/dxdx=d=d2 2M/dM/d2 2x=-q(x)0 x=-q(x)0,FQ图递减（图递减（），M图图下凹下凹（）。）。（4）在集中力作用处）在集中力作用处 剪力图有突变，突变值集中力剪力图有突变，突变值集中力 弯矩图折线，折点集中力处弯矩图折线，折点集中力处 在集中力偶作用处，在集中力偶作用处，剪力图不变。剪力图不变。弯矩图有突变，突变值集中力偶弯矩图有突变，突变值集中力偶（5）M图的极值图的极值 二次抛物线，二次抛物线，则则dMdM/dxdx=0=0即即F FQ Q=0=0的的截面上，取得极值。截面上，取得极值。直线直

28、线，在端部，在端部 即在集中力、即在集中力、集中力偶作用处集中力偶作用处 3.5.2.2 内力图的规律内力图的规律（p98，表表31）荷载：荷载：q=0q=0，q=c q=c，F F作用点，集中力偶作用点，集中力偶M M，铰处铰处Q图：图：(变号变号)M图：图：(M极值极值)(Q=0)(Q=0)【例【例3 31010】(1)(1)支座反力支座反力(2)(2)作作F FQ Q图直线图直线每段每段2 2点点(3)(3)作作M M图抛物线图抛物线每段每段3 3点点【例【例3 31111】分分3 3段段绘制制校核校核 3 3.5.3.5.3 叠加原理作梁内力叠加原理作梁内力图3 3.5.3.1.5.3

29、.1 叠加原理叠加原理 几种荷载作用的反力和内力几种荷载作用的反力和内力分别作用的反力和内力的代数和分别作用的反力和内力的代数和3 3.5.3.2.5.3.2 整梁叠加法整梁叠加法 简支梁：简支梁：均布荷载均布荷载杆端力矩杆端力矩作用作用内力图分别作用的内力图的叠加内力图分别作用的内力图的叠加3 3.5.3.3.5.3.3 区段叠加法作梁的弯矩区段叠加法作梁的弯矩图（实用方法）用方法）任意区段任意区段简支梁：杆端力矩梁上荷载作用简支梁：杆端力矩梁上荷载作用弯矩图杆端力矩简支梁荷载（弯矩图）叠加弯矩图杆端力矩简支梁荷载（弯矩图）叠加【例【例3 31313】图】图3 33636 区段叠加法作梁的弯

30、矩区段叠加法作梁的弯矩图（1）支反力）支反力（2）区段叠加法）区段叠加法 控制截面弯矩控制截面弯矩 连线连线 无荷载连实线无荷载连实线 有荷载连虚线有荷载连虚线叠加简支梁叠加简支梁M15kN11kN3 3.5.4.5.4 刚架内力架内力图基本类型：基本类型：悬臂、简支、三铰刚架悬臂、简支、三铰刚架1 1、反力、反力（求解方法）（求解方法）2 2、内力、内力图：单个杆件个杆件与梁相同与梁相同3 3、M M 图画在画在受拉受拉侧 F FS S、F FN N图画任意画任意侧，标注注正正负号号4 4、内力符号、内力符号双下标双下标M MABAB、F FSABSAB、F FNABNAB【例【例3 31414】【例【例3 31515】