第三章生成直线和圆弧的算法.ppt

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1、第三章 生成直线和圆弧的算法一、生成直线的常用算法 1 逐点比较法 2 数值微分（DDA）法 3 中点画线法 4 Bresenham画线算法二、生成圆弧、椭圆弧的常用算法 中点算法 内接正多边形迫近法 等面积正多边形逼近法 生成圆弧的正负法 第一节 直线图形直线的扫描转换直线的扫描转换:确定最佳逼近于该直线的一组象素，并且按扫描线顺序，对这些象素进行写操作。四个常用算法：逐点比较法数值微分法（DDA）中点画线法Bresenham算法。一逐点比较法算法：1、偏差计算 1）一般公式 A(xA,xA)M(xM,xM)偏差偏差的判断公式为2）递推公式 A(xA,xA)M1(x1,x1)M2(x2,x2

2、)M3(x3,x3)3)任意象限中的偏差计算公式：（同学们课下自己推导）4）终点判断 二、数值微分(DDA)法基本思想已知过端点P0(x0,y0),P1(x1,y1)的直线段Ly=kx+b直线斜率为这种方法直观，但效率太低，因为每一步需要一次浮点乘法和一次舍入运算。数值微分(DDA)法计算yi+1=kxi+1+b =kxi+b+kx =yi+kx 当x=1;yi+1=yi+k 即：当x每递增1，y递增k(即直线斜率)；注意上述分析的算法仅适用于k 1的情形。在这种情况下，x每增加1,y最多增加1。当 k 1时，必须把x，y地位互换数值微分(DDA)法增量算法：在一个迭代算法中，如果每一步的x、

3、y值是用前一步的值加上一个增量来获得，则称为增量算法。DDA算法就是一个增量算法。数值微分(DDA)法void DDALine(int x0,int y0,int x1,int y1,int color)int x；float dx,dy,y,k;dx,=x1-x0,dy=y1-y0;k=dy/dx,y=y0;for(x=x0;xx1,x+)drawpixel(x,int(y+0.5),color);y=y+k;数值微分(DDA)法例：画直线段P0(0,0)-P1(5,2)x int(y+0.5)y+0.5000+0.5100.4+0.5210.8+0.5311.2+0.5421.6+0.55

4、22.0+0.5数值微分(DDA)法缺点：在此算法中，y、k必须是float，且每一步都必须对y进行舍入取整，不利于硬件实现。三、中点画线法原理：假定直线斜率0K P2离直线更近更近-取P2。M在Q的上方-P1离直线更近更近-取P1M与Q重合，P1、P2任取一点。问题：如何判断M与Q点的关系？中点画线法假设直线方程为：ax+by+c=0其中a=y0-y1,b=x1-x0,c=x0y1-x1y0由常识知：欲判断M点是在Q点上方还是在Q点下方，只需把M代入F(x,y),并检查它的符号。中点画线法构造判别式：d=F(M)=F(xp+1,yp+0.5)=a(xp+1)+b(yp+0.5)+c当d0，M

5、在直线(Q点)上方，取右方P1；当d=0，选P1或P2均可，约定取P1；能否采用增量算法呢？中点画线法若d0-M在直线上方-取P1;此时再下一个象素的判别式为 d1=F(xp+2,yp+0.5)=a(xp+2)+b(yp+0.5)+c =a(xp+1)+b(yp+0.5)+c+a=d+a；增量为a中点画线法若dM在直线下方-取P2;此时再下一个象素的判别式为 d2=F(xp+2,yp+1.5)=a(xp+2)+b(yp+1.5)+c =a(xp+1)+b(yp+0.5)+c+a+b=d+a+b；增量为ab中点画线法画线从(x0,y0)开始，d的初值d0=F(x0+1,y0+0.5)=a(x0+

6、1)+b(y0+0.5)+c =F(x0,y0)+a+0.5b=a+0.5b 由于只用d 的符号作判断，为了只包含整数运算,可以用2d代替d来摆脱小数，提高效率。中点画线法void Midpoint Line(int x0,int y0,int x1,int y1,int color)int a,b,d1,d2,d,x,y;a=y0-y1,b=x1-x0,d=2*a+b;d1=2*a,d2=2*(a+b);x=x0,y=y0;drawpixel(x,y,color);while(xx1)if(d0)x+;y+;d+=d2;else x+;d+=d1;drawpixel(x,y,color);/

7、*while*/*mid PointLine*/中点画线法例：用中点画线法P0(0,0)P1(5,2)a=y0-y1=-2 b=x1-x0=5d0=2a+b=1 d1=2a=-4 d2=2(a+b)=6i xiyid1 0012 10-33 2134 31-15 425四、Bresenham画线算法在直线生成的算法中Bresenham算法是最有效的算法之一。令 k=y/x，就0k1的情况来说明Bresenham算法。由DDA算法可知：yi+1=yi+k (1)由于k不一定是整数，由此式求出的yi也不一定是整数，因此要用坐标为（xi,yir）的象素来表示直线上的点，其中yir表示最靠近yi的整数

8、。Bresenham画线算法 设图中xi列上已用（xi,yir）作为表示直线的点，又设B点是直线上的点，其坐标为（xi+1,yi+1），显然下一个表示直线的点（xi+1,yi+1,r）只能从图中的C或者D点中去选。设A为CD边的中点。若B在A点上面则应取D点作为（xi+1,yi+1,r），否则应取C点。x xi iX Xi i+1+1Y Yi,ri,rY Yi+1,ri+1,rC CD DB BA A(x)的几何意义为能确定B在A点上面或下面，令(xi+1)=yi+1-yir-0.5 (2)若B在A的下面，则有(xi+1)0。由图可知 yi+1,r=yir+1，若(xi+1)0 (3)yi+1

9、,r=yir，若(xi+1)0Bresenham画线算法由式（2）和式（3）可得到 (xi+2)=yi+2-yi+1,r-0.5 =yi+1+k-yi+1,r-0.5 （4）=yi+1-yir-0.5+k-1,当(xi+1)0 =yi+1-yir-0.5+k,当(xi+1)0(xi+2)=(xi+1)+k-1,当(xi+1)0(xi+2)=(xi+1)+k,当(xi+1)0 由式（1）和式（2）可得到 (x2)=k-0.5 (5)程序如下：BresenhamLine(x0,y0,x1,y1,color)int x0,y0,x1,y1,color;int x,y,dx,dy;float k,e;

10、int e;dx=x1-x0;dy=y1-y0;k=dy/dx;e=-0.5;x=x0;y=y0;e=-dx;for(i=0;i 0)e=e-1;e=e-2*dx;if(e=0)y+;Bresenham画线算法第二节 圆与椭圆弧的扫描转换算法 一、圆弧扫描算法 下面仅以圆心在原点、半径R为整数的圆为例，讨论圆的生成算法。假设圆的方程为：X2 +Y2 =R2圆弧扫描算法X2 +Y2 =R2Y=Sqrt(R2-X2)在一定范围内，每给定一X值，可得一Y值。当X取整数时，Y须取整。缺点：浮点运算，开方，取整，不均匀。yx二、角度DDA法 x=x0+Rcos y=y0+Rsindx=-Rsinddy=

11、Rcosdxn+1=x n+dxy n+1=y n+dyxn+1=x n+dx=x n-Rsind =x n-(y n-y 0)dy n+1=y n+dy=y n+Rcosd=y n+(x n-x 0)d显然，确定x,y的初值及d值后，即可以增量方式获得圆周上的坐标，然后取整可得象素坐标。但要采用浮点运算、乘法运算、取整运算。三、中点画圆法利用圆的对称性，只须讨论1/8圆。第二个8分圆P为当前点亮象素，那么，下一个点亮的象素可能是P1（Xp+1，Yp）或P2（Xp+1，Yp+1)。MP1P2P（Xp，Yp）中点画圆法构造函数：F（X，Y）=X2 +Y2-R2；则 F（X，Y）=0 （X，Y）在

12、圆上；F（X，Y）0 （X，Y）在圆外。设M为P1、P2间的中点，M=(Xp+1,Yp-0.5)MP1P2中点画圆法有如下结论：F（M）M在圆内-取P1 F（M）=0-M在圆外-取P2为此，可采用如下判别式：MP1P2中点画圆法 d=F(M)=F(xp+1,yp-0.5)=(xp+1)2+(yp-0.5)2-R2 若d=0,则P2 为下一个象素，那么再下一个象素的判别式为：d1=F(xp+2,yp-1.5)=(xp+2)2+(yp-1.5)2-R2 =d+（2xp+3）+（-2 yp+2）即d 的增量为 2(xp-yp)+5.d的初值:d0=F(1,R-0.5)=1+(R-0.5)2-R2 =

13、1.25-RMP1P2中点画圆法 MidpointCircle(int r,int color)int x,y;float d;x=0;y=r;d=1.25-r;drawpixel(x,y,color);while(xy)if(d0)d+=2*x+3;x+elsed+=2*(x-y)+5;x+;y-;中点画圆法为了进一步提高算法的效率，可以将上面的算法中的浮点数改写成整数，将乘法运算改成加法运算，即仅用整数实现中点画圆法。使用e=d-0.25代替de0=1-R中点画圆法上述算法能否再改进呢？注意到d的增量是x,y的线性函数，每当x递增1，则d的增量递增x=2每当y递减1，则d的增量递增y=2x

14、初始值=3；y初始值=-2r+2 四、Bresenham画圆算法现在从A点开始向右下方逐点来寻找弧AB要用的点。如图中点Pi-1是已选中的一个表示圆弧上的点，根据弧AB的走向，下一个点应该从Hi或者Li中选择。显然应选离AB最近的点作为显示弧AB的点。假设圆的半径为R，显然，当xhi2+yhi2-R2 R2-(xli2+yli2)时，应该取Li。否则取Hi。令di=xhi2+yhi2+xli2+yli2-2R2 显然，当di 0 时应该取Li。否则取Hi。Pi-1HiLi应取Hi还是取LiBresenham画圆算法剩下的问题是如何快速的计算di。设图中Pi-1的坐标为(xi-1,yi-1)，则

15、Hi和Li的坐标为(xi,yi-1)和(xi,yi-1-1)di=xi2+yi-12+xi2+(yi-1-1)2-2R2=2xi2+2yi-12-2yi-1-2R2 di+1=(xi+1)2+yi2+(xi+1)2+(yi-1)2-2R2=2xi2+4xi+2yi2-2yi-2R2+3Pi-1HiLi应取Hi还是取LiBresenham画圆算法当di取Hi-yi=yi-1，则 di+1=di+4xi-1+6当di 0时-取Li-yi=yi-1-1，则 di+1=di+4(xi-1-yi-1)+10 易知 x0=0，y0=R,x1=x0+1 因此 d0=12+y02+12+(y0-1)2-2R2

16、=3-2y0=3-2RPi-1HiLi应取Hi还是取Li五、生成圆弧的正负法 原理：设圆的方程为F(x,y)=X2 +Y2-R2=0;假设求得Pi的坐标为(xi,yi)；则当Pi在圆内时-F(xi,yi)向右-向圆外Pi在圆外时-F(xi,yi)0-向下-向圆内生成圆弧的正负法即求得Pi点后选择下一个象素点Pi+1的规则为：当F(xi,yi)0 取xi+1=xi+1，yi+1=yi;当F(xi,yi)0 取xi+1=xi，yi+1=yi-1;这样用于表示圆弧的点均在圆弧附近，且使F(xi,yi)时正时负，故称正负法。快速计算的关键是F(xi,yi)的计算，能否采用增量算法？生成圆弧的正负法若F

17、(xi,yi)已知，计算F(xi+1,yi+1)可分两种情况：1、F(xi,yi)0-xi+1=xi+1，yi+1=yi;-F(xi+1,yi+1)=(xi+1)2+(yi+1)2-R2 -=(xi+1)2+yi2-R2=F(xi,yi)+2xi+12、F(xi,yi)0-xi+1=xi，yi+1=yi-1;-F(xi+1,yi+1)=(xi+1)2+(yi+1)2-R2 -=xi2+(yi 1)2-R2=F(xi,yi)-2yi+13、初始值：略六、生成圆弧的多边形逼近法（一）圆的内接正多边形迫近法（二）圆的等面积正多边形迫近法（一）圆的内接正多边形逼近法思想：当一个正多边形的边数足够多时，

18、该多边形可以和圆无限接近。即因此，在允许的误差范围内，可以用正多边形代替圆。设内接正n边形的顶点为Pi(xi,yi),Pi的幅角为i,每一条边对应的圆心角为a，则有xi=Rcos i yi=Rsin i圆的内接正多边形逼近法 内接正内接正n边形代替圆边形代替圆计算多边形各顶点的递推公式计算多边形各顶点的递推公式 Xi+1 Rcos(a+i)=Yi+1 Rsin(a+i)Xi+1 cos a-sin a Xi =Yi+1 sin a cosa Yi因为:a是常数，sin a，cosa只在开始时计算一次所以，一个顶点只需4次乘法，共4n次乘法，外加直线段的中点算法的计算量。（二）圆的等面积正多边形

19、逼近法当用内接正多边形逼近圆时，其面积要小于圆的面积；而当用圆的外切正多边形逼近圆时，其面积则要大于圆的面积。为了使近似代替圆的正多边形和圆之间在面积上相等，只有使该正多边形和圆弧相交，称之为圆的等面积正多边形。圆的等面积正多边形逼近法步骤：l求多边形径长，从而求所有顶点坐标值l由逼近误差值，确定边所对应的圆心角七、椭圆的扫描转换F(x,y)=b2x2+a2y2-a2b2=0椭圆的对称性，只考虑第一象限椭圆弧生成，分上下两部分，以切线斜率为-1的点作为分界点。椭圆上一点处的法向：N(x,y)=(F)x i +(F)y j =2b2 x i +2a2 y j在上半部分,法向量的y分量大在下半部分

20、,法向量的x分量大上半部分下半部分法向量两分量相等M1M2在当前中点处，法向量（2b2(Xp+1)，2a2(Yp-0.5)的y分量比x分量大,即：b2(Xp+1)a2(Yp-0.5),而在下一中点，不等式改变方向，则说明椭圆弧从上部分转入下部分椭圆的中点画法与圆弧中点算法类似：确定一个象素后，接着在两个候选象素的中点计算一个判别式的值，由判别式的符号确定更近的点先讨论椭圆弧的上部分设(Xp，Yp)已确定，则下一待选像素的中点是(Xp+1,Yp-0.5)d1=F(Xp+1,Yp-0.5)=b2(Xp+1)2+a2(Yp-0.5)2-a2b2 根据d1的符号来决定下一像素是取正右方的那个，还是右下

21、方的那个。若d10，中点在椭圆内，取正右方象素，判别式更新为：d1=F(Xp+2,Yp-0.5)=d1+b2(2Xp+3)d1的增量为b2(2Xp+3)当d10，中点在椭圆外，取右下方象素，更新判别式：d1=F(Xp+2,Yp-1.5)=d1+b2(2Xp+3)+a2(-2Yp+2)d1的增量为b2(2Xp+3)+a2(-2Yp+2)d1的初始条件：椭圆弧起点为(0，b)；第一个中点为(1,b-0.5)初始判别式：d10=F(1,b-0.5)=b*b+a*a(-b+0.25)转入下一部分，下一象素可能是正下方或右下方，此时判别式要初始化。d2=F(Xp+0.5,Yp-1)=b2(Xp+0.5)

22、2+a2(Yp-1)2-a2b2 若d2=0,取正下方像素，则d2=F(Xp+0.5,Yp-2)=d2+a2(-2Yp+3)下半部分弧的终止条件为 y=0程序：MidpointEllipe(a,b,color)int a,b,color;int x,y;float d1,d2;x=0;y=b;d1=b*b+a*a*(-b+0.25);putpixel(x,y,color);while(b*b*(x+1)a*a*(y-0.5)if(d10)if(d2 0)d2+=b*b*(2*x+2)+a*a*(-2*y+3);x+;y-；else d2+=a*a*(-2*y+3);y-;putpixel(x,y,color);