6质心碰撞角动量.ppt

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1、质心系质心系质点系的特殊参照系质点系的特殊参照系质点系的特殊参照系质点系的特殊参照系 质心系质心系抛手榴弹的过程抛手榴弹的过程C CO OX XY Y 质质点点系系的的质质量量中中心心，简简称称质质心心。质心运动反映了质点系的整体运动趋势。质心运动反映了质点系的整体运动趋势。1.1.质心质心质心轨迹为抛物线质心轨迹为抛物线 设有一个质点系，由设有一个质点系，由 个质点组成，个质点组成，由牛顿第二定律得由牛顿第二定律得 2.2.质心运动定理质心运动定理对于内力对于内力质心运质心运动定理动定理 表明：不管物体的质量如何分布，也不管外力表明：不管物体的质量如何分布，也不管外力作用在物体的什么位置上，

2、质心的运动就象是物体作用在物体的什么位置上，质心的运动就象是物体的质量全部都集中于此，而且所有外力也都集中作的质量全部都集中于此，而且所有外力也都集中作用其上的一个质点的运动一样。用其上的一个质点的运动一样。质心的速度质心的速度质心质心质心的加速度为质心的加速度为质心运质心运动定理动定理对于对于N N个质点组成的质点系：个质点组成的质点系：直角坐标系中直角坐标系中3.3.质心的计算质心的计算 对于质量连续分布的物体对于质量连续分布的物体分量形式分量形式面分布面分布体分布体分布线分布线分布注意：注意：质心的位矢与参考系的选取有关。质心的位矢与参考系的选取有关。刚体的质心相对自身位置确定不变。刚体

3、的质心相对自身位置确定不变。质量均匀的规则物体的质心在几何中心。质量均匀的规则物体的质心在几何中心。质心与重心不一样，物体尺寸不十分大时，质心与重心不一样，物体尺寸不十分大时，质质心与重心位置重合。心与重心位置重合。例：地例：地-月系的质心月系的质心以地球为坐标原点：以地球为坐标原点：例题例题 求腰长为求腰长为a a等腰直角三角形均匀薄板的质心位置。等腰直角三角形均匀薄板的质心位置。解：解：三角形质心坐标三角形质心坐标x xc c是是d dx xx xO Ox xy ya a例：例：确定半径为确定半径为R R的均质半球的质心位置。的均质半球的质心位置。解：解：R RX XY YO Od dy

4、y质质心心在在距距球球心心3R/8处。处。质心运动定理 一.质心运动定理rcCvcmizri yx0vi即质点系的总动量 是质点系的“平均”速度（theorem of motion of center mass）由 质心运动定理有该质点集中了整个质点系的质量和所受质心的运动如同一个在质心位置处的质点的运动，的外力。实际上是物体质心的运动。在质点力学中所谓“物体”的运动，系统内力不会影响质心的运动，例如：若合外力为零，二.动量守恒与质心的运动质点系动量守恒若合外力分量为0，质点系分动量守恒质点系动量守恒和质心匀速运动等价！则则相应的质心分速度不变 1.质心系质心系是固结在质心上的平动参考系。质心

5、系不一定是惯性系。质点系的复杂运动通常可分解为：在质心系中考察质点系的运动。讨论天体运动及碰撞等问题时常用到质心系。质点系整体随质心的运动；各质点相对于质心的运动 三.质心（参考）系（frame of center mass）2.质心系的基本特征质心系是零动量参考系。m1v10m2v20 m1v1m2v2质心系中看两粒子碰撞两质点系统在其质心系中，总是具有等值、反向的动量。碰撞1.两体问题 碰撞若K系为质心系，即有两质点的相对速度与参照系选择无关设两质点间的相对速度为 ，则有：在质心系中的总动能在质心系中的总动能解上述两方程得在质心系中两质点的速度为解上述两方程得在质心系中两质点的速度为由此可

6、得：-折合质量两体问题在质心系中的总动能与其相对速度有关相对动能碰撞特点：碰撞过程时间极短，外力忽略，碰撞特点：碰撞过程时间极短，外力忽略，动量守动量守恒恒。碰撞前后碰撞前后v vc c不变不变，质心动能不变质心动能不变,两物体的两物体的相对相对动能动能会变会变碰撞后碰撞前碰撞时2.碰撞碰状前后动量守恒碰撞的分类：设碰撞前后的相对速度分别为：完全弹性碰撞：相对动能守恒完全弹性碰撞：相对动能守恒 非完全弹性碰撞：相对动能减少，非完全弹性碰撞：相对动能减少，完全非弹性碰撞：相对动能在碰撞过程中全部耗散掉，相完全非弹性碰撞：相对动能在碰撞过程中全部耗散掉，相对速度变为零。对速度变为零。定义恢复系数：

7、接近速度分离速度e值由两球的材料性质决定令（1）完全弹性碰撞 （1）设 得 ，两球经过碰撞将交换彼此的速度。（2）设 ，质量为 的物体在碰撞前静此不动，即讨论：（3）如果 质量极大并且静止的物体，经碰撞后，几乎仍静止不动，而质量极小的物体在碰撞前后的速度方向相反，大小几乎不变。在完全非弹性碰撞中（2）完全非弹性碰撞例：一个静止的容器炸成三块，其中两块的质量相同，它们以30米/秒的相同速率沿互相垂直的方向飞开。第三块具有3倍的质量，求第三块速度的大小和方向。解：分别以两块容器碎块的运动方向为x和y方向建立直角坐标系，则有.32)3()3(22223vvvvvvyx=-+-=+=.303vvmvm

8、vMVyyCy-=+=,303vvmvmvMVxxCx-=+=例 设有两个质量分别为 和 ,速度分别为 和 的弹性小球作对心碰撞,两球的速度方向相同.若碰撞是完全弹性的,求碰撞后的速度 和 .解 取速度方向为正向，由动量守恒定律得由机械能守恒定律得碰前碰后解得解得碰前碰前碰后碰后（1）若）若则则（2）若）若且且则则（3）若）若且且则则讨讨 论论碰前碰前碰后碰后9.1 9.1 二维平面转动二维平面转动二维二维平面平面转动转动质点角动量质点角动量质点对圆心的转动动量质点对圆心的转动动量质点的平面运动与力矩质点的平面运动与力矩质点的动量质点的动量直线运动对原心的转动动量直线运动对原心的转动动量行星在

9、公转轨道上的角动量行星在公转轨道上的角动量定义定义：质点对点的动量矩为质点对点的动量矩为动量矩大小动量矩大小 （面积）（面积）动量矩方向动量矩方向 （1 1）质点对点的角动量，不但与质点运动有关，）质点对点的角动量，不但与质点运动有关，且与参考点位置有关。且与参考点位置有关。讨讨 论论（2 2）方向的确定方向的确定 （3 3）做圆周运动时，由于）做圆周运动时，由于 ，质点对，质点对圆心的角动量大小为圆心的角动量大小为对对t t求导求导定义力矩定义力矩:质点的角动量定理质点的角动量定理质点的角动量守恒定理质点的角动量守恒定理 如果作用在质点上的外力对某给定点如果作用在质点上的外力对某给定点 的力

10、矩的力矩 为零，则质点对为零，则质点对 点的角动量在运动过程中点的角动量在运动过程中保持不变。这就叫做角动量守恒定律。保持不变。这就叫做角动量守恒定律。例例 一半径为一半径为 R 的光滑圆环置于竖直平面内的光滑圆环置于竖直平面内.一质一质量为量为 m 的小球穿在圆环上的小球穿在圆环上,并可在圆环上滑动并可在圆环上滑动.小球开始小球开始时静止于圆环上的点时静止于圆环上的点 A(该点在通过环心该点在通过环心 O 的水平面上的水平面上),然后从然后从 A 点开始下滑点开始下滑.设小球与圆环间的摩擦略去不计设小球与圆环间的摩擦略去不计.求小球滑到点求小球滑到点 B 时对环心时对环心 O 的角动量和角速

11、度的角动量和角速度.解解 小球受重力和支持小球受重力和支持力作用力作用,支持力的力矩为零支持力的力矩为零,重力矩垂直纸面向里重力矩垂直纸面向里由质点的角动量定理由质点的角动量定理考虑到考虑到得得由由题设条件积分上式题设条件积分上式角动量三维表示角动量三维表示角动量三维表示角动量三维表示力矩的矢量分量式力矩的矢量分量式:质点系角动量定理质点系角动量定理1.1.质点系的角动量质点系的角动量：2.2.质点系角动量定理质点系角动量定理：质点系角动量定理质点系角动量定理如果质点系上的外力对某轴（如如果质点系上的外力对某轴（如Z Z轴）的合力轴）的合力矩为零，那么，角动量沿此轴的分量是守恒的矩为零，那么，

12、角动量沿此轴的分量是守恒的3.3.3.3.角动量守恒定律角动量守恒定律角动量守恒定律角动量守恒定律想一想：当质点系所受外力的矢量和为零时（动量想一想：当质点系所受外力的矢量和为零时（动量守恒），外力矩的矢量也一定为零吗？反守恒），外力矩的矢量也一定为零吗？反之，当质点系外力矩矢量为零时（角动量之，当质点系外力矩矢量为零时（角动量守恒），其外力的矢量和也一定为零吗？守恒），其外力的矢量和也一定为零吗？试举例说明之。试举例说明之。力偶（力偶（couple):couple):一对大小相等、方向相反并一对大小相等、方向相反并不作用在同一条直线上的力。不作用在同一条直线上的力。FFOF2F3F1试一试：

13、证明力偶矩与参考点选取无关试一试：证明力偶矩与参考点选取无关4.4.质心系的角动量定律质心系的角动量定律角动量的柯尼希定理角动量的柯尼希定理角动量的柯尼希定理角动量的柯尼希定理质心系的角动量定理质心系的角动量定理例：（0914）在一较大的无摩擦的平均半径为R的水平圆槽内，放有两个小球，质量分别为m和M，两球可在圆槽内自由滑动现将一不计其长度的压缩的轻弹簧置于两球之间，如图所示(1)将压缩弹簧释放后，两球沿相反方向被射出，而弹簧本身仍留在原处不动，问小球将在槽内何处发生碰撞？(2)设压缩弹簧具有弹性势能E0，问小球射出后，经多少时间发生碰撞？解：(1)设两小球被射出后的角速度分别为 和 ，根据角

14、动量守恒有：设在碰撞处，两小球所转过的角度分别为 由、解得(2)由机械能守恒定律得：将式代入上式，有 、例：（0856）两个滑冰运动员A、B的质量均为m=70 kg，以v0=6.5 m/s的速率沿相反方向滑行，滑行路线间的垂直距离为R=10 m，当彼此交错时，各抓住10 m绳索的一端，然后相对旋转,(1)在抓住绳索之前，各自对绳中心的角动量是多少？抓住后又是多少？(2)他们各自收拢绳索，到绳长为r=5 m时，各自的速率如何？(3)绳长为5 m时，绳内的张力多大？(4)二人在收拢绳索时，设收绳速率相同，问二人各做了多少功？，(1)抓住绳之前A对O点的角动量为(2)绳的原长R=10 m，收拢后为r=5 m (3)张力(4)由动能定理可知，收绳过程中运动员A对B做的功为 kg m2/s kg m2/s m/s N J 例：（0301）质量为mA的粒子A受到另一重粒子B的万有引力作用，B保持在原点不动起初，当A离B很远(r=)时，A具有速度，方向沿图中所示直线Aa，B与这直线的垂直距离为D粒子A由于粒子B的作用而偏离原来的路线，沿着图中所示的轨道运动已知这轨道与B之间的最短距离为d，求B的质量mB 解：A对B所在点的角动量守恒设粒子A到达距B最短距离为d时的速度为v A、B系统机械能守恒(A在很远处时，引力势能为零)解得